剛體轉動慣量

1、剛體的轉動慣量的討論方法邵亮（安慶師范學院物理與電氣工程學院安徽 安慶246011）指導教師：陳力摘要：岡U體的轉動慣量即剛體繞軸轉動慣性的度量，應用于剛體各種運動的動力學計算中。一般 研究均勻剛體和不規(guī)則剛體的轉動慣量。本文將從剛體的轉動慣量定義、常見均勻剛體和復雜不規(guī)則 剛體的計算方法以及對剛體的轉動慣量錯誤計算的分析。從而使人們在學習剛體的轉動慣量 時能開闊思維，學會尋求創(chuàng)新途徑去巧解各類剛體的轉動慣量。關鍵詞：剛體的轉動慣量，均勻剛體，不規(guī)則剛體，錯誤計算的分析引言轉動慣量是剛體定軸轉動中的一個重要概念，在表征剛體轉動的定理、定中都離不開此概念。體是指大小和形狀保持不變的物體，而轉動慣

2、量則是剛體轉動時慣量大小的一個量度，是表征剛體特性的 一個物理量。剛體轉動慣量與剛體的大小、形狀、質量、質量分布及轉軸位置有關系。測量剛體的轉 動慣量對許多研究、設計工作都具有重要意義。一剛體的轉動慣量定義剛體的轉動慣量即剛體繞軸轉動慣性的度量。其數值為J=E mi*riA2，式中mi表示剛體的某個質點的質量，ri表示該質點到轉軸的垂直距離。求和號（或積分號）遍及整個剛體。轉動慣量只決定于 剛體的形狀、質量分布和轉軸的位置，而同剛體繞軸的轉動狀態(tài)（如角速度的大?。o關。規(guī)則形狀 的均質剛體，其轉動慣量可直接計得。不規(guī)則剛體或非均質剛體的轉動慣量，一般用實驗法測定。轉 動慣量應用于剛體各種運動的

3、動力學計算中。描述剛體繞互相平行諸轉軸的轉動慣量之間的關系，有如下的平行軸定理：剛體對一軸的轉動慣量，等于該剛體對同此軸平行并通過質心之軸的轉動慣量加上該剛體的質量 同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項恒大于零，因此剛體繞過質量中心之軸的轉動慣量是繞 該束平行軸諸轉動慣量中的最小者。二.轉動慣量概念的導出及其物理意義我們首先看看剛體繞一固定軸轉動的特點，如果把剛體看成是質點的集合體，當剛體以角速度 w勻速轉動時，則剛體上的每一個質點在做繞定軸為中心的、不同半徑的園周運動，各質點具有相同的角速度w。因此我們可以用諸質點的園周運動來代替剛體的轉動，這個特點為我們研究剛體的轉動提供了方便條件。一

4、個質點（或物體）的平動動能為 Ek=?mv2，如果有一剛體以角速度 w繞定軸轉動時，欲求剛體的轉 動動能，該如何計算？根據剛體轉動的特點，可先在剛體上取任意一個質點 ，如圖（一）所示,其質量m，該Sr質點到轉軸的距離為 ri，轉動時相應的線速度 vi=wri，它的轉動動能為:整個剛滋的轉動動能用戰(zhàn)和汁算得知均*Ei S AEn S丨 II I i令 厶仲沖：該式叫轉動慣量定義式，它表明轉動慣量I等于剛體中每個質點的質量與這一質 點到轉軸的距離的平方的乘積之總和 ，而與質點的速度無關，把I代入式（I）中就得到剛體的轉動動能的 數學表達式為：瓦=丄!*n （2）轉動慣量的單位是：千克米當R仁R2時

5、，得到薄壁圓筒（見圖2）的轉動慣量I = mR 2. 當R仁0時，得到實心圓柱體（見圖3）的轉動慣量I= mR 2/2.,符號為kg m2,量綱為ML。轉動慣量的物理意義，可從轉動動能與平動動能的數學表達式相比較中看出，轉動慣量I相當于質量m,諸如此類的對應關系還有，如：動量mv對應于動量矩lw,動量守恒定律 刀mv=恒量,對應于動量矩守恒定律萬刀I w=|恒量,從對應關系的比較看，在數學表達式中的 位置,表明I與m具有相同的物理意義，所以我們說轉動慣量是表征物體轉動中慣性大小的 量度。兩者的物理意義雖有相同之處，但也有不同的地方，質量m是不變的恒量，但轉動慣 量I除與質量有關外，還要由轉軸的

6、位置，物體形狀及質量分布情況而確定。三常用均勻剛體（一）常用均勻剛體的轉動慣量的求法討論1. 利用如圖1所示空心圓柱體對 z軸的轉動慣量的表達式進行計算已知空心圓柱體（如圖1）的轉動慣量為I = m（ Ri2+R22） /2，則有：* JtIti 2耳呻汕闊fflJ實歸k卄I*3）因為上述空心圓柱體、薄壁圓筒和實心圓柱體對z軸的轉動慣量和厚度L無關，所以對應有： 環(huán)形圓盤（見圖4）的轉動慣量 匸m （ Ri2+R22）/2， 圓環(huán)（見圖5）的轉動慣量I= mR2.陽壞形卿啓：-5岡耳圓盤（見圖6）的轉動慣量I= mR 2/2.利用上述實心圓柱體的I =mR 72.又可得到實心球（見圖7）的轉動

7、慣量.將實心球在與轉動 軸（z軸）垂直的方向上切成薄片,薄片半徑為r,厚度為dl,質量為dm.根據幾何關系 即：r2= R2- （ R- 1）2= 2Rl- l 2，MWH 2 Li/r HpnPlTW 2mJ?7j利用上面實心球的l=2mR/5,還可得到空心球（見圖8）的轉動慣量。設空心球內徑為 R,外徑為同密度的實心球，若以R為半徑，則質量為m;若以R為半徑，則質量為m。 由m | = ml得 m i = J? |) m |=J| i故 / = 2廁：/?扌4 2卿|網丁 5=2m(R：”飄U：- ff；) =2jfi( ffj+ h+ 慣卅* 匕W：*甘：1/時 ftj+ Abii+ ；

8、(3|當式(3)中Ri= R2時，得到球殼(見圖9)的轉動慣量l=2mR/3R1= 0時，可以反過來得到實心球的I = 2mR 2/5.醫(yī)s先心M?陪9埠壺2. 利用如圖10空心圓柱體對z軸的轉動慣量的表達式進行計算已知如圖10所示的空心圓柱體對z軸的轉動慣量為亠性如_空亠必則有：1) 當R1= R2時，得到薄壁圓筒(見圖11)的轉動慣量2 2I = ( mR /2) + ( ml /12)(5)IX 10 紀心糊村作禺LI簿噸阿鬧2) 當R1= 0時，得到實心圓柱體(見圖12)的轉動慣量2 2I = ( mR /4) + ( ml /12)(6)3）當1= 0時,由式、（5）、（6）可以對應

9、地得到： 環(huán)形圓盤（見圖13）的轉動慣量I = m （ R i2+R2）/4. 圓環(huán)（見圖14）的轉動慣量I = mR 72. 圓盤（見圖15）的轉動慣量I = mR 74.圏M圓坤1 15 HI it4）當R= 0時，由式可以得到棒A（見圖16）的轉動慣量I = ml2/12.W 16 H 5）禾I用棒A的轉動慣量I = ml 712.可以得到棒B（見圖17）的轉動慣量.爲 17 H K對于棒B,設質量為m,長度為1,轉動慣量為I ,則將兩根棒B直線連接后的棒A有2丨1= 2I= （ 2m） （21） /12故 I= m12 /3除此以外，還可以由實心圓柱體的轉動慣量表達式推得空心圓柱體和薄

10、壁圓筒的轉動慣量，或者由薄壁圓筒的轉動慣量表達式積得實心圓柱體和空心圓柱體的轉動慣量；亦可以由空心圓柱體和薄壁圓筒的轉動慣量表達式分別積得空心球和球殼的轉動慣量；等等.在此不一一列舉.由此可見，因形狀上的聯系，這些常用規(guī)則形狀均勻剛體的轉動慣量之間也存在聯 系，它們可以相互推導在使用中，只需要記住很少的幾個公式，就可由此推出其它剛 體的轉動慣量.（二）巧算一類均質剛體的轉動慣量1.證明及通式的推導設物體的質量為m,通過物體質心C的軸的方向用j表示.該物體對j軸的轉動 慣量表示為匸 kml2（ 1）其中k是常數，由物體的形狀和j的方向決定,l是物體的特征尺寸.現把物體分成n個小塊，其形狀和取向都

11、和原物體一樣.每個小塊對質心的轉動慣 量都可以用式（1）表示，且常數k相同，但m、I的值卻不同.則物體的轉動慣量可以 表示為1- E I其中Ii是第i個小塊對通過質心C的軸的轉動慣量.由平行軸定理知2/it） + itj3）其中mi是第i個小塊的質量，ri是從C點到第i個小塊的質心的位置矢量，ai是 第i個小塊對通過自身質心并與j平行的軸的轉動慣量.如果每個小塊的尺寸是原物體的一半，那么可以表示為把式（1）代入式（4）得式（2）變?yōu)橛忠驗橛衝個相等的小塊，故mi= m/ n,化簡得其中n= 2 d, d是物體的維數.2.舉例例1：如圖1所示，質量為m的均質薄矩形物體，邊長為a、b, C為矩形的

12、質心, 轉軸通過矩形質心，且與矩形b邊平行.求物體對轉軸的轉動慣量.戈1- 尸-晶ZFBE例2:如圖2體質心為坐標原點x軸的轉動慣量，因為長方體是三維的，所以n= 23= 8,即可把長方 體分為:8 個尺寸是原物體尺寸的一半的相似長方體小塊，每個小長方體小塊的 八八U,則長方體對+ h2 乙 6二12同理，長方體對y、z軸的轉動慣量分別為I干1-先求長方體對16x軸的轉動慣量為/nl a+ A因為矩形是二維的,所以n= 2 2= 4,即可把原矩形分4個尺寸是原物體尺寸的一半 的相似矩形小塊，所以3x 4L/=如所示，質量為m的均質長方體，長、寬、高分別為a、b、h,取長方 ,坐標軸x、y、z分

13、別平行三條棱邊.求其對三個坐標軸的轉動慣量.如果a= b= h= l,則長方體變?yōu)榱⒎襟w，此時立方體對x、y、z軸的轉動慣量都是 I=ml2 /6。例3:如圖3所示,質量為m的均質薄三角形物體,邊長分別為a、b、c,底邊上 的高AH長為ha,三邊的中線AD、BE GF相交于一點C, C就是三角形的質心，轉軸MN通過質心且與a邊平行.求物體對轉軸MN的轉動慣量.因為薄三角形是二維的，所以可以把原三角形分為4個尺寸是原物體尺寸的一半的相似三角形小塊，但位于中間的三角形小塊的質心與原物體的質心重合，即r i= 0,所以 有四復雜不規(guī)則剛體測試原理和方法先使系統(tǒng)處于勻速轉動狀態(tài)，然后突然切斷電源，并使

14、電機電樞短路，這時系統(tǒng)就 會由勻速轉動狀態(tài)，逐步過渡到靜止狀態(tài)，過渡時間與轉動慣量有關，為求得其關系, 可列出運動方程式中w系統(tǒng)的角速度方程的初始條件為：t= 0時,w（r）=M/R 式中M電機轉矩呂亠畀方程的解為：R 系統(tǒng)的阻尼系數系統(tǒng)的角速度將由初始速度 wo= M/ R下降到初始速度的 0. 368 倍,即 t= I / R時,w= 0. 368w o,當然也可取:IdIT阻尼小時取式（3）, 阻尼大時取式（2）。由此測得w由wo減速到0. 368w o所需的 時間,以及系統(tǒng)的阻尼系數R,既可求得系統(tǒng)轉動慣量門。同樣,為避免求R,可 附加一慣量 ,并測得對應的時間常數 ，則系統(tǒng)轉動慣量可

15、推導得出：I- KTTI -曬 ? =/ = A/(4/11 w IA/ = i - I我們通過加規(guī)則體可以準確的算出,那么如何準確的測出時間：是問題的關鍵。目前多數情況下是采用人工秒表計時 ，然后平均的方法得到 ，誤差比較大，本文利用 PS-2129的 3倍16位定時/計數器,計數過程完全不需人的介入,因而也就避免了計時 過程中人為因素產生的誤差。五對剛體的轉動慣量錯誤計算的分析轉動慣量是物理學中的重要概念，它是描述剛體在轉動中的慣性大小的物理量1 ,2 由定義式J=E( A miri )可看出，轉動慣量等于剛體上各質點的質量與各質點到轉軸的距離平方的乘積之和。如果剛體的質點是連續(xù)分布的，則

16、其轉動慣量可用積分進行計算， 即J=/r2dm。公式看上去很簡單，但是在運用積分求解轉動慣量時，往往由于積分方法 的錯誤而導致錯誤的結果，現以勻質等腰三角形薄板為例，具體分析一下出現計算錯誤的 原因。兩種不同例：一勻質等腰三角形薄板 ABC,高為h，底邊長為a，(即X軸)的轉動慣量，設薄板質量為 m，面密度為 曠。解法一：在坐標為、-y- i的地方作一寬度為dy的平行于：x的轉動慣量為：11 丁dJ=y2dmEb 山dI的積分方法h1所示，求其對底邊黃條，則其對x軸軸的細橫s 1鮮誌一喬竄昭n解法二：如圖2所示，在坐標為x的地方作一寬度dx則其對x軸的轉動慣量為dJ=1/3y2dm的平行于y軸

17、的細豎條,血dm- & 由a我們知道一定的剛體對于確定的轉軸， 其轉動慣量為常數，以上是從轉動慣量的定義 式出發(fā)，運用兩種不同的積分方法得出兩個不同的結果，顯然有一個是錯誤的。2.對錯誤的積分方法的分析從圖2中可看出， ABC是關于y軸對稱的，若我們求出 AOC對于x軸的轉動 慣量，根據疊加原理，則對于x軸的轉動慣量即為其兩倍。因為( A A(X s hJ U- )dx“Ja A ABC A AOC)mh6可見第二種解法得出的Jxx=3/4mh是錯誤的。而解法二的思路是正確的，被積函數式 也是對的，那么究竟錯在什么地方呢？由高數知識可知，積分值不但與被積函數式有關， 而且也與積分區(qū)間有關，從圖

18、上看，x的積分區(qū)間從-a/2到a/2是沒有錯誤的，這時我們 要同時考慮他的被積函數式、積分區(qū)間及其物理意義。當F (x)為偶函數時F (xJ dx=2 1* txJ dxJ- 61/ (-而不是偶函數，所以a2 “ 6h X但是根據其物理意義及疊加原理得出的勻質等腰三角形薄板對x軸的轉動慣量的積分表達式，它是正確的，所以解法二的結果必定有誤。其次我們由圖2可見，函數y (x)在區(qū)間-a/2,a/2 內它是一個不連續(xù)函數，而不連續(xù)函數的積分要分段進行才能得出正確結果，即:一；卅q叫)6由以上分析可知道，直接從定義式出發(fā)運用積分方法求解剛體的轉動慣量時，積分表達式和積分區(qū)間要同時考慮，還要注意不連

19、續(xù)函數的分段積分，這是我們用積分求解轉動 慣量時應注意的一個問題，但更重要的是要考慮它的物理意義， 這對于學生掌握轉動慣量 的求解及教師的教學都是一個很好的幫助。結論本文從剛體的轉動慣量定義、常見均勻剛體和復雜不規(guī)則剛體的計算方法以及對剛體的轉動慣量錯誤計算的分析這幾個方面來闡述個人觀點。轉動慣量的計算在教學中雖不是重點，但做為各科知識間的聯系和運用，應該使學生掌握定積分在物理學中的應用，尤其是積分變量的變換及統(tǒng)一積分變量和運用已有的積分結果，變重積分和三重積分為線積分的計算方法到電磁學中還要運用。雖然在本文中力求全面、客觀與準確，但仍存在許多不足之處，如閱讀有限、教學實踐經驗有限，沒有大量例

20、舉相關事 例，在今后的學習中會不斷加深理解！參考文獻：1 鄭祖怡，轉動慣量及其計算，邯鄲師專學報(自然科學報),1992年1.2期2 陸果.基礎物理學教程上卷M . 北京：高等教育出版社，1999. 102-103.3 萬仁浚，喬本元.大學物理M. 北京：北京郵電大學出版社，1995. 134-137.4 周衍柏.理論力學教程M.北京：高等教育出版社，1985. 227. 樓智美巧算常見均質旋轉體對母線的轉動慣量J.大學物理，2003, 22(11) : 26-27.數學手冊編寫組.數學手冊M.北京：人民教育出版社，1979. 62-63.Discuss the rotary inertia of a rigid bodyLia ng Shao(School of Physics and Electrical Engineering of Anqing Normal College,Anqing 246011)Abstract: Moment of inertia of rigid body is rot