剛體轉(zhuǎn)動慣量

1、剛體的轉(zhuǎn)動慣量的討論方法邵亮（安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院安徽 安慶246011）指導(dǎo)教師：陳力摘要：岡U體的轉(zhuǎn)動慣量即剛體繞軸轉(zhuǎn)動慣性的度量，應(yīng)用于剛體各種運(yùn)動的動力學(xué)計(jì)算中。一般 研究均勻剛體和不規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動慣量。本文將從剛體的轉(zhuǎn)動慣量定義、常見均勻剛體和復(fù)雜不規(guī)則 剛體的計(jì)算方法以及對剛體的轉(zhuǎn)動慣量錯(cuò)誤計(jì)算的分析。從而使人們在學(xué)習(xí)剛體的轉(zhuǎn)動慣量 時(shí)能開闊思維，學(xué)會尋求創(chuàng)新途徑去巧解各類剛體的轉(zhuǎn)動慣量。關(guān)鍵詞：剛體的轉(zhuǎn)動慣量，均勻剛體，不規(guī)則剛體，錯(cuò)誤計(jì)算的分析引言轉(zhuǎn)動慣量是剛體定軸轉(zhuǎn)動中的一個(gè)重要概念，在表征剛體轉(zhuǎn)動的定理、定中都離不開此概念。體是指大小和形狀保持不變的物體，而轉(zhuǎn)動慣

2、量則是剛體轉(zhuǎn)動時(shí)慣量大小的一個(gè)量度，是表征剛體特性的 一個(gè)物理量。剛體轉(zhuǎn)動慣量與剛體的大小、形狀、質(zhì)量、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)系。測量剛體的轉(zhuǎn) 動慣量對許多研究、設(shè)計(jì)工作都具有重要意義。一剛體的轉(zhuǎn)動慣量定義剛體的轉(zhuǎn)動慣量即剛體繞軸轉(zhuǎn)動慣性的度量。其數(shù)值為J=E mi*riA2，式中mi表示剛體的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，ri表示該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。求和號（或積分號）遍及整個(gè)剛體。轉(zhuǎn)動慣量只決定于 剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)（如角速度的大?。o關(guān)。規(guī)則形狀 的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可直接計(jì)得。不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量，一般用實(shí)驗(yàn)法測定。轉(zhuǎn) 動慣量應(yīng)用于剛體各種運(yùn)動的

3、動力學(xué)計(jì)算中。描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系，有如下的平行軸定理：剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于該剛體對同此軸平行并通過質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動慣量加上該剛體的質(zhì)量 同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項(xiàng)恒大于零，因此剛體繞過質(zhì)量中心之軸的轉(zhuǎn)動慣量是繞 該束平行軸諸轉(zhuǎn)動慣量中的最小者。二.轉(zhuǎn)動慣量概念的導(dǎo)出及其物理意義我們首先看看剛體繞一固定軸轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)，如果把剛體看成是質(zhì)點(diǎn)的集合體，當(dāng)剛體以角速度 w勻速轉(zhuǎn)動時(shí)，則剛體上的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做繞定軸為中心的、不同半徑的園周運(yùn)動，各質(zhì)點(diǎn)具有相同的角速度w。因此我們可以用諸質(zhì)點(diǎn)的園周運(yùn)動來代替剛體的轉(zhuǎn)動，這個(gè)特點(diǎn)為我們研究剛體的轉(zhuǎn)動提供了方便條件。一

4、個(gè)質(zhì)點(diǎn)（或物體）的平動動能為 Ek=?mv2，如果有一剛體以角速度 w繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，欲求剛體的轉(zhuǎn) 動動能，該如何計(jì)算？根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)，可先在剛體上取任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn) ，如圖（一）所示,其質(zhì)量m，該Sr質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為 ri，轉(zhuǎn)動時(shí)相應(yīng)的線速度 vi=wri，它的轉(zhuǎn)動動能為:整個(gè)剛滋的轉(zhuǎn)動動能用戰(zhàn)和汁算得知均*Ei S AEn S丨 II I i令 厶仲沖：該式叫轉(zhuǎn)動慣量定義式，它表明轉(zhuǎn)動慣量I等于剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì) 點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離的平方的乘積之總和 ，而與質(zhì)點(diǎn)的速度無關(guān)，把I代入式（I）中就得到剛體的轉(zhuǎn)動動能的 數(shù)學(xué)表達(dá)式為：瓦=丄!*n （2）轉(zhuǎn)動慣量的單位是：千克米當(dāng)R仁R2時(shí)

5、，得到薄壁圓筒（見圖2）的轉(zhuǎn)動慣量I = mR 2. 當(dāng)R仁0時(shí)，得到實(shí)心圓柱體（見圖3）的轉(zhuǎn)動慣量I= mR 2/2.,符號為kg m2,量綱為ML。轉(zhuǎn)動慣量的物理意義，可從轉(zhuǎn)動動能與平動動能的數(shù)學(xué)表達(dá)式相比較中看出，轉(zhuǎn)動慣量I相當(dāng)于質(zhì)量m,諸如此類的對應(yīng)關(guān)系還有，如：動量mv對應(yīng)于動量矩lw,動量守恒定律 刀mv=恒量,對應(yīng)于動量矩守恒定律萬刀I w=|恒量,從對應(yīng)關(guān)系的比較看，在數(shù)學(xué)表達(dá)式中的 位置,表明I與m具有相同的物理意義，所以我們說轉(zhuǎn)動慣量是表征物體轉(zhuǎn)動中慣性大小的 量度。兩者的物理意義雖有相同之處，但也有不同的地方，質(zhì)量m是不變的恒量，但轉(zhuǎn)動慣 量I除與質(zhì)量有關(guān)外，還要由轉(zhuǎn)軸的

6、位置，物體形狀及質(zhì)量分布情況而確定。三常用均勻剛體（一）常用均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量的求法討論1. 利用如圖1所示空心圓柱體對 z軸的轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算已知空心圓柱體（如圖1）的轉(zhuǎn)動慣量為I = m（ Ri2+R22） /2，則有：* JtIti 2耳呻汕闊fflJ實(shí)歸k卄I*3）因?yàn)樯鲜隹招膱A柱體、薄壁圓筒和實(shí)心圓柱體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量和厚度L無關(guān)，所以對應(yīng)有： 環(huán)形圓盤（見圖4）的轉(zhuǎn)動慣量 匸m （ Ri2+R22）/2， 圓環(huán)（見圖5）的轉(zhuǎn)動慣量I= mR2.陽壞形卿啓：-5岡耳圓盤（見圖6）的轉(zhuǎn)動慣量I= mR 2/2.利用上述實(shí)心圓柱體的I =mR 72.又可得到實(shí)心球（見圖7）的轉(zhuǎn)動

7、慣量.將實(shí)心球在與轉(zhuǎn)動 軸（z軸）垂直的方向上切成薄片,薄片半徑為r,厚度為dl,質(zhì)量為dm.根據(jù)幾何關(guān)系 即：r2= R2- （ R- 1）2= 2Rl- l 2，MWH 2 Li/r HpnPlTW 2mJ?7j利用上面實(shí)心球的l=2mR/5,還可得到空心球（見圖8）的轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)空心球內(nèi)徑為 R,外徑為同密度的實(shí)心球，若以R為半徑，則質(zhì)量為m;若以R為半徑，則質(zhì)量為m。 由m | = ml得 m i = J? |) m |=J| i故 / = 2廁：/?扌4 2卿|網(wǎng)丁 5=2m(R：”飄U：- ff；) =2jfi( ffj+ h+ 慣卅* 匕W：*甘：1/時(shí) ftj+ Abii+ ；

8、(3|當(dāng)式(3)中Ri= R2時(shí)，得到球殼(見圖9)的轉(zhuǎn)動慣量l=2mR/3R1= 0時(shí)，可以反過來得到實(shí)心球的I = 2mR 2/5.醫(yī)s先心M?陪9埠壺2. 利用如圖10空心圓柱體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算已知如圖10所示的空心圓柱體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為亠性如_空亠必則有：1) 當(dāng)R1= R2時(shí)，得到薄壁圓筒(見圖11)的轉(zhuǎn)動慣量2 2I = ( mR /2) + ( ml /12)(5)IX 10 紀(jì)心糊村作禺LI簿噸阿鬧2) 當(dāng)R1= 0時(shí)，得到實(shí)心圓柱體(見圖12)的轉(zhuǎn)動慣量2 2I = ( mR /4) + ( ml /12)(6)3）當(dāng)1= 0時(shí),由式、（5）、（6）可以對應(yīng)

9、地得到： 環(huán)形圓盤（見圖13）的轉(zhuǎn)動慣量I = m （ R i2+R2）/4. 圓環(huán)（見圖14）的轉(zhuǎn)動慣量I = mR 72. 圓盤（見圖15）的轉(zhuǎn)動慣量I = mR 74.圏M圓坤1 15 HI it4）當(dāng)R= 0時(shí)，由式可以得到棒A（見圖16）的轉(zhuǎn)動慣量I = ml2/12.W 16 H 5）禾I用棒A的轉(zhuǎn)動慣量I = ml 712.可以得到棒B（見圖17）的轉(zhuǎn)動慣量.爲(wèi) 17 H K對于棒B,設(shè)質(zhì)量為m,長度為1,轉(zhuǎn)動慣量為I ,則將兩根棒B直線連接后的棒A有2丨1= 2I= （ 2m） （21） /12故 I= m12 /3除此以外，還可以由實(shí)心圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式推得空心圓柱體和薄

10、壁圓筒的轉(zhuǎn)動慣量，或者由薄壁圓筒的轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式積得實(shí)心圓柱體和空心圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量；亦可以由空心圓柱體和薄壁圓筒的轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式分別積得空心球和球殼的轉(zhuǎn)動慣量；等等.在此不一一列舉.由此可見，因形狀上的聯(lián)系，這些常用規(guī)則形狀均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量之間也存在聯(lián) 系，它們可以相互推導(dǎo)在使用中，只需要記住很少的幾個(gè)公式，就可由此推出其它剛 體的轉(zhuǎn)動慣量.（二）巧算一類均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量1.證明及通式的推導(dǎo)設(shè)物體的質(zhì)量為m,通過物體質(zhì)心C的軸的方向用j表示.該物體對j軸的轉(zhuǎn)動 慣量表示為匸 kml2（ 1）其中k是常數(shù)，由物體的形狀和j的方向決定,l是物體的特征尺寸.現(xiàn)把物體分成n個(gè)小塊，其形狀和取向都

11、和原物體一樣.每個(gè)小塊對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣 量都可以用式（1）表示，且常數(shù)k相同，但m、I的值卻不同.則物體的轉(zhuǎn)動慣量可以 表示為1- E I其中Ii是第i個(gè)小塊對通過質(zhì)心C的軸的轉(zhuǎn)動慣量.由平行軸定理知2/it） + itj3）其中mi是第i個(gè)小塊的質(zhì)量，ri是從C點(diǎn)到第i個(gè)小塊的質(zhì)心的位置矢量，ai是 第i個(gè)小塊對通過自身質(zhì)心并與j平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量.如果每個(gè)小塊的尺寸是原物體的一半，那么可以表示為把式（1）代入式（4）得式（2）變?yōu)橛忠驗(yàn)橛衝個(gè)相等的小塊，故mi= m/ n,化簡得其中n= 2 d, d是物體的維數(shù).2.舉例例1：如圖1所示，質(zhì)量為m的均質(zhì)薄矩形物體，邊長為a、b, C為矩形的

12、質(zhì)心, 轉(zhuǎn)軸通過矩形質(zhì)心，且與矩形b邊平行.求物體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.戈1- 尸-晶ZFBE例2:如圖2體質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)x軸的轉(zhuǎn)動慣量，因?yàn)殚L方體是三維的，所以n= 23= 8,即可把長方 體分為:8 個(gè)尺寸是原物體尺寸的一半的相似長方體小塊，每個(gè)小長方體小塊的 八八U,則長方體對+ h2 乙 6二12同理，長方體對y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為I干1-先求長方體對16x軸的轉(zhuǎn)動慣量為/nl a+ A因?yàn)榫匦问嵌S的,所以n= 2 2= 4,即可把原矩形分4個(gè)尺寸是原物體尺寸的一半 的相似矩形小塊，所以3x 4L/=如所示，質(zhì)量為m的均質(zhì)長方體，長、寬、高分別為a、b、h,取長方 ,坐標(biāo)軸x、y、z分

13、別平行三條棱邊.求其對三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量.如果a= b= h= l,則長方體變?yōu)榱⒎襟w，此時(shí)立方體對x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量都是 I=ml2 /6。例3:如圖3所示,質(zhì)量為m的均質(zhì)薄三角形物體,邊長分別為a、b、c,底邊上 的高AH長為ha,三邊的中線AD、BE GF相交于一點(diǎn)C, C就是三角形的質(zhì)心，轉(zhuǎn)軸MN通過質(zhì)心且與a邊平行.求物體對轉(zhuǎn)軸MN的轉(zhuǎn)動慣量.因?yàn)楸∪切问嵌S的，所以可以把原三角形分為4個(gè)尺寸是原物體尺寸的一半的相似三角形小塊，但位于中間的三角形小塊的質(zhì)心與原物體的質(zhì)心重合，即r i= 0,所以 有四復(fù)雜不規(guī)則剛體測試原理和方法先使系統(tǒng)處于勻速轉(zhuǎn)動狀態(tài)，然后突然切斷電源，并使

14、電機(jī)電樞短路，這時(shí)系統(tǒng)就 會由勻速轉(zhuǎn)動狀態(tài)，逐步過渡到靜止?fàn)顟B(tài)，過渡時(shí)間與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)，為求得其關(guān)系, 可列出運(yùn)動方程式中w系統(tǒng)的角速度方程的初始條件為：t= 0時(shí),w（r）=M/R 式中M電機(jī)轉(zhuǎn)矩呂亠畀方程的解為：R 系統(tǒng)的阻尼系數(shù)系統(tǒng)的角速度將由初始速度 wo= M/ R下降到初始速度的 0. 368 倍,即 t= I / R時(shí),w= 0. 368w o,當(dāng)然也可取:IdIT阻尼小時(shí)取式（3）, 阻尼大時(shí)取式（2）。由此測得w由wo減速到0. 368w o所需的 時(shí)間,以及系統(tǒng)的阻尼系數(shù)R,既可求得系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量門。同樣,為避免求R,可 附加一慣量 ,并測得對應(yīng)的時(shí)間常數(shù) ，則系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量可

15、推導(dǎo)得出：I- KTTI -曬 ? =/ = A/(4/11 w IA/ = i - I我們通過加規(guī)則體可以準(zhǔn)確的算出,那么如何準(zhǔn)確的測出時(shí)間：是問題的關(guān)鍵。目前多數(shù)情況下是采用人工秒表計(jì)時(shí) ，然后平均的方法得到 ，誤差比較大，本文利用 PS-2129的 3倍16位定時(shí)/計(jì)數(shù)器,計(jì)數(shù)過程完全不需人的介入,因而也就避免了計(jì)時(shí) 過程中人為因素產(chǎn)生的誤差。五對剛體的轉(zhuǎn)動慣量錯(cuò)誤計(jì)算的分析轉(zhuǎn)動慣量是物理學(xué)中的重要概念，它是描述剛體在轉(zhuǎn)動中的慣性大小的物理量1 ,2 由定義式J=E( A miri )可看出，轉(zhuǎn)動慣量等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之和。如果剛體的質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)分布的，則

16、其轉(zhuǎn)動慣量可用積分進(jìn)行計(jì)算， 即J=/r2dm。公式看上去很簡單，但是在運(yùn)用積分求解轉(zhuǎn)動慣量時(shí)，往往由于積分方法 的錯(cuò)誤而導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，現(xiàn)以勻質(zhì)等腰三角形薄板為例，具體分析一下出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的 原因。兩種不同例：一勻質(zhì)等腰三角形薄板 ABC,高為h，底邊長為a，(即X軸)的轉(zhuǎn)動慣量，設(shè)薄板質(zhì)量為 m，面密度為 曠。解法一：在坐標(biāo)為、-y- i的地方作一寬度為dy的平行于：x的轉(zhuǎn)動慣量為：11 丁dJ=y2dmEb 山dI的積分方法h1所示，求其對底邊黃條，則其對x軸軸的細(xì)橫s 1鮮誌一喬竄昭n解法二：如圖2所示，在坐標(biāo)為x的地方作一寬度dx則其對x軸的轉(zhuǎn)動慣量為dJ=1/3y2dm的平行于y軸

17、的細(xì)豎條,血dm- & 由a我們知道一定的剛體對于確定的轉(zhuǎn)軸， 其轉(zhuǎn)動慣量為常數(shù)，以上是從轉(zhuǎn)動慣量的定義 式出發(fā)，運(yùn)用兩種不同的積分方法得出兩個(gè)不同的結(jié)果，顯然有一個(gè)是錯(cuò)誤的。2.對錯(cuò)誤的積分方法的分析從圖2中可看出， ABC是關(guān)于y軸對稱的，若我們求出 AOC對于x軸的轉(zhuǎn)動 慣量，根據(jù)疊加原理，則對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量即為其兩倍。因?yàn)? A A(X s hJ U- )dx“Ja A ABC A AOC)mh6可見第二種解法得出的Jxx=3/4mh是錯(cuò)誤的。而解法二的思路是正確的，被積函數(shù)式 也是對的，那么究竟錯(cuò)在什么地方呢？由高數(shù)知識可知，積分值不但與被積函數(shù)式有關(guān)， 而且也與積分區(qū)間有關(guān)，從圖

18、上看，x的積分區(qū)間從-a/2到a/2是沒有錯(cuò)誤的，這時(shí)我們 要同時(shí)考慮他的被積函數(shù)式、積分區(qū)間及其物理意義。當(dāng)F (x)為偶函數(shù)時(shí)F (xJ dx=2 1* txJ dxJ- 61/ (-而不是偶函數(shù)，所以a2 “ 6h X但是根據(jù)其物理意義及疊加原理得出的勻質(zhì)等腰三角形薄板對x軸的轉(zhuǎn)動慣量的積分表達(dá)式，它是正確的，所以解法二的結(jié)果必定有誤。其次我們由圖2可見，函數(shù)y (x)在區(qū)間-a/2,a/2 內(nèi)它是一個(gè)不連續(xù)函數(shù)，而不連續(xù)函數(shù)的積分要分段進(jìn)行才能得出正確結(jié)果，即:一；卅q叫)6由以上分析可知道，直接從定義式出發(fā)運(yùn)用積分方法求解剛體的轉(zhuǎn)動慣量時(shí)，積分表達(dá)式和積分區(qū)間要同時(shí)考慮，還要注意不連

19、續(xù)函數(shù)的分段積分，這是我們用積分求解轉(zhuǎn)動 慣量時(shí)應(yīng)注意的一個(gè)問題，但更重要的是要考慮它的物理意義， 這對于學(xué)生掌握轉(zhuǎn)動慣量 的求解及教師的教學(xué)都是一個(gè)很好的幫助。結(jié)論本文從剛體的轉(zhuǎn)動慣量定義、常見均勻剛體和復(fù)雜不規(guī)則剛體的計(jì)算方法以及對剛體的轉(zhuǎn)動慣量錯(cuò)誤計(jì)算的分析這幾個(gè)方面來闡述個(gè)人觀點(diǎn)。轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算在教學(xué)中雖不是重點(diǎn)，但做為各科知識間的聯(lián)系和運(yùn)用，應(yīng)該使學(xué)生掌握定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，尤其是積分變量的變換及統(tǒng)一積分變量和運(yùn)用已有的積分結(jié)果，變重積分和三重積分為線積分的計(jì)算方法到電磁學(xué)中還要運(yùn)用。雖然在本文中力求全面、客觀與準(zhǔn)確，但仍存在許多不足之處，如閱讀有限、教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)有限，沒有大量例

20、舉相關(guān)事 例，在今后的學(xué)習(xí)中會不斷加深理解！參考文獻(xiàn)：1 鄭祖怡，轉(zhuǎn)動慣量及其計(jì)算，邯鄲師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)報(bào)),1992年1.2期2 陸果.基礎(chǔ)物理學(xué)教程上卷M . 北京：高等教育出版社，1999. 102-103.3 萬仁浚，喬本元.大學(xué)物理M. 北京：北京郵電大學(xué)出版社，1995. 134-137.4 周衍柏.理論力學(xué)教程M.北京：高等教育出版社，1985. 227. 樓智美巧算常見均質(zhì)旋轉(zhuǎn)體對母線的轉(zhuǎn)動慣量J.大學(xué)物理，2003, 22(11) : 26-27.數(shù)學(xué)手冊編寫組.數(shù)學(xué)手冊M.北京：人民教育出版社，1979. 62-63.Discuss the rotary inertia of a rigid bodyLia ng Shao(School of Physics and Electrical Engineering of Anqing Normal College,Anqing 246011)Abstract: Moment of inertia of rigid body is rot