二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值教師版

1、高頻考點函數(shù)最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題一、 知識要點：一班函數(shù)求最值，二次函數(shù)求最值一元二次函數(shù)的區(qū)間最值問題，核心是函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間的相對位置關系的討論。一般分為：對稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況.、 題型：求最值，含參求最值，已知最值求參數(shù) （一）、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關系的討論往往成為解決這類問題的關鍵。此類問題包括（1）軸定區(qū)間定；（2）軸定區(qū)間動；（3）軸動區(qū)間定；（4）軸動區(qū)間動。1.軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最 值”。第1頁（共8頁）X高頻考

2、點函數(shù)最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題且圖象開口向上。顯然其頂點橫坐標不在區(qū)間第5頁（共8頁）2、軸動區(qū)間定的左側或左端點上。二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運動的，但定義域區(qū)間是固定的， 我們稱這種情況是“動二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例2.(1)求f (x) =x2+2ax+1在區(qū)間-1,2上的最大值。練(2)求函數(shù)y = x(xa)在x w -1 ,1上的最大值。解：(1)二次函數(shù)的對稱軸方程為x =-a ,11當a 2即 a A2 時，f(x)max = f(2)=4a+5；,1 r1 ,當-a 22 即 aE2 時，f (x)max = f ( T) =2a+2。1-2a 2

3、,a ,一2綜上所述：f(x)max=4。.一14a5,a-2aaaax=，應分1W 1 ,1 即2EaE2,22222a 2 a(2)函數(shù)y = -(x -) + 圖象的對稱軸方程為 24a -2和a a 2這三種情形討論，下列三圖分別為(1) a2 時；由圖可知 f(x)max = f(1)7(-1), a -2y最大=f(a), -2a2;即 y最大f(1),a 2一(a +1) , a -22,-2 a 1綜上討論，f (x)min =1, 0 t 12t +1 t t w 1若 22即2時，f(x)max=f(t 1)=t2 2(3)當 t +1 1 即 t 0 時,f(x)max

4、= f(t)=t2-2t 32t2 2,t綜上，f(x)maxt2 -2t3,t n(如圖 3) 2af (n)，1上e_ (m + n)(如圖2) 2f(x)min=f(2a2a三n(如圖4)一 bf (m),- m(如圖5) 2a2a陽3圖3閨5時例4.解:(3)f(n)，2a. n(如圖6)- b 1 一f(m), 之一(m + n)(如圖9)2a 2b=f(2a(m + n)(如圖 10)ra 6ra 8f(x)max(二)、逆向型： 是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。f (m), - b : m(如圖8)b 1f(n) 一孤力b),mW - W n(如圖 7

5、) f (x) min2ara 7已知函數(shù)f (x) =ax2+2ax+1在區(qū)間3,2上的最大值為4,求實數(shù)a的值。f (x) =a(x 1)2 1 -a,x -3,2若a = 0, f (x) =1,不符合題意。若 a A0,則 f(x)max = f(2)=8a+1一 .一3由 8a+1 =4,得 a =- 8若 a0 時，則 f (x)max = f (T) =1a由 1a=4,得 a = -3.3綜上知a = 一或a = -3例5.已知函數(shù)f(x) =8+ x在區(qū)間m,n上的最小值是3m最大值是3n,求m, n的值。高頻考點函數(shù)最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題解法1:討論對稱軸 器=1中1與m,mln,n的位置關系。2f(x)max = f(n)=3nf (x)min = f (m) =3m什m n d右1 n ,2m n右m 1 ,21f“咐二3無解f (x)min = f (m) = 3m廠一=3n,無解f (x)min = f (n) =3mf (x)max = f (m) =3nf (x)min = f (n) =3m綜上，m = -4, n = 012 111斛析 2：由 f (x) = (x -1)十一，知 3n E-, n E ,則m,n (-0,