(完整版)函數的極值與最值練習題及答案

1、【鞏固練習】二選擇題1. (2015天津校級模擬)設函數f(x)1A. x 2為f (x)的極小值點1 C. x 為f (x)的極大值點2B. XD. X2.函數A.C.3.函數A.2為f (x)的極大值點2為f (x)的極小值點y=ax3+ bx2取得極大值和極小值時的x的值分別為0和1，則()3a-2b=02a+b= 02B. 2a-b=0D. a + 2b=0xy= 一十x23x4在0,2上的最小值是317B 10BC. 4D.34.連續(xù)函數f(x)的導函數為643A.B.C.D.x= 1 一定是函數 x=- 1 一定是函數f'x),若(x+1)F x)>0,則下列結論中正

2、確的是()f(x)的極大值點f(x)的極小值點x=1不是函數f(x)的極值點x= 1不一定是函數f(x)的極值點5. (2015金家莊區(qū)校級模擬)若函數f(x)在區(qū)間-,4 上有極值點, 3則實數a的取值范圍是(A c 10A. 2,3c 10B. 2,3C.10 17,3 4c 17D. 2 46.已知函數y=2x+3在區(qū)間a3A. 一27.已知函數f(x)B.12x3+ax： 一 152上的最大值為15 ,41 - 3一或 一2 2D.24在x= 2處取得極值，若m、nC -1,1,則 f(m)+f'n)的最小值是(A.13B. - 15C.10D. 15二、填空題18 .函數y=

3、x+2cosx在區(qū)間,1上的取大值是 29 .若f(x)=x 3 + 3ax2 + 3(a+ 2)x + 1有極大值和極小值，則10 . f (x) = 1+3sin x + 4cos x 取得最大值時，tan x = -a的取值范圍是311.設函數f(x) ax 3x 1(x R),若對于任意xC1, 1,都有f(x) 0成立，則實數a的值為三、解答題12求下列函數的極值： 1） 1） y x3 6x2 9x 4 ； 2） yx4 2x2 。13 .已知函數f （x） =2 x36 x2 +m在 2, 2上有最大值3,試確定常數 m,并求這個 函數在閉區(qū)間上的最小值14 .已知函數f(x)=

4、x33x2+ax+ b在x=1處的切線與 x軸平行.(1)求a的值和函數f(x)的單調區(qū)間；b的取值范圍.(2)若函數y= f(x)的圖象與拋物線y= 3 x2 15x+ 3恰有三個不同交點，求2,，、，一，冗15 . (2014 北樂)已知函數 f(x)=xcosx sinx, xC0, 2(1)求證:f(x)<0;sin x若as b對x 0,-上恒成立，求a的最大值與b的最小值.x2【答案與解析】1 .【答案】D，21x2f (x) 0,【解析】f (x) 彳1 J2, x x x當 0 x 2時，f (x) 0 ；當 x 2時,所以x 2為f (x)的極小值點，故選：Do2 .【

5、答案】D【解析】 y'= 3ax2+2bx,據題意,0、1是方程3ax2+ 2bx= 0的兩根32b3a，a+ 2b=0.3 .【答案】A【解析】y'= x2+2x3.令 y = x2 + 2x 3 = 0, x= - 3 或 x= 1 為極值點.當xC0,1時，y'留xC1,2時，y' >0所以當x=1時，函數取得極小值，也為最小 值.一17當 x= 1 時，ymin =-34 .【答案】B【解析】x>1時，f'x)>0X < 1 時，f' x)<0，連續(xù)函數f(x)在( 8, 1)單減，在(1, + OO單增，x

6、= 1為極小值點.5 .【答案】D3【解析】Q f(x) ax2 x 132'.222f (x) x ax 1, x ax 1 0有兩個解，則 a 4 0;故a 2或a2;函.x a 91數f(x) - -x x 1 在區(qū)間一，4323上有極值點可化為xax 1 0在區(qū)間1 ，-一，4 上有解，3當 2 a 8時，f'(4) 0 ,即 16 4a1當a 8時，f (4) f (一) 0無解；3一一17綜上所述，2a ,故選D。46.【答案】C,c ,17,1 0,故 a ；故 2417a 。4【解析】f'(x) 2x 2。令 f'(x) 0,得 x= 1。當aw

7、 1時，最大值為4,不合題意；15當一lva<2時，f(x)在a, 2上是減函數，f (a)最大，a2 2a 3 15 ,41 3/八aT ,aT(舍)。2 27 .【答案】A【解析】 求導得f'x)=3x2+2ax,由函數f(x)在x= 2處取得極值知f' (2)0,即3%+ 2aX2 = 0,，a=3.由此可得 f(x)= x3+3x24,f'x)= 3x2+6x,易知 f(x)在(1,0)上單調遞減，在(0,1)上單調遞增，當 mC1, 1時,f(m)min = f(0)=4. 又f'x)= 3x2+6x的圖象開口向下，且對稱軸為x=1,.當nC 1

8、,1時，f'n)min =f'Y1)=9.故 f(m) + f'n)的最小值為13.8 .【答案】一736【解析】 y' 1 2sinx,由 y' 0 x -6,r 1,，時當 x -,-時，y/ >0,當 x ,1 時，y/ <0o2 66,當 x 1"時，ymax J3 669 .【答案】a>2或a<-12【解析】f (x) 3x 6ax 3(a 2),2 _ _ f(x)既有極大值又有極小值，3x6ax 3(a 2)=0有兩個不同的解。10 .【答案】34【解析】f'(x) =3cosx4sinx=0 ta

9、nx= 3 , f(x)在tanx= 3時取得最大值，即填 o 44411 .【答案】4【解析】 若x=0,則不論a取何值，f (x) 0顯然成立；31當 x>0,且 xC 1, 1,即 xC (0, 1時，f(x) ax3 3x 1 0可化為 a ,x x31 nrt (/、3(1 2x)設 g(x)二，則 g'(x)40x xx11所以，g(x)在區(qū)間0,1上單調遞增，在區(qū)間 1,1上單調遞減。 221因此，g (x) maxg -4,從而 a>42當 XV0 且 xC1, 1,即 xC1, 0)時,3-f (x) ax 3xg( 1) 4 ,從而a<4綜上可知a

10、=4。g(x)在區(qū)間1, 0)上單調遞增，因此 g(x)min12【解析】(1)y極大值f(1)f (3)4。(2)提示：y' 4x3 4x 4x(x 1)(x 1)。J-1(-1*0)01/十a，一0+0J一極大*小值05極大盤1、 1令y' =0得x11, x2 0 , x3 1,當x變化時，y ； y的變化情況如下表:由上表可知：y極大值f( 1)f(1) 1 , y®小值f(0) 0。13 .【解析】f(x)= 6 x (x 2)則 x = 0或x =2,又有區(qū)間端點 x = 2f (0) = m f( 2) = 40+m,f (2) =- 8+m,1- f

11、(0) = m為最大值m = 3最小值為f ( 2) =- 37.14 .【解析】(1)f'x) = 3x26x+a,由 f' +1) = 0,解得 a= 9.則 f' x) = 3x2 6x- 9= 3(x- 3)(x+ 1),故f(x)的單調遞增區(qū)間為(8, 1), (3, +8 f(x)的單調遞減區(qū)間為(一1,3).人,32,一 Q9° c,c(2)令 g(x) = f(x) (_x 15x3)= x3x + 6x+b 3,22則原題意等價于g(x) = 0有三個不同的根.'. g x)=3x2- 9x+6= 3(x-2)(x- 1),g(x)在

12、(8, 1), (2, +8止遞增，在(1,2)上遞減.則g(x)的極小值為g(2) = b-1<0,且g(x)的極大值為g(1) = b- - >0,21斛得一<b<1.2，b的取值范圍(11).2，15【解析】(1)由 f(x) = xcosx sinx 得,f (x) = cosx xsinx cosx = xsinx,.，一、一冗 ,，此在區(qū)間 0 上 f (x) = xsinx V0, ，2所以f(x)在區(qū)間冗 、，,0,-上單調遞減,2從而 f(x) < f(0) = 0 .(2)當 x>0 時,sinxa ”等價于 sinx- ax>0”

13、sinx bx< 0”令 g(x) =sinx cx,貝U g'(x)=cosx c,一，Tt .當c<0時，g(x)>0對xC(0,萬)上恒成立, 九 .當 c>1 時，因為對任息 xC(0,萬)，g (x) = cosx c< 0,一 兀所以g(x)在區(qū)間0, 5上單調遞減,，_. _ . .從而，g(x) vg(0) = 0對任息xC (0, 5)怛成立，當 0vcv 1 時，存在唯一的 xoC (0, 3 )使得 g (x0) = cosx。一c= 0, . .一、 九 g(x)與g(x)在區(qū)間(0, 一)上的情況如下：2(x0，二)x(0, x0)x02+ 一g'(x)g(x)因為g(x)在區(qū)間(0, x°)上是增函數,、， . . ，一 九，