高一數(shù)學(xué)例題充要條件

1、例1 已知p： x1, x2是方程x2+5x 6= 0的兩根，q： x1+x2= 5,則p是q的A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件分析 利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)換.解 .x1, x2是方程x2+5x6=0的兩根，x1? x2的值分別為1,-6,. x + x2= 1 6 = 5.說(shuō)明p= q.但向冷門事實(shí)上只要取兩=-2,時(shí)二-3作為反例即可說(shuō)明這一點(diǎn).因此選A .說(shuō)明：判斷命題為假命題可以通過(guò)舉反例.例2 p是q的充要條件的是A. p： 3x+2>5, q： -2x-3>- 5B. p: a>2, bv2, q： a>bC. p：四邊形

2、的兩條對(duì)角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形D. p： aw0, q：關(guān)于x的方程ax=1有惟一解分析逐個(gè)驗(yàn)證命題是否等價(jià).解 對(duì)A . p： x>1, q： x<1,所以，p是q的既不充分也不必要條件；對(duì)B. p=q但q'p, p是q的充分非必要條件；對(duì)c. p、>q且q=p, p是q的必要非充分條件；對(duì)D. pq且qp,即pq, p是q的充要條件.選 D.說(shuō)明：當(dāng)a=0時(shí)，ax=0有無(wú)數(shù)個(gè)解.例3若A是B成立的充分條件，D是C成立的必要條件，C是B成立的充要條件，則D是A成立的A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件分析 通過(guò)B、C作為橋梁聯(lián)系

3、A、D.解A是B的充分條件，A n B.D是C成立的必要條件，C=D.C是B成立的充要條件，. CB由得A-C由得AnD.，D是A成立的必要條件.選 B.說(shuō)明：要注意利用推出符號(hào)的傳遞性.例4 設(shè)命題甲為：0VXV5,命題乙為|x2|<3,那么甲是乙的A .充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件分析先解不等式再判定.解 解不等式|x 2|<3得一1VXV5.0 v xv 5 0 1 v xv 5,但一1vxv5、0vxv5，甲是乙的充分不必要條件，選 A.說(shuō)明：一般情況下，如果條件甲為xC A,條件乙為xCB.當(dāng)且僅當(dāng)A B時(shí)，甲為乙的充分條件；當(dāng)且僅

4、當(dāng)A B時(shí)，甲為乙的必要條件； 當(dāng)且僅當(dāng)A = B時(shí)，甲為乙的充要條件.例5設(shè)A、B、C三個(gè)集合，為使 A' (BUC),條件A§B是A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件分析 可以結(jié)合圖形分析.請(qǐng)同學(xué)們自己畫圖.解而 B 匚(EU C),.A(BUC).但是，當(dāng) B = N, C=R, A = Z 時(shí)，顯然A婕(BU C),但A吳B不成立，綜上所述：“A§Eb” : “A(BUC)”，而“A&(BUC)” w “A襄B”.即“A襄B”是“A頻(BUC)”的充分條件(不必要).選A.說(shuō)明：畫圖分析時(shí)要畫一般形式的圖，特殊形式的圖會(huì)掩蓋真

5、實(shí)情況.例6給出下列各組條件：(1)p： ab= 0, q： a2+b2=0;(2)p： xy >0, q： |x|十|y|=|x+y|;(3)p： m>0, q：方程 x2x m=0 有實(shí)根;(4)p： |x -1|>2, q： xv1.其中p是q的充要條件的有A. 1組 B. 2組C. 3組 D. 4組分析使用方程理論和不等式性質(zhì).解(1)p是q的必要條件(2)p是q充要條件(3)p是q的充分條件(4)p是q的必要條件.選 A.說(shuō)明：ab=0指其中至少有一個(gè)為零，而a2 + b2=0指兩個(gè)都為零.x1>3x1 x2>6例71 是12 的條件.x2>3 x

6、1x2>9分析 將前后兩個(gè)不等式組分別作等價(jià)變形，觀察兩者之間的關(guān)系.解 x1>3H x2>3 x1+x2 >6 且 x1x2 >9 ,但當(dāng)取 x1 = 10, x2 = 2 時(shí),x1 x2>6x1>312 成立，而 1不成立(x2=2與x2>3矛盾)，所以填 充分不x1x2>9x2>3必要”.說(shuō)明:x1> 3x2> 3x1-3>0x2-3>0(x1-3)+(x2-3)>0(x1-3)(x2-3)>0這一等價(jià)變形方法有時(shí)會(huì)用得上.x1 + x2 >6x1x2 3(x1 + x2) + 9>

7、;0例8已知真命題" anb=c>d”和“ av b=ew f"，則“ cw d”是“ e wf”的 條件.分析a> b =c> d(原命題)，c< d=av b(逆否命題).而 a<b :e<f,c< d =ew f即c< d是e< f的充分條件.答填寫“充分”.說(shuō)明：充分利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性是常見(jiàn)的思想方法.例9 ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是A . 0< a< 1B. av 1C. a< 1 D. 0vaw 1 或 a<0分析此題若采用普通方法推導(dǎo)較為復(fù)雜，可通過(guò)

8、選項(xiàng)提供的信息，用排除法解之.當(dāng)a= 1時(shí)，方程有負(fù)根 x=- 1,當(dāng)a= 0時(shí)，x =1 一-故排除A、B、D選C.2一 ，一、，.1解常規(guī)方法：當(dāng)a=0時(shí)，x=-2當(dāng)aw 0時(shí)1. a> 0,則 ax2+2x+1 = 0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根2-"4 4a < 02a21 a <20<a<1.2. 4 4a2. a<0,則ax2+ 2x+1 = 0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根 < 02a2>2 11- a >21 -a>1a< 0.綜上所述a< 1.即ax2+ 2x+ 1 = 0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a< 1.說(shuō)明

9、：特殊值法、排除法都是解選擇題的好方法.例10已知p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么s, r, p分別是q的什么條件？分析 畫出關(guān)系圖1 21,觀察求解.圖 1-21解 s是q的充要條件；(s = r=q, q=s)r是q的充要條件；(r=q, q=s=r)p是q的必要條件；(q =s = r=，p)說(shuō)明：圖可以畫的隨意一些，關(guān)鍵要體現(xiàn)各個(gè)條件、命題之間的邏輯關(guān)系. 例11關(guān)于x的不等式|x一曳”尸 (a-” 與x2 3(a+ 1)x+2(3a+1) 00的解集依次為 AB”是“102&3或2= 1”的充要條件嗎?分析化簡(jiǎn)A和B,結(jié)合數(shù)軸，構(gòu)造不等式(組)

10、，求出a.解 A = x2a<x<a2+1 , B = x|(x 2)x (3a+ 1)<0,1 ,當(dāng) 2< 3a+1 即an 一時(shí)，3B=x|2 <x<3a+1.2aA2AB 21<a< 3a + 1< 3a + 1, 1 ,當(dāng) 2>3a+ 1 即a< 一時(shí)，3B=x|3a + 1<x<22aA 3a+1A B 2a= - 1 .a +1 < 2綜上所述：A Ba=- 1或1Wa03.：“ A B”是“ 1&a&3或a= 1”的充要條件.說(shuō)明：集合的包含關(guān)系、命題的真假往往與解不等式密切相關(guān).

11、在解題時(shí) 要理清思路，表達(dá)準(zhǔn)確，推理無(wú)誤.一一 11 ,例12 x > y, xy > 0是一:一的必要條件還是充分條件，還是充 x y要條件？分析將充要條件和不等式同解變形相聯(lián)系.解1.當(dāng)1 < 1時(shí)，可得1 < 0即匕2 < 0x yx y xyy x>0 y x<0則或xy<0xy>0,日門x<yx>y即 或xy<0xy>0,一 11 .x< y-故x < j不能推得乂>丫且xy>0(有可能得到<o)，即x>y且xy、11 ,、一一，> 0并非一 < 一的必要條件

12、.x yx>y x>y2.當(dāng)x>y且xy>0則分成兩種情況討論：x> 0或x<0y> 0 y<0 11不論哪一種情況均可化為 -<-.x y一 一 11.，x>y且乂丫>0是 < 的充分條件.x y說(shuō)明：分類討論要做到不重不漏.例13 設(shè)“，3是方程 x2- ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根，試分析 a>2且b>1是兩根“，3均大于 1的什么條件？分析把充要條件和方程中根與系數(shù)的關(guān)系問(wèn)題相聯(lián)系，解題時(shí)需要搞清楚條件p與結(jié)論q分別指什么.然后再驗(yàn)證是 p q還是q p還是 p q- a>2解據(jù)韋達(dá)止理得：a= a + B , b= a B ,判止的條件是p：b>1a > 1結(jié)論是q:0 >（還要注意條件p中，a, b需要滿足大前提A= a 4b>0）a > 1由 得2= a +2, b= a 0 > 1,B > 1，q=p-（2）為了證明p與q,可以舉出反例,取a =4, P它滿足值二Cl + p= 44 1>2, b=Up=4* = 2>1,但q不成立. dfa上述討論可知：a>2, b>1是a > 1, 3 > 1的必要但不充分條件.說(shuō)明：本題中的討論內(nèi)容在二次方程的根的分布理論中常被使