次函數(shù)綜合問題之拋物線與直線交點個數(shù)問題

1、二次函數(shù)綜合問題之拋物線與直線交點個數(shù)1. (2014?北京)在平面直角坐標系 xOy中，拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過點A (0, -2), B (3, 4).(1)求拋物線的表達式及對稱軸；(2)設點B關于原點的對稱點為 C,點D是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在A, B之間的部分為圖象 G(包含A,D縱坐標t的取值范圍.B兩點).若直線CD與圖象G有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求點3考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值.專題：計算題.分析：(1)將A與B坐標代入拋物線解析式求出 m與n的值，確定出拋物線解析式，求出對稱軸即可；(2)由題意確定出 C坐標，

2、以及二次函數(shù)的最小值，確定出D縱坐標的最小值，求出直線 BC解析式，令x=1求出y的值，即可確定出t的范圍.解答： 解：(1)二.拋物線 y=2x2+mx+n經(jīng)過點 A (0, -2), B (3, 4),代入得：一2,L18+3ini-n=4CnT - 4解得：，b=-2，拋物線解析式為 y=2x2- 4x-2,對稱軸為直線x=1;(2)由題意得：C ( -3, -4),二次函數(shù)y=2x2 - 4x - 2的最小值為-4,由函數(shù)圖象得出 D縱坐標最小值為-4,設直線BC解析式為y=kx+b ,將B與C坐標代入得:解得:，b=0,直線BC解析式為 當 x=1 時，y=二,4則t的范圍為-4wt

3、w .點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及函數(shù)的最值，熟練掌握待 定系數(shù)法是解本題的關鍵.2. (2011?石景山區(qū)二模)已知：拋物線與 x軸交于A (-2, 0)、B (4, 0),與y軸交于C (0, 4).(1)求拋物線頂點 D的坐標；(2)設直線CDX x軸于點E,過點B作x軸的垂線，交直線 CD于點F,將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線 與線段EF總有公共點.試探究：拋物線向上最多可以平移多少個單位長度，向下最多可以平移多少個單位長度？ 考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.專題：探究型.分析：(1)先設出

4、過A (-2, 0)、B (4, 0)兩點的拋物線的解析式為 y=a (x+2) (x-4),再根據(jù)拋物線與 y軸 的交點坐標即可求出 a的值，進而得出此拋物線的解析式；(2)先用待定系數(shù)法求出直線 CD解析式，再根據(jù)拋物線平移的法則得到( 1)中拋物線向下平移 m各單位 所得拋物線的解析式，再將此解析式與直線CD的解析式聯(lián)立，根據(jù)兩函數(shù)圖象有交點即可求出m的取值范圍，進而可得到拋物線向下最多可平移多少個單位；同理可求出拋物線向上最多可平移多少個單位.解答：解：(1)設拋物線解析式為 y=a (x+2) (x-4), C點坐標為(0, 4), a= , (1 分)2解析式為 y= - x2+x

5、+4,頂點D坐標為(1)；(2分)(2)直線CD解析式為y=kx+b .b二 4直線CD解析式為y=x+4, (3分) .E ( 8, 0), F (4, 6),若拋物線向下移 m個單位，其解析式 y=-gx2+x+4-m ( m0),_Lx2+lx - m=0 2 2圻-4工沁由 消去y,得-U+4|二2m 0,40V,3，向下最多可平移 1個單位.(5分)8若拋物線向上移 m個單位，其解析式 y=-lx2+x+4+m ( m 0),2方法一：當 x= - 8 時，y= - 36+m，當 x=4 時，y=m,要使拋物線與 EF有公共點，則-36+mCO或m 6, .0mc 36; (7 分)

6、方法二：當平移后的拋物線過點E ( -8, 0)時，解得m=36當平移后的拋物線過點 F (4, 6)時，m=6由題意知：拋物線向上最多可以平移36個單位長度，(7分)綜上，要使拋物線與 EF有公共點，向上最多可平移36個單位，向下最多可平移 工個單位.3點評： 本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、二次函 數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，有一定的難度.3. (2013?豐臺區(qū)一模)二次函數(shù) y=x2+bx+c的圖象如圖所示，其頂點坐標為M (1, -4).(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)將二次函數(shù)的圖象在 x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不

7、變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合 新圖象回答：當直線 y=x+n與這個新圖象有兩個公共點時，求n的取值范圍.考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與幾何變換.分析：(1)確定二次函數(shù)的頂點式，即可得出二次函數(shù)的解析式.(2)求出兩個邊界點，繼而可得出n的取值范圍.解答： 解：(1)因為M (1, -4)是二次函數(shù)y= (x+m) 2+k的頂點坐標, 所以 y= (x-1) 2- 4=x2- 2x - 3,(2)令 x2 - 2x - 3=0,解之得：x1=- 1, x2=3,故A, B兩點的坐標分別為 A(- 1, 0), B (3, 0).如圖，當直線 y=x+n (nvl),經(jīng)過A點

8、時，可得n=1,當直線y=x+n經(jīng)過B點時，可得n= - 3,.n的取值范圍為-3nl,4由圖可知，符合題意的n的取值范圍為：n_1或-3vnv1.4點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識，難點在第二問，關鍵是求出邊界點時n的值.4. (2009?北京)已知關于 x的一元二次方程 2x2+4x+k - 1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù).(1)求k的值；(2)當此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k - 1的圖象向下平移 8個單位，求平移后的圖象的解析式；(3)在(2)的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新

9、的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當直線yx+b (bvk)與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.2洋8 -6 -4 2 -424-2 - 4 - 6 - 8 -考點：二次函數(shù)綜合題.專題：綜合題.分析：(1)綜合根的判別式及 k的要求求出k的取值；(2)對k的取值進行一一驗證，求出符合要求的k值，再結(jié)合拋物線平移的規(guī)律寫出其平移后的解析式；(3)求出新拋物線與 x軸的交點坐標，再分別求出直線y=1x+b經(jīng)過點A B時的b的取值，進而求出其取n值范圍.本題第二問是難點，主要是不會借助計算淘汰不合題意的k值.解答： 解：(1)由題意得，=16- 8(k-1) 0. .k3. k為正整數(shù), k=1

10、, 2, 3;(2)設方程2x?+4x+k 1=0的兩根為xi, X2,貝U, c o k -1x1+x2=一 2, x1？ x2=2當k=1時，方程2x2+4x+k-1=0有一個根為零；當k=2時，x1？ x2=1,方程2x2+4x+k - 1=0沒有兩個不同的非零整數(shù)根；2當k=3時，方程2x2+4x+k-1=0有兩個相同的非零實數(shù)根-1.綜上所述，k=1和k=2不合題意，舍去，k=3符合題意.當k=3時，二次函數(shù)為y=2x2+4x+2,把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象的解析式為y=2x2+4x-6;(3)設二次函數(shù)y=2x2+4x-6的圖象與x軸交于A、B兩點，則A (-3, 0),

11、 B (1, 0).依題意翻折后的圖象如圖所示.當直線yx+b經(jīng)過A點時，可得b=!?;22當直線yx+b經(jīng)過B點時，可得b=-二.22由圖象可知，符合題意的b (b3)的取值范圍為 -abv型.22(3)依圖象得，要圖象 yx+b (b小于k)與二次函數(shù)圖象有兩個公共點時，顯然有兩段.2而因式分解得 y=2x2+4x - 6=2 (x-1) (x+3),第一段，當y=x+b過(1，)時，有一個交點，此時 b=W當y=x+b過(-3, 0)時，有三個交點，此時 bN.而在此中間即為兩個交點，此時-工vbv型.2222第二段，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折后，開口向下的部分的

12、函數(shù)解析式為y=-2 (x - 1) (x+3).顯然，當y=4x+b與y=-2 (x-1) (x+3) (- 3v xv 1)相切時，y=x+b與這個二次函數(shù)圖象有三個交點，若直 線再向上移，則只有兩個交點.因為b 0,所以方程有兩根, 點.這種情況故舍去.綜上,點評： 考查知識點：一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)及函數(shù)圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數(shù)的 結(jié)合等問題.不錯的題目，難度不大，綜合性強，考查面廣，似乎是一個趨勢或熱點.5. (2012?東城區(qū)二模)已知關于 x的方程(1 -河)x2+ (4 - m) x+3=0.(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求 m的取值范圍；(2)若

13、正整數(shù) m滿足8- 2m 2,設二次函數(shù)y= ( 1 - m) x2+ (4-m) x+3的圖象與x軸交于A B兩點，將此圖象 在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當直 線y=kx+3與此圖象恰好有三個公共點時，求出 k的值(只需要求出兩個滿足題意的k值即可).考點：二次函數(shù)綜合題.分析：(1)根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，由一元二次方程的定義和根的判別式可求m的取值范圍；(2)先求出正整數(shù) m的值，從而確定二次函數(shù)的解析式，得到解析式與x軸交點的坐標，由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B.從而求出k的值.解答： 解：(1

14、)4=(4m) 212(1 m) =( m+2)2,由題意得，(m+2)2。且 1 - nrnt0.故符合題意的 m的取值范圍是 m - 2且mFM的一切實數(shù).(2) .正整數(shù) m滿足8-2m 2,.m可取的值為1和2.又二次函數(shù) y= (1 - mj) x2+ (4-mj) x+3,m=2 (4 分)，二次函數(shù)為 y= - x2+2x+3.二.A點、B點的坐標分別為(-1, 0)、(3, 0).依題意翻折后的圖象如圖所示.由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A B.可求出此時k的值分別為3或-1.(7分)注：若學生利用直線與拋物線相切求出k=2也是符合題意的答案.點評：本題考查了二次函

15、數(shù)綜合題.(1)考查了一元二次方程根的情況與判別式的關系：0?方程有兩個不相等的實數(shù)根.(2)得到符合題意的直線 y=kx+3經(jīng)過點A B是解題的關鍵.6.在平面直角坐標系中，拋物線y=一x2+Wmx+m- 3m+2與x軸的交點分別為原點 。和點A,點B (4, n)在這22條拋物線上.(1)求B點的坐標；(2)將此拋物線的圖象向上平移 工個單位，求平移后的圖象的解析式； 憎(3)在(2)的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當直線y=ix+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.2考點：二次函數(shù)綜合題

16、.專題：壓軸題.分析：(1)把原點坐標代入拋物線，解關于m的一元二次方程得到 m的值，再根據(jù)二次項系數(shù)不等于0確定出函數(shù)解析式，再把點 B坐標代入函數(shù)解析式求出n的值，即可得解；(2)根據(jù)向上平移縱坐標加解答即可；(3)把直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，消掉 y得到關于x的一元二次方程，根據(jù) =0求出b的值，然后 令y=0求出拋物線與x軸的交點坐標，再求出直線經(jīng)過拋物線與 x軸左邊交點的b值，然后根據(jù)圖形寫出 b 的取值范圍即可.解答：解：(1) ;拋物線經(jīng)過原點 O,.m2- 3m+2=Q解得 m=1, m=2,當 m=1 時， -=-=0,22m=2拋物線的解析式為 y=- gx2+3x,;

17、點B (4, n)在這條拋物線上，.n=- -X4 2+3X4=- 8+12=4,2，點 B (4, 4);(2)二拋物線的圖象向上平移 得個單位，平移后的圖象的解析式 y=-1x2+3xJ；22(217(3)聯(lián)立， 上七,y=x+b消掉 y 得，-x2+3x+=Ax+b,22 2整理得，x2- 5x+2b - 7=0, 二 (- 5) 2-4X1X ( 2b- 7) =0,解得b=呈，8令 y=0,貝卜x2+3x+I=0,整理得，x2- 6x - 7=0,解得 xi=- 1, x2=7,，拋物線與x軸左邊的交點為(-1,0),當直線yx+b經(jīng)過點(-1, 0)時，X (- 1) +b=0 2

18、2，當直線yx+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍為bbvL點評:本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了解一元二次方程，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，難點在于(3)求出直線與拋物線有三個交點時的b值，作出圖形更形象直觀.7.關于x的二次函數(shù)y=x2+2x+k - 1的圖象與x軸有交點，k為正整數(shù).(1)求k的值；(2)當關于x的二次函數(shù)y=x2+2x+k - 1與x軸的交點的橫坐標均是負整數(shù)時，將關于 x的二次函數(shù)y=x2+2x+k - 1 的圖象向下平移 4個單位，求平移后的圖象的解析式；(3)在(2)的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其

19、余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當直線y4x+b (b0. .k2. k為正整數(shù), k=1, 2;(2)設方程x?+2x+k - 1=0的兩根為xi, X2,貝Uxi+X2= 2, x1？ x2=k - 1.當k=1時，圖象y=x2+2x+k - 1與x軸有一個交點為(0, 0),不合題意；當k=2時，圖象y=x2+2x+k - 1與x軸有一個交點為(-1,0),符合題意；綜上所述，k=2符合題意.當k=2時，二次函數(shù)為y=x2+2x+1,把它的圖象向下平移 4個單位得到的圖象的解析式為：y=x2+2x-3;(3)設二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象與x軸交于 A B

20、兩點，則A ( - 3, 0), B (1, 0).依題意翻折后的圖象如圖所示.當直線yx+b經(jīng)過A點時，可得bB;22當直線yx+b經(jīng)過B點時，可得b=-二.22由圖象可知，符合題意的 b (b 1).(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設方程的兩個實數(shù)根分別為 xi, X2(其中xiX2),若y是關于m的函數(shù)，且y=x-3x2,求這個函數(shù)的解析式;(3)將(2)中所得的函數(shù)白圖象在直線m=2的左側(cè)部分沿直線 m=2翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當關于m的函數(shù)y=2m+b的圖象與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.45 -考點：一次函數(shù)綜合

21、題.專題：壓軸題.分析：(1)列式表示出根的判別式4,再根據(jù)0,方程有兩個不相等的實數(shù)根證明；(2)利用求根公式法求出 x1、x2,然后代入關系式整理即可得解；(3)作出函數(shù)圖象，然后求出 m=2時的函數(shù)值與以及 m=1時的翻折圖象的對應點的坐標，再代入直線解析 式求出b值，然后結(jié)合圖形寫出 b的取值范圍即可.解答： (1)證明： = ( 4m+1) 2 4m (3m+3 =4n2- 4m+1= (2m 1) 2, m 1, ( 2m- 1) 20,，方程有兩個不等實根；鏟 W1 V ( 2id - 1)(2)解：x=21Tl兩根分別為 電工坦匚工=3, |41d4 - 211H4 . 1=1+4,m 1,0V 1,rr1 x2 ,x 1=3, x2=1+,ITy=x 1 3x2,=3-3 (1+-),二，IT所以，這個函數(shù)解析式為 y=-in(m 1);(3)解：作出函數(shù)y=-： (m 1)的圖象，并將圖象在直線m=2左