2020屆吉林市高三第三調(diào)理科數(shù)學(xué)試題(含答案)

1、1.A.2.A.3.A.4.A.2020屆吉林市高三第三調(diào)理科數(shù)學(xué)試題、選擇題：本大題共 12題，每小題5分，共60分。已知集合2已知復(fù)數(shù)1._ i2已知向量J3已知m /C.5.A.6.A.7.A.8.A.9.A.10.A.11.A -1,0,1,2,B x|ylg(1 x),則 AI BB. 1,0C.1D. 1,0,1z滿足B.-3,1),C.D.,則向量b在向量a方向上的投影為C. 1D.m,n為兩條不重合直線,為兩個(gè)不重合平面，下列條件中,n, m , nn,m / ,n /B. m / n,mD. m n, m一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為10B.8C. 一37

2、D.3函數(shù)f(x)cos(2x）的對稱軸不可能為,n,n的充分條件是側(cè)視圖B.C.D.已知18f（x）為定義在R上的奇函數(shù),已知數(shù)列1318橢圓150已知且滿足f(x 4)f (x)，當(dāng)(0,2)時(shí),-_ 2f(x) 2x ,則 f (3)B. 18C.D.an為等比數(shù)列，若a6a7a8C.26,且 a513a936,D.則a613a7a81的焦點(diǎn)為E,F2,點(diǎn)P在橢圓上，若B. 135C. 120尸2|2,則F1PF2的大/、為D. 901、0.2 (二),b2log 1 0.2,c ab,則a,b,c的大小關(guān)系是2B. c a bC. a c bD. b c a趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)

3、家，大約公元222年，趙爽為周髀算經(jīng)一書作序時(shí)，介紹了勾股圓方圖”，又稱 趙爽弦圖"（以弦為邊長得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的，如圖（1）,類比 趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由 6個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形，設(shè) A F 2F A，若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為A.C.2 .13132.774 B.134 D.7ED12.已知Fi,F2分別為雙曲線C :2x2a2 y_ b21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P是其一條漸近線上一點(diǎn)，且以F1F2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P ,若 PF1F2的面積為

4、2史b2 ,則雙曲線的離心率為3A. 、. 3B. 2C. 、. 5D. 3二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13 .二項(xiàng)式(2 x)5的展開式中x3的系數(shù)為(用數(shù)字作答) 14 .已知兩圓相交于兩點(diǎn) A(a,3), B( 1,1),若兩圓圓心都在直線 x y b 0上，則a b的 值是 .15 .若點(diǎn)P(cos ,sin )在直線y 2x上，則cos(2)的值等于 .211216 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 2口且21 ,設(shè)f (x) ex e2 x 1 ,則n 4 n 4、，f(log2a1) f (log2 a2) LLf (log2 a7

5、)的值等于 .三、解答題：共70分。17. (12分)在 ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若J3a b(sin C J3cosC). (1)求角B的大小；若A 一 , D為 ABC外一點(diǎn)，DB 2,CD 1,求四邊形ABDC面積的最大值.318. (12分)在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號，鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí)。某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，對高三年級隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占-8,統(tǒng)計(jì)成績后得到如下 2

6、2列聯(lián)表:13分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計(jì)線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于 5小時(shí)419線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足 5小時(shí)合計(jì)45（1）請完成上面2 2列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；（2） （I）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取 9名學(xué)生，設(shè)抽到不足 120分且每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足 5小時(shí)的人數(shù)是 X ,求X的分布列（概率用組合數(shù)算式 表示）；（n）若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數(shù)學(xué)成績不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取 20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.（下面的臨界值

7、表供參考）2P(Kk。)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.8282，關(guān)孝八十IZ2Mad bC)(參考公式 K 其中n a b c d )求二面角FBE A的余弦值.(a b)(c d)(a c)(b d)20. （12分）已知傾斜角為 一的直線經(jīng)過拋物線 C : x _ _19. (12 分)如圖所不，在四棱錐 P ABCD 中，AB / CD , AD AB -CD, DAB 60，點(diǎn) E,F 分別為 CD,AP 的中點(diǎn).(1)證明：PC /面 BEF ;(2)若 PA PD，且 PA PD ,面 PAD 面

8、 ABCD , 2py（p 0）的焦點(diǎn)F ,與拋物線C相交于A、B兩 4點(diǎn)，且| AB | 8. （1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)P為拋物線C上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過P做傾斜角互補(bǔ)的兩條直線li、12,交拋物線C于另兩點(diǎn)C、D,記拋物線C在點(diǎn)P的切線1的傾斜角為，直線CD的傾斜角為，求證： 與互補(bǔ).21. (12 分)已知函數(shù) f(x) 1n x ax2 (a b 1)x b 1(a,b R). (1)若 a 0,試討論 f(x)的單調(diào)11性；(2)右0 a 2,b 1 ,頭數(shù)x1，x2為萬程f (x) m ax的兩不等實(shí)根，求證： 一 一 4 2a.X x2(二)選考題：共10分。請考生在

9、第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22. (10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 x J3cos (為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以 y sinx軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin(-) 2.(1)求曲線Ci的普通方程與6曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)A,B為曲線Ci上位于第一，二象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 AOB ,射線OA,OB 2ABCD的面積.交曲線C2分別于D,C,求 AOB面積的最小值，并求此時(shí)四邊形11123. (10分)已知a,b,c均為正實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x) |x | |x | 1的最小值為1. ab4c2證明：(1)

10、a2 b2 4c2 9； (2) 1.ab 2bc 2ac理科數(shù)學(xué)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)、選擇題123456789101112BBADADCACBDB二、填空題13. - 40;14. -1;15.- ;16. 753分三、解答題17.解:(1) Q 13ab(sinC J3cosC),由正弦定理得：.3sin Asin B(sin C 、3cosC),3sin(BC) sin Bsin C 由sinBcosC,即 VScosBsinC sin BsinCQsinC0,73cos B sin B 即 tan B J3Q B (0,),(2)在 VBCD 中, 22BD 2,CD 1 BC 122

11、21 2 cosD 5 4cos D又A ,則VABC為等邊三角形，Sv 3ABC2BC2sinS .,cosD又 SVBDCsin D sin D ,SABCD5.3sin D43COsD 5f2sin( D3)105一時(shí)，四邊形6ABCD的面積取最大值，最大值為巫2 .41218.解:(1)分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計(jì)線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于 5小時(shí)15419線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足 5小時(shí)101626合計(jì)252045K1 245(15 16 10 4)225 20 19 267.29 6.6356 分有99%的把握認(rèn)為高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)(2) (I)由分層抽樣知，需要從

12、不足120分的學(xué)生中抽取9 3 4人45X的可能取值為0, 1,2,3,4.P(X 0)C：C20,P(X 1)C3C；C40,P(X 2)管C20C1C3P(X 3)；416,P(X 4)C20G：C2o(II)從全校不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取 1人此人每周上線時(shí)間不少于5小時(shí)的概率為設(shè)從全校不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取B(20,0.6),故 E(Y) 20 0.6150.62520人，這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于12,D(Y) 20 0.6 (1 0.6) 4.8105小時(shí)的人數(shù)為Y,1219.解“(1)證明:連接AC交BE于H ,連接FHQ ABCE,HAB HCE, BHACH

13、AABH 9AH CHCEHFH PPCQ FH 面 FBE, PC面FBEPC P面 FBE(2)取AD中點(diǎn)O ,連POQ 面 PAD 面 ABCDOB .由 PA PD, PO ADPO 面ABCD,又由OB ADDAB 60°, AD AB以O(shè)A,OB,OP分別為X ,Y,Z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè) AD 2,則 A(1,0,0),B(0, 3，0)，D( 1，0，0)，P(0，0，1)，,，0，uurrEBuuruuirDA (2,0,0) , BFrrn1(0,0,1)為面BEA的一個(gè)法向量設(shè)面uuFBE的法向量為n2(Xo,yo,Zo)，分12uur依題意,EB n

14、22x0uuur BFurr%iz00令v。石，解得Zo6.uu (0,、3,6)10ir uuur ur -n1,n262 . 39cos( n1 ,n2) ur1-uu- -= / nie病 1312 分因?yàn)槎娼菫殇J角，故其余弦值為291320.解:(1)由題意設(shè)直線 AB的方程為y x R2令 A(xi,yi)BN, y2),聯(lián)立y U 得 y22x 2py23py 04y y2 3p,根據(jù)拋物線的定義得 AB y y2 P 4p,又AB 8, 4p 8, p 2故所求拋物線方程為 x2 4y 5 分222(2)依題意，設(shè) P(xo,旦)，C(xc,xC), D(xd,旭)4442設(shè)1

15、1的方程為y 匣 k(x x0),與x2 4y聯(lián)立4消去 y 得 x2 4kx 4kx0 x； 0 7 分xo xc 4k ,同理 x° xd4k 8 分22yl.x2X11xc xD2x0 ,直線 CD 的斜率 Kcd= (xc xd ) x0 10 分4(x2x1)42 1切線l的斜率K1 y xx - %。由K| Kcd0,得 與 互補(bǔ) 12 分飛221.解:1(1)依題意 x 0,當(dāng) a 0時(shí),f (x) (b 1)1 分x當(dāng)b 1時(shí)，f (x) 0恒成立，此時(shí)f (x)在定義域上單調(diào)遞增； 3 分一.， ，41當(dāng)b 1時(shí)，若x 0,b 1f (x) 0故此時(shí)f(x)的單調(diào)增

16、、減區(qū)間分別為03(2)方法1 :由f (x)2，r ,，m ax 得 ln x (a2)x 2令 g(x)In x(a2)x 2,貝U g(x1)gM) m依題意有In x1(a2)x1In x2 (a2)x2ln上22x1x21 要證一x1x2*22(2a)2ln xx-(不妨設(shè) x1 x2),X x>即證三X2X2xix22ln x110 分令 x2t(t1)g(t) 2ln t1 -t t, Qg(t)(11)2 0,g(t)在(1,)單調(diào)遞減,g(t) g(1) 0，從而有4 2a12方法2:由f(x)m ax2 得 lnx(a 2)x 2 m令 g(x) In x (a 2)

17、x 2 ,則 g(x1) gd)x1X2m，g (x)(2 a)1 一 一當(dāng) x (0,)g(x) 0,2 a,1故g(x)在(0,)上單調(diào)遞增，在2 a1,2 a1(2a,g(x) 0,)上單調(diào)遞減,不妨設(shè)x1x2,則01x12 a1 要證一x14 2ax2x2(4 2a)x2 1，易知x2(4 2a)x2 1故只需證g(x1) g(x2(4 2a)x2 1),即證 g(x2) g(x2(4 2a)x2 110令 h(x)g(x) g(x) ， ( x(4 2a)x 1則 h(x) g(x)4 2axi一 x 2gg (4 2a)x 11 (2 a)xx(2 a)x 124(2 a) 2 a

18、 x 122a x 14 2a x 111（也可代入后再求導(dǎo)）h(x)在上單調(diào)遞減,h(x)1J °，故對于x總有g(shù)(x) g( (42a)x 111）。由此信一x12a1222.解:（1）由曲線C1的參數(shù)方程為、.3 cossin（為參數(shù)）消去參數(shù)得曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin(6)x2x ,3y 4 02 即 sin coscos sin 一6622（2）依題意得C1的極坐標(biāo)方程為一cos一2 sin2135 分設(shè) A( 1, ),B( 2,2),D( 3, ),C( 4,-)22則 1 cos 3221 sin1,2 一一 22 sin2 22 cos7 分2114",當(dāng)且僅當(dāng) 12 (即1 2123一）時(shí)取一 48 分故 S AOB即 AOB面積的最小值為此時(shí)S cod2 si