高等數(shù)學期末復(fù)習多元函數(shù)微分學

1、高等數(shù)學期末復(fù)習第九章多元函數(shù)微分學一、容要求1 會求簡單二元函數(shù)定義域2 、 會求多二元函數(shù)表達式和值3 、 會求簡單二元函數(shù)的極限4 、 掌握二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義，性質(zhì)，能確識別二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義形式，得出偏導(dǎo)數(shù)正確表達5 、 會求二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)值：求偏導(dǎo)函數(shù)，代入點求值6 、 會求二元函數(shù)微分值：求偏導(dǎo)函數(shù)，代入點求微分表達式7 、 會按一元函數(shù)求導(dǎo)法則求直接函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)8 、 會由輪換對稱性確定多元函數(shù)對稱元導(dǎo)數(shù)9 、 會用鏈式規(guī)則求抽象形式多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)10 、會求多元函數(shù)全微分11 、會求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)12 、會求二元函數(shù)駐點，判定二元函數(shù)極值的存在性13 、能觀察出簡單多元函

2、數(shù)極值情況14 、能應(yīng)用多元函數(shù)求極值方法解決簡單應(yīng)用問題15 、會求空間曲面的切平面、法線方程16 、會求空間曲線的切線、法平面方程17 、會求多元函數(shù)的方向?qū)?shù)18 、會求多元函數(shù)的梯度二、例題習題1 、二元函數(shù)z arcsin# 的定義域是()xA. (x,y)|y| |x| B. (x,y)|y| |x|x 0C. ( x,y)|y | |x|x 0 D. ( x, y) | y | |x|x 0解：使函數(shù)z arcsin 有意義 ,x要求 1)只要 |Y | 1,x0，即 | y | |x|,x0，x所以，選B.(容x y2、函數(shù)f(x, y) In(x y)2 的定義域為解：使函數(shù)

3、f (x, y)所以填1 、2 -2 2 有意義，只要x y 0,x2ln(x y) 1y2( x, y) | x y 0,x0(容要求 1)3、設(shè) f(x y, x y) x 2 y2,則 f(x,y)().6 白im./島t2(0R/22 22(A) x y x y (C) (x y) (D) xy鏟 A.im sin xy lim 沁 u v , lim 沁*曰 m vn珈: 病小(以 y,v x x yx,y)場)y x xyy!(x，y) (v0y x/正(x,y)m(0,0)y 0x222 2 f(x y,x y) x yf (u,v) uv即由函數(shù)與自變量記號選取無關(guān)性有f （x

4、, y） xy。所以選 Do （容要求2）4、設(shè) f(x,y)解：f(2 3)5、A.2 2 ，貝 V f (2, 3)2xyJ9133所以填13 (容要求2)1212xyB.C.D.解：0M0）.xy 1xy(、；xy 1 1)C, xy 1 1)(。,。)xy (jxy 11),1Jl| %0)xy 1 12fx(0,0)x2x所以選A （容要求3）sin xy所以填0。（容要求3）sin xy7、 （x,yim（2,0）y2,所以填2 （容要求3）sin xysin xy解：區(qū)丫嚴(2,0)limlim x(x,y) (2,0)xy(x,y) (2,0)8、函數(shù) f （x, V）在點（0

5、,0）處存在偏導(dǎo)數(shù)，則limx 0f (0,0) f (2x,0)2fx (0,0)D2limf(2x)知丁) x 02 fx (0,0)1?- fx (0,0)解：由偏導(dǎo)數(shù)定義，lim f(0,0)f(2x,0)x 0所以選C （容要求4）9 函數(shù)f (x, y)在點(0, 0)處存在偏導(dǎo) 、數(shù)，則A 11.2 fy (0, 0) B ,1 fy (0, 0) C解：由偏導(dǎo)數(shù)定義,limf(0,0)f(o,y)v0 2y所以選Bo (容要求4)f(0,0)f(0, y)lim y 02y.2fy(0,0)D1lim f(o,y)2 y 0f(0,0)y()2fy (0,0)1一fy(0,0)

6、210、函數(shù)f （x, y）在點（X。）y ）處存在偏導(dǎo)數(shù)，則lim*工一血一一X 0VA. fx（ X0, y ） B解一.：由偏導(dǎo)數(shù)JE義，$ ,C fy(x , y )Dfx(x , y )C .】fy(X0, y)lim f(x ,y ) f(xX 0xX,%)limf (x0x 0X, y ) f(x ,y )xfx(X0,y)所以選A。（容要求4）11、函數(shù) f （x, y）續(xù)的（）在點（x。，y。）處偏導(dǎo)數(shù)存在是f （x, y）在點（）處連C.充分條件D.既不充分也不必要條件A.充分必要條件B .必要條件解：選D。（容要求4）12 設(shè)函數(shù) f (x, y)x2fy(1,1)().

7、(A) 1(B)(C)(D)x1斛：fy（x, y） 鼠所以fy（1,1）所以選Co 5（）容要求13、設(shè) z).y(1, 1)(A)(B)(C)2 2解：x y z2 , x x（D）所以選 Co （容要求（1,1）5）14解:ln(1 x2y2),則 dz| x 1y 22xx 1z _2y x 2 y 1 x2dz| ly15、設(shè)解:dz|xly16、設(shè)A.解:17(A)解:Adx 2dy ,所以填dz|12dx dy。（容要求6）1dX2X 2 X1&設(shè)(A)(C)解：二Xx22n(1dy,y areta nxsinxB.(B)y 1 cosX Xsin(xsin(x24x2si n(

8、2y ),則dz |(1,1)z _y 1 x2所以填dz|1 -cos Xy2),x2y2)3dX所以，|1 z|xX2C.).所以選X2z-(X(B)(D)22xcos(x（容要求2x y(C)Ao).D.（容要 求Do （容要 求sin (x22cosX X2cos( x 27)y2)y2)4x22z2 2 2),V 2cos( x y ) 4x sin(xX19、設(shè) zXB.C.(D)sin(x2geos*X Xy2)y2）,所以選Db （容要求7）1 D.1XyXy y x -,所以選D.(容要求7) xx設(shè) Z(1 xy)y, Zln(1 xy),所以填1 xyy(1 xy)y 1

9、 x ln(1 xy) (1 xy) y (1 xy)yx yxy遇x ln(1 xy)。(容要求 7)1 xy21 若函數(shù)Z 2x2解:Z .2x 4x y， zx22 設(shè) Z 2cos 2(x，xy2,貝U x2所以填4x y。 （容要求7）2 2騎，驗證E 2- Z Z 0Ox2.(x2 y2)3ysin (2 x y)2cos(2 xy),cos(2xy）,將上述導(dǎo)數(shù)代入式子左端得 0,所以等式成立。解：Z 2cos 2(xcos(2xy)2sin(2 x（容要求23、設(shè) Z4x2y22Z2Z2Z解:4x3x8xy , x12xx y x 8y2,16xy由x, y在表達式中的對稱 性

10、，2Z-2y12y8x2,16xyO（容要求8）24、設(shè) ZZ解：一x2乙2xx2y2由x, y在表達式中的對稱 性，x2巧，所以，吟)22yy2)32Z（容要求8）25ln(. x、y），求解:/yx, y在表達式中的對稱 性，26z ln(x2解:2x222( . x : y) : y,所 以，1-（容要求8）y2)，2z4x2(x2 2y )2y2 (x22x24xyyr由 性,x, yx y在表達式中的對稱2x2（容要 求8)27、設(shè) zIn (exe、),驗證2z2 x解：一x2z2y2x e=0.ey(exe )e?(ex ey)2 x yxe/y)2(e e )由x, y在表達式

11、中的對稱 性，式成立。（容要求2yexyx y 2(e e ),將上述各導(dǎo)數(shù)代入式子左端得0,所以等8)2&x22 2y2t,sinty cost ,求全導(dǎo)數(shù)dzdt解:dz dt2xcost 2y s int（容要求9）29ln v, u xy, v xy，求一,一及全微分dzx y解:Inv y u yln( vy) xy- In vx yyx U xln(x y)v分為 dz yl n(xy) Adx xl n(x x yy) J Ady。(容要求 9) x y30、設(shè) zy2淇中f u可微，則yx解：2xf x要求9）2-1 2yf x 2 y2,所以 y-? x x,所以填 x. y

12、 x y31、f(x22y ,e刈），其中f有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解:2xf,yexyf2,2yf1xey f2量（容要求9)32、設(shè) zf(x22 xy ,ey)，其中有 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解:2xe yf2,2yfi e yf2。（容要求 9）33解:34(A)(C)解:35(y(y函數(shù)f(yz, zx, x y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),xyf3x，則)dx (x)dx (xU f1 yf3, Uf1所以,u u 0 (容要求9)z的全微分x2)dy yx-)dyydz(B)(D)所以dz).(y(y1(y -)dx (xyln（x y）的全微分為解：-,所以x x y y x ydz（容要求10)36

13、、設(shè) y xey0,則).(A)斗xey 1(B)_eZ(C)1 )dxy1)dx一(dx x y dy)1 xey(D)(x(xx2)dy y1-)dyy）dy,所以所以填xeyAo （容要求10）dz - -(dx dy)。y1 xey38、設(shè) z 解：(y xe，y)是 0 方程 y z3 3eyzy0所確定的隱函藪，則薪以蓋bo )容要求11)z (y , y)z xyz 0 y(D)z ).x -y蝌于 3z2 x7 3yz 3xy y0 exyxx xy(C) 2 yzgy 同理,(D) x z xy e yzxyz=z2e yz z xy,所以選Ao (容要求11)解：ez -z

14、 yz xy -z 0 x x所以選e xyBo (容要求11)41、設(shè)方程xyz ez確定了二元函數(shù)z (x, y),則一 zy解：xz xyA ez -z4,所以填尋。(容要求11) e xye xy42、設(shè)方程x2 y2 z24z 0確定了二元函數(shù) z (x, y),則一 zy39、設(shè)方程xyzez確定了二元函數(shù)z f (x, V)，則一 z解: 解：2 y 2z 4一1 eAz40、設(shè)方程x 2y ez解:2 eAzJ,所以填2 z廠，所以填(容:求11)2 z(容要求11)z 0確定了二元函數(shù)f (x, y),則 y2 2一所以填-ez 1o(容要求11) ez 143、設(shè)方程 xy

15、 z sin z0確定了二元函數(shù)z (x,y),則x解：ycosz上 x x-y,所以填一 yx cosz 1O (容要求11)cos z 144、設(shè)函數(shù)f (x, y)2y 2013 ,貝U(xx(A) (0,1)不是f(x,y)的駐點(B) (0,1)是f (x, y)的駐點，但非極值點(C) (0,1)是f (x,y)的極小值點(D) (0,1)是f (x, y)的極大值點解:fx(x, y) 2x, f y(x, y)2y 2, fxx(x, y)2, fxy(x, y) 0, f yy(x, y)因為(0,1)滿足fx(x, y) 0, fy (x, y) 0 ,所以是駐點，又A f

16、xx(0,1)2,B fxy(0,1) 0,C f yy(0,1)有A 0, AC B 20, (0,1)是f (x, y)的極大值點。故選Do (容要求12)45、設(shè)z x3 3x y ,則它在點A.取得極大值B.C.取得極小值D.(1,0)處()無極值無法判斷是否有極值解：一3x2 3,二1,所以 x3 3x y無駐點,xy不存在偏導(dǎo)數(shù)不存的點, 故選B(容要求12)46、設(shè) z 4(x y)x2A.取得極大值B.C.取得極小值D.,則它在點(2, -2)處(無極值無法判斷是否有極值解:-4 2x,-z y2y,20, 2z2,故選A。(容要求12)y47、函數(shù) f (x, y)x2 4y

17、2 2x 在駐點(1,0)處(解：fx(x, y) 2x2, fy(x, y)取到極大值無法判斷是否有極值(A)取到極小值(B)(C)取不到極值(D)8y, fxx(x, y) 2, f xy(x,y) 0, f yy(x, y) 8,故選 A。(容要求12)二元函數(shù)6x 12y5 在(3,2)處();A.無法判斷是否有極值B.取不到極值C.取到極大值D.取到極小值解222:一2x 6,二3y212, 22, z 0,2 6y,故選 Co (容要求 12)49A.元(3,0y33x23y29x的勺極小值點為解:（容要求50A.(1,0)解:x（容要求51解:52、解:B.(3,2)C.(1,0

18、)D.(1,2)3x212)3x212)函數(shù)z顯然在（函數(shù)z顯然在（0,6xB.6x3x29,9,3y26y,26x 6,0,xy6y6故選Coy33x23y29x的勺極大值點(1,2)3y26y,C.(3,0)26x 6,xyD.3,2)2y2的極大值為處取極大值3,所以填4y5的極小值為3。（容要求13）0, 0)處取極小值5,所以填5。（容要求13）53、某養(yǎng)殖場飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng)的收獲量分別為：(3 xy)(4最大的放養(yǎng)數(shù)解：產(chǎn)魚總量3x 4yx22 xy 2解得x,y2(2（萬尾），乙種魚放養(yǎng)54、曲面z(A) 4x 2y20, zy6y6故選Do（萬尾），乙種魚放養(yǎng) y （萬

19、尾），收獲時兩種魚X 2 y) y ,(y2,所以0）,求使產(chǎn)魚總量?,由實際問題，產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)是甲種魚放養(yǎng)2）2 (22）（萬尾）（容要求14）x22y 1在點（2,1,4）的切平面萬程為（).(B)4x 2y z 14(C) 4 21(D)421ZZ22解：2x，2y,所以，Z x y 1在點(2,1,4)的法向量為4,2,1,所以在x y點(2,1,4)的切平面方程為 4(x 2)2( y 1) (z 4)0 ,整理得4x 2y z 60所以選Ao (容要求15)55、曲面x2 y2 z 1 0在點(2,1,4)的法線方程為().(A) 4x 2y z 60(B) 4x 2y z

20、 140? 口口.(D) 口山.421421解：由前題已求得在(2,1,4)的法向量為4,2,1,所以選Co(容要求15).56、 曲面e z xy 3在點(2,1,0)處的切平面方程為(B)/ax x 2 y 1(A)(C) x 2y 40(D)x 2y 40x解：令 F(x, y, z) e z z xy 3,則？ 一 y,一匚 x,上ez 1,由此得(2,1,0)處法x y z向量為1,2,0，所以得切平面方程為x 2y 4 0 ,所以選G (容要求15)57、曲面x xy 8x z 50在點(2, 3,1)處的法線方程為().(A)(B)(C) x 2y(D)令 F(x, y,z)xy

21、 8x2x(2, 3,1)處法向量為 1, 2,1,所以法線方程為求15)x,一匚1,由此得z1,所以選Ao(容要58、曲面x2z2 9在點(1, 2, 2)處的切平面方程為，法線方程為222解：令 F (x, y, z) x y z 9 ,F FF2x,2y, 2z,由此得x y z向量為2,4,4 ,切平面方程為2(x 1) 4(y 2) 4( z 2)0 x 2y(1,2, 2)處法2z 90x 1法線方程為一259、曲線 xy t2,口 口。(容要求2 215)t3在對應(yīng)于1點處的切線方程是 ().(A)(C)解：x 1,y 2t,z 3t(容要求16)60、曲線 x 1, y t3, z，在t 1點處的切向量為1,2,3 ,所以切線方程為Co所以選Co2t在點(1,1,1)處的切線方程 為，y 2 z 3x 1 y 2 z 36(B)亍 6y 1 z 1x 1 y 1 z 1(D) 亍 6