普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)理科數(shù)學(xué)

1、2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共8 小題，每小題5 分，共40 分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。1. 已知集合 P x x22x0, Q x 1 x2 ，則 (eR P) I QA. 0,1)B.(0, 2C.(1,2)D.1,22. 某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm） , 則該幾何體的體積是A. 8cm3B.12cm3C.32 cm3D.40 cm3333. 已知 an 是等差數(shù)列， 公差 d 不為零， 前 n 項和是 Sn ，若 a3, a4 , a8 成等比數(shù)列，則A. a1 d0, dS40B.a1d0, dS40

2、C.a1d0, dS40D.a1d0, dS404. 命題“nN * , f (n)N *且 f (n)n 的否定形式是A.n N * , f (n) N * 且 f (n) nB.n N * , f (n) N * 或 f (n) nn0*且00*0C.f ( n )n D.f ( n ) n5. 如圖，設(shè)拋物線 y2 4x 的焦點為 F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點 A, B, C ，其中點 A, B 在拋物線上， 點 C 在 y 軸上，則BCF與ACF 的面積之比是BF12A.B.BFAF12AFBF12C.D.BFAF12AF11116.設(shè) A, B 是有限集，定義：d ( A,

3、B)card ( A U B)card ( A I B) ，其中 card ( A) 表示有限集A中的元素個數(shù) .命題：對任意有限集A, B ，“ AB ”是“ d ( A, B)0 ”的充分必要條件；命題：對任意有限集A, B, C ， d ( A, C )d ( A, B)d ( B, C ) .A.命題和命題都成立B.命題和命題都不成立C. 命題成立，命題不成立D.命題不成立，命題成立7.存在函數(shù)f (x) 滿足，對任意xR 都有A.f (sin 2x)sin xC.f ( x21)x1B.f (sin 2 x)x2xD.f ( x22x)x18.如圖，已知ABC， D是 AB的中點，沿

4、直線CD 將ACD 折成A CD ，所成二面角ACDB 的平面角為，則A.A DBB.A DBC.A CBD.A CBa二、填空題：本大題共7 小題，多空題每題6 分，單空題每題4 分，共 36 分。9.雙曲線x2y21 的焦距是，漸近線方程是2x23, x110.已知函數(shù) f ( x)x， f ( x) 的最小值是，則 f ( f ( 3)lg( x21),x111.函數(shù) f ( x)sin 2 xsin x cos x1 的最小正周期是，單調(diào)遞減區(qū)間是12.若 alog 4 3 ，則 2a2 a13.如圖，三棱錐 ABCD 中， ABAC BD CD3 ，ADBC2 ，點 M , N 分別

5、是 AD , BC 的中點，則異面直線AN , CM 所成的角的余弦值是14.若實數(shù) x, y 滿足 x2y21，則 2x y2 6x 3y 的最小值是15. 已知 e1,e21，若空間向量 b 滿足 bge1 2, bge25是空間單位向量， e1 ge2，且對于任意22x, yR ， | b ( xe1 ye2 ) | | b ( x0e1y0 e2 ) | 1(x0 , y0 R) ，則 x0， y0，| b |三、解答題：本大題共5 小題，共74 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16.（本題滿分14 分）在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，已知 A=，b

6、2a2 =1c2 .42（）求 tanC 的值；（）若ABC 的面積為 7，求 b 的值。17.（本題滿分15 分）如圖，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC90o ，AB AC2, A1A4, A1 在底面 ABC 的射影為 BC 的中點，D 是B1C1 的中點 .（）證明：A1 D平面 A1BC ；（）求二面角A1BD B1 的平面角的余弦值 .18. （本題滿分15 分）已知函數(shù)f (x)x2axb(a, bR) ，記 M (a,b) 是 | f ( x) | 在區(qū)間 -1,1上的最大值。（）證明：當(dāng) | a |2 時， M (a, b)2；（）當(dāng) a, b 滿足 M (a, b

7、)2 ，求 | a | b | 的最大值 .19. （本題滿分15 分）已知橢圓 x2y21上兩個不同的點A,B 關(guān)2于直線 y mx1對稱2（）求實數(shù)m 的取值范圍；（）求AOB 面積的最大值（O 為坐標(biāo)原點） 20. （本題滿分 15分）已知數(shù)列 an滿足 a1 =1 且 an 1 = an - an2（ nN * ）2（）證明：1an2 （ nN* ）；an1（）設(shè)數(shù)列21Sn1（ nN*an的前 n 項和為 Sn , 證明n2( n）.2( n 2)1)2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算。每小題5 分，滿分40 分。

8、1.C2.C3.B4.D5.A6.A7.D8.B二、填空題：本題考查基本知識和基本運算。多空題每題6 分，單空題每題4 分，共 36 分。9. 23, y2 x10. 0,2 2 311. ,3k,7k ( k Z )28812.4313.714.315.1,2,2238三、解答題：本大題共5 小題，共74 分16. 本體主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦和余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力。滿分14 分。（）由 b2a21 c2及正弦定理得211sin 2 Bsin2 C22所以cos 2Bsin 2 C又由 A，即B C3，得44cos2 Bsin 2C 2sin C cosC解得tan

9、C2（）由 tanC2 ， C(0,) 得sin C2 5 ,cos C555又因為 sin B sin( A C )sin(C) ，所以43 10sin B10由正弦定理得c 2 2 b ，3又因為 A, 1 bc sin A3 ，所以42bc 62 ，故b 317. 本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和運算求解能力。滿分 15 分。（）設(shè) E 為BC 的中點，由題意得A1E 平面 ABC ，所以 A1E AE .因為 ABAC ，所以 AEBC .故 AE 平面 A1BC .由 D , E 分別為 B1C1 , BC 的中點，得DE / B1B 且

10、DEB1B ，從而 DE / A1A 且 DEA1 A ，所以 A1 AED 為平行四邊形 .故 A1D/AE.又因為AE平面A1 BC ，所以A1D平面A1BC.（）方法一：作 A1FBD且A1F I BDF，連結(jié)B1F.由 AEEB2,A1 EAA1 EB90o ，得A1BA1 A4.A1 DB1D, A1BB1B ，得A1DB與B1DB 全等 .由 A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1 為二面角A1BDB1 的平面角.由 A D2,AB4,DA B 90o ，得111BD32, A1FB1F4，3由余弦定理得cosA1FB11.8方法二：以 CB 的中點 E 為原點，分別以射線 EA

11、, EB 為 x, y 軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Exyz ，如圖所示 .由題意知各點坐標(biāo)如下：A1 (0,0,14) ， B(0,2,0)， D (2,0,14)， B1(2,2, 14) .uuuruuuruuuur因此 A1 B (0, 2,14), BD (2,2,14), DB1(0,2,0) .設(shè)平面 A1BD 的法向量為 m( x1 , y1, z1 ) ，平面 B1BD 的法向量為 n ( x2 , y2 , z2 ) .uuurmgA1 B0,2 y114z10,可取由uuur即g2x12y114 z10,m BD 0,m(0,7,1)uuuurngDB10,2 y20,

12、可取由由uuur即g0,2x22y214z20,n BDn(7,0,1)于是| cosm, n| mgn |1g.| m | | n |8由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角，故二面角A1BDB1 的平面角的余弦值為1.818. 本題主要考察函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分析問題和解決問題的能力。滿分15 分。（）由 f ( x)( xa )2ba2，得對稱軸為直線xa .242由 |a | 2，得 |a |1，故 f ( x) 在 1,1上單調(diào)，所以2M (a, b)max| f (1) |,| f (1)| .當(dāng) a2 時，由f (1)f ( 1

13、)2a4 ，得max f (1),f ( 1)2 ，即M (a,b)2 .當(dāng) a2 時，由f (1)f ( 1)2a4 ，得max f ( 1),f (1)2 ，即M (a,b)2 .綜上，當(dāng) | a |2 時， M ( a, b)2 .（）由 M (a,b)2 得|1ab | | f (1) |2,|1ab | | f ( 1) |2 ，故 | ab | 3,| ab | 3 ，由 | a | ab |, ab0,| b |b |,ab得| a0,| a | b |3 .當(dāng) a2, b1 時， | a | |b |3 ，且 | x22x 1| 在 1,1上最大值為2，即 M (2, 1) 2

14、.所以| a | b |的最大值為 3.19. 本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15 分。（）由題意知m0 ，可設(shè)直線AB 的方程為 y1 x b .m由x2y21,2y 1 x b, m消去 y ，得( 1 12 )x22b x b2 1 0 .2mm因為直線 y1xb 與橢圓x2y21有兩個不同的交點，所以m22b2240 ，m2將 AB 中點 M ( 2mb, m2b) 代入直線方程 y mx1解得m22 m222bm222m2由得66m 或 m33（）令 t1(6 ,0) U (0,6)，則m222t 42t 23|AB|t 21g12，t 22且 O 到直線 AB 的距離為t21d22t1設(shè)AOB 的面積為 S(t ) ，所以S(t)1 | AB |gd12(t 2 1)222，2222當(dāng)且僅當(dāng) t 21時，等號成立 .2故 AOB 面積的最大值為2 .220. 本題主要考查數(shù)列的遞推公式與單調(diào)性、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分析問題和解決問題的能力。滿分15 分。（）由題意得an 1anan20