2001年春季高考.上海卷.數(shù)學(xué)試題及答案

1、絕密啟用前2001年普通高等學(xué)校春季招生考試(上海卷)數(shù)學(xué)試卷考生注意：本試卷共有 22道試題，滿分150分.一、填空題(本大題滿分 48分)本大題共有12題.只要求直接填寫結(jié)果，每題填對得4分，否則一律是零分.1 .函數(shù) f(x) x2 1(x 0)的反函數(shù) f 1(x) .2 .若復(fù)數(shù)z滿足方程Zi i 1 (i是虛數(shù)單位)，則z=.sin x3 .函數(shù)y的最小正周期為 .1 cosx4 .二項式(x 36的展開式中常數(shù)項的值為 . x5 .若雙曲線的一個頂點坐標為(3, 0),焦距為10,則它的標準方程為 .6 .圓心在直線y x上且與x軸相切于點(1,0)的圓的方程為 .7 .計算：

2、lim (n-)n =. n n 18 .若向量，滿足|,則與所成角的大小為.9 .在大小相同的6個球中，2個紅球，4個是白球.若從中任意選取3個，則所選的3個球中至少有1個紅球的概率是 .(結(jié)果用分數(shù)表示)10 .若記號“ *”表示求兩個實數(shù) a與b的算術(shù)平均數(shù)的運算，即 a b ayb ,則兩邊均含有運算符號“ *”和“+”，且對于任意 3個實當選a、b、c都能成立的一個等式可以是11 .關(guān)于x的函數(shù)f (x) sin(x)有以下命題：(1)對任意的 ，f (x)都是非奇非偶函數(shù)；(2)不存在，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；(3)存在，使f(x)是奇函數(shù)；(4)對任意的，f (x)都不

3、是偶函數(shù),其中一個假命題的序號是 .因為當 =時，該命題的結(jié)論不成立,12 .甲、乙兩人于同一天分別攜款 1萬元到銀行儲蓄，甲存五年期定期儲蓄，年利率為2.88%* 乙存一年期定期儲蓄，年利率為2.25% ,并在每年到期時將本息續(xù)存一年期定期儲蓄 .按規(guī)定 每次計息時，儲戶須交納利息的 20%作為利息稅，若存滿五年后兩人同時從銀行取出存款，則甲與乙所得本息之和的差為 元.(假定利率五年內(nèi)保持不變，結(jié)果精確到1分)二、選擇題(本大題滿分 16分)本大題共有4題，每題都給出代號為 A、B、C、D的四個 結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的， 必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)， 選對 得4分，不

4、選，選錯或者選出的代號超過一個(不論是否都寫在圓括號內(nèi))，一律得零分.13 .若a、b為實數(shù)，則a b 0是a2 b2的()(A)充分不必要條件. (B)必要不充分條件. (C)充要條件.(D)既非充分條件也非必要條件.14 .若直線x 1的傾斜角為，則 ()(A)等于0(B)等于了(C)等于萬 (D)不存在15 .若有平面 與，且 l, ,P ,P l ,則下列命題中的假命題為(A)過點P且垂直于的直線平行于.(B)過點P且垂直于l的平面垂直于.(C)過點P且垂直于 的直線在內(nèi).(D)過點P且垂直于l的直線在 內(nèi).16.若數(shù)列an前8項的值各異，且an 8an對任意的n N都成立，則下列數(shù)列

5、中可取遍6an前8項值的數(shù)列為()(A)a2k 1(B) a3k 1(C) a4k 1(D) a6k 1三、解答題(本大題滿分 86分)本大題共有 6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.17 .(本題滿分12分)已知 R為全集，A x|log1(3 x) 2, B x|一一1,求 A B 2x 218 .(本題滿分12分)2已知2sin吧互 «),試用k表示sin cos 的值.1 tg4219.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題?黃分9分.用一塊鋼錠澆鑄一個厚度均勻，且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖)設(shè)容器的高為h米，蓋子邊長為a米.(1)求

6、a關(guān)于h的函數(shù)解析式；(2)設(shè)容器的容積為 V立方米，則當h為何值時，V最大？求出V的最大值.(求解本題時，不計容器的厚度)20.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分9分.在長方體 ABCD A1B1clD1 中，點 E、F 分別 BB1、DD1 上，且 AE A1B , AF A1D.(1)求證：A1C 平面AEF ;(2)若規(guī)定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角(或直角)，則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成的角相等.試根據(jù)上述定理，在 AB 4, AD 3, AA15時，求平面 AEF與平面D1

7、B1BD所成的角的大小.(用反三角函數(shù)值表示)21.(本題滿分16分)本題共有2個小題，第1小題滿分9分,2已知橢圓C的方程為x2工-1,點P(a,b)的坐標滿足a22圓交于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，求：第2小題?黃分7分.b- 1.過點P的直線l與橢2(1)點Q的軌跡方程；(2)點Q的軌跡與坐標軸的交點的個數(shù).22.(本題滿分18分)本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題?茜分13分.1 一已知an是首項為2,公比為一的等比數(shù)列，Sn為它的前n項和.2(1)用Sn表示Sn 1 ；S c 一(2)是否存在自然數(shù)c和k ,使得2成立.Sk c數(shù)學(xué)試卷答案要點及評分標準說明：1 .本

8、解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答 中評分標準的精神進行評分.2 .評閱試卷，應(yīng)堅持每題評閱到底，不要因為考生的解答中出現(xiàn)錯誤而中斷對該題的 評閱，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng)給分數(shù)之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分.3 .給分或扣分均以1分為單位.答案及評分標準一、(第1至12題)每一題正確的給 4分，否則一律得零分.1.x 1(x 1)2.3.4.20.5.6.(x1)2 (y 1)27.8.9.90°4510.(b*

9、c) (ab)*(a c),11.(a* b) a* (b (a*b)c)(1), k (k(a*c) (b*c), (a b)*c (b c)*a (b*a) c 等二 k (kZ)； (1), 2(a c)*b,Z)k (k Z)；(4), 2等2匕116(兩個空格全填對時才能得分，其中k也可以寫成任何整數(shù))12. 219.01二、（第13至16題）每一題正確的給 4分，否則一律得零分.13. A 14. C15. D 16. B三、（第17至22題）17.解 由已知 log1（3 x） log1 4 22因為y log 1X為減函數(shù)，所3 x 4 2x 4x 01 x 3所以 A x|

10、1 x 3由色一1 ,解得2 x 3*所以B x| 2 x 3 x 2于是A x| x1或x 3故 A B x| 2 x1 或x 32 2sin sin 2 八.18.解 因為2 sin cos1 tg所以 k 2sin cos2因而（sin cos ）1 2sin cos 1 k又一一，于是 sin cos 042因此 sin cos . 1 k19.解（1）設(shè)h'為正四棱錐的斜高由已知h214 -h'a 2, 21 22-ah',4解得 a 1 一（h 0）.h2 11 2 h（2） V -ha2 （h33（h2 1）1易得v 3（h h）0）一 ,11 一1 ,1

11、因為h 2jh 2,所以V 1h , h61等式當且僅當h ,，即h 1時取得.h故當h 1米時，V有最大值，V的最大值為1立方米.620.證（1）因為CB 平面A1B,所A1C在平面A1B上的射影為 A1B由 AB AE,AE 平面AB ,得 AC AE ,同理可證A1C AF因為 AC AF,A1c AE所以AC 平面AEFAG A1C12 28解（2）過A作BD的垂線交CD于G ,因為D1D AG ,所以 AG 平面D1B1BD設(shè)AG與A1c所成的角為，則 即為平面AEF與平面D1B1BD所成的角.由已知，計算得DG -.4如圖建立直角坐標系，則得點A（0,0,0）,9G（一,3,0）,

12、A1（0,0,5）,C（4,3,0）,49AG 一 ,3,0, A1C 4,3, 5,4因為AG與A1c所成的角為所以cos|AG|A1C|2512. 2 arccos25由定理知，平面 AEF與平面CEF所成角的大小為arccos1212521.解(1)設(shè)點A、B的坐標分別為 A(x1,y1)、B(x2,y2)，點Q的坐標為Q(x, y).當x1x2時，設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y k(x a) b22由已知x12出1演出1(1)22y1 k(x1 a) b, y2 k(x2 a) b (2)由(1)得1(x x2)(x1 x2) 2(y1 y2)(y nJ 0,(3)由(2)得y y

13、 k(x x2) 2ak 2b,(4)x x2y1 y2 , y1 y2由(3)、( 4)及 x , y , k ,22x1 x2得點Q的坐標滿足方程- 222x y 2ax by 0*(5)當x1x2時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點Q定落在x軸上，即Q的坐229標為(a, 0) .顯然點Q的坐標滿足方程(5). 綜上所述，點Q的坐標滿足方程222x y 2ax by 0.設(shè)方程(5)所表示的曲線為 L,則由222x y2ax1,by0,得(2a2 b2)x2 4ax 2 b2 0 +因為228b abl2b221,所以當b21時， =0,曲線L與橢圓C有且只有一個交點 P (a

14、, b) *當a21時，< 0,曲線L與橢圓C沒有交點，因為（0, 0）在橢圓C內(nèi),又在曲線L上，所以曲線L在橢圓C內(nèi).故點Q的軌跡方程為2x2y2 2ax by 0(2)22由2X yX 0,2 axby 0,解得曲線L與y軸交于點（00), (0, b) *,2x y 2ax by 0,由解得曲線L與x軸交于點（0, 0）, （a, 0）y 0,當a=0, b=0,即點P （a, b）為原點時，（a, 0）、（0, b）與（0, 0）重點，曲線L與坐標 軸只有一個交點（0, 0）.當a=0且0 bV2 ,即點P （a, b）不在橢圓C外且在除去原點的y軸上時，點（a, 0）與（0,

15、0）重合，曲線L與坐標軸有兩個交點（0, b）與（0, 0） .同理，當b=0且0 a 1,即點P （a, b）不在橢圓C外且在除去原點的x軸上時，曲線L與坐標軸有兩個交點（a, 0）與（0, 0） *當0 a 1且0 b2（1 a2）,即點p （a, b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標軸上時，曲線L與坐標軸有三個交點（a, 0）、（0, b）與（0, 0） 122.解（1）由 Sn 4 1,得2c11cSn1 4 1m 2& 2 （n N）.c 3Sk 2（2）要使Sk一c 2 ,只要2 0Sk cc Sk一、,131因為Sk4 1二4,所以Sk-Sk22-Sk0 （k N）,故只要2223-Sk 2 c Sk （k N）.3 3因為 Sk1 Sk（k N）,所以一Sk 2 -S1 2 1,4 2又Sk 4 ,故要使成立，c只能取2或3當c=2時，因為S1