三角形五心的總結(jié)與歸納

1、6、如圖，四邊形月萬8內(nèi)接于半。月方為直徑，功=4, ADCD=,貝/3C =A、IB、24C、我D、姮221簡解；(法一)延長AD, BC交于點E,連接BD. 貝lAD=ED=l, BE=AB=4,設(shè)BC=x,則CE=4-x由割線定理，得EDAE=ECBE=>2=4(4-x)m：（法二）設(shè)OF=x,則 DF=2xAD2-DF2=AO2-OF21<2-x）M-x2x=-47=3C=2OF=2x=-2（法三）ZABD=ZCBD=a, BC=x, BD=/l5一 ，15+x24 Jl?由余弦JE理，#cosa=-2月x47nx 二一?（法四）BD=", BC=x, AC=71

2、6-x2由托勒密定理，得JI? , V16-x2 =x+4=>x=，八一 EJ -13、（25分）如圖，在A43c中，ZJCB = 90%于點。萌為乙48c的平分線，BE交CD于點尸,DN工DE于，交5c于"，直線EV交/C于3/，求證：XV- CE.簡正如圖，顯能；BD'SCDL CD'sAADEBN CE CB DB DF=FNBCNC EA BA BC FCCE DC CM AM =:B、- DB - C、- 5B 二 AM=Cf3、如圖,在出，4BC中，跖是斜邊BC上的高線，。為HC邊上一點若 BD=CD=CF =1,貝i4C的長為A、冠BxC、應(yīng)D、場

3、解：(法一)設(shè)ADf,則ABJDx2nBe=JaB?+AC2=J2(x+1) AC2=CF,BC =>(x+l)-=2(x+l)=y2*/x+l =>(x+l )4=y2* n/1=:b=AC=(另解)過B作BG_BC交CA延長線于G.由于CD=BD,從而D為CG由點，易證 RdCAFSRtACBASRtZiCGBAC CB CG 4 AC CB CGn= = = /- =J2CF CA CB V CF CA CB ”所以AO5二動點二角形周長最值問題探索淺入深出問題1.P為NR0B內(nèi)部一點,在QA, CB上各找一點E、F,使得APEF的周長最小。如圖，當P點在以0為圓心，3為半徑

4、NAOB內(nèi)部運動時，OPE為等 腰直角三角形，答案仍然為3歷，由此可見，當NAOB確定時，0P長 確定，4PEF的周長最值不變。所以這類問題的最值/就和定角a及角內(nèi)定點(或動點)到角 的頂點距離m有關(guān),通過研究，我們可以得到一個非常簡潔的 結(jié)論為X2niSina (0< a <90° )Pi如圖,在四邊形ABCD中.-ABC 4，。.且AIXD.連接BD,若ABM,則AABD的面枳為三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心稱為三角形的五心它們都是三角形的重要相關(guān)點.（注：沒有中心）三角形內(nèi)心定義：三角形內(nèi)接圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心,三角形的內(nèi)心也就是三角形三個內(nèi)角的三條角平分

5、線交點。圖形：性質(zhì)：1、內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點；2、內(nèi)心到三角形三邊的距離都相等， 都等于內(nèi)切圓半徑r;3、內(nèi)心是內(nèi)切園的園心。做法：1.做出3BC的兩個內(nèi)角的平分線，交于一點，該點即為三角形內(nèi)心。三角形外心定義：三角形處接圓_的圓心叫做三角形的外心。三角形外接圓的圓心 也就是三角形三邊垂直平分線的交點。圖形:性質(zhì):1、外心是三角形三條邊垂直平分線的交點； 2、外心到三角行三個頂點的距離相等，都等于外切圓半徑R;3、外心是外切圓的圓心。作法:分別作三角形兩邊的中垂線交點計作O以O(shè)為圓心OA為半徑畫圓圓O即為所求其他：(1)銳角三角形的外心在三角形內(nèi);(2)直角三角形的外心在斜邊上，

6、與斜邊中點重合;(3)鈍角三角形的外心在三角形外.(4)等邊三角形外心與內(nèi)心為同一點。三角形的重心性質(zhì)：三角形重心是三角形三邊中線的交點。當幾何體為勻質(zhì)物體時，重心與形心重合(順口溜：三條中線必相交，交點命名為 重心”重心分割中線段，線段之比二比一； 圖形:性質(zhì)：1、三角形重心是三角形三邊中線的交點2、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為 2: 1。3、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。三角形的垂心定義：垂心：三角形的三條高或其延長線相交于一點， 這點稱為三角形的垂心。圖形：Ll: J三角形垂心圖冊性質(zhì)：1、三角形的三條高或其延長線的交點；2、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi);直角三角形的垂心在直角頂點上;鈍角三角形的垂心在三角形外.三角形的旁心定義：三角形旁切圓的圓心，簡稱為三角形旁心，它是三角形一個內(nèi)角的平分線和其他兩個內(nèi)角的外角平分線的交點；顯然，任何三角形都存在三個旁切圓、三個旁心。性質(zhì)：性質(zhì)1 :三角形的一條內(nèi) 角平分線與其他兩個角