三元一次方程及其解法

1、行成于思，學(xué)止于行!專題：三元一次方程及其解法-一次性方程序言：方程含有未知數(shù)的等式叫方程等式的基本性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加或減同一個(gè)數(shù)或 同一個(gè)代數(shù)式，所得的結(jié)果仍是等式用字母表示為：若A=B,C為一個(gè)數(shù)或一個(gè)代數(shù)式。則：1 A +C = B +C2 A - C = B - C等式的基本性質(zhì)2:等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的的數(shù)所得的結(jié)果仍是 等式3若a=b,則b=a （等式的對(duì)稱性）4若a=b,b=c貝U a=c （等式的傳導(dǎo)性）方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解解方程：求方程的解的過程叫做解方程移項(xiàng)：把方程中的某些項(xiàng)改變符號(hào)后，從方程的

2、一邊移到另一邊，這種變形叫做移項(xiàng)，根據(jù)是等式的基本性質(zhì)1。一元一次方程個(gè)未知數(shù)且次數(shù)是一的方程叫一元一次方程，通常形式是ax+b=O（a，b為常數(shù)，a不等于零）1去分母 方程兩邊同時(shí)乘各分母的最小公倍數(shù)2去括號(hào) 一般先去小括號(hào)，在去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，可根據(jù)乘法分配率3移項(xiàng)把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的另一邊，其余各項(xiàng)移到方程的另一邊 移項(xiàng)時(shí)別忘記了要變號(hào)。4合并同類項(xiàng) 將原方程化為AX=B：A不等于0的形式5系數(shù)化1 方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解同解方程：如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程方程的同解原理：1方程的兩邊都加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)等式所得的方程與原方

3、 程是同解方程2方程的兩邊同乘或同除同一個(gè)不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：1認(rèn)真審題2分析已知和未知的量3找一個(gè)等量關(guān)系4解方程5檢驗(yàn)6寫出答，解二元一次方程二元一次方程：如果一個(gè)方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1那么這個(gè)方 程就叫做二元一次方程，有無窮個(gè)解。二元一次方程組：把兩個(gè)共含有兩個(gè)未知數(shù)的一次方程合在一起就組成一個(gè)二元一 次方程組。二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一 次方程的解二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)公共解，叫做二元一次方程組的解 消元：將方程組中的未知數(shù)個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，

4、叫做消元思想 消元的方法有兩種：代入消元法加減消元法三元一次方程三元一次方程：含有三個(gè)未知數(shù)的一次方程三元一次方程組：由幾個(gè)一元一次方程組成并含有三個(gè)未知數(shù)的方程組叫做三元一次方程組三元一次方程組的解：利用消元思想使三元變二元，再變一元方程是初等代數(shù)中的重要內(nèi)容，方程的知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛應(yīng)用。定義：方程組有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程的未知項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，這樣的方程組就是三元一次方程組.解題思路：三元一次方程組的解法仍是用代入法或加減法消元，即通過消元將三元一次 方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程.一、三元一次方程組之特殊型|x - y - z =12例1 ：解方

5、程組 <x +2y +5z =22x = 4 y分析：方程是關(guān)于X的表達(dá)式，通過 代入消元法可直接轉(zhuǎn)化為二元一次 方程組，因此確定“消X ”的目標(biāo)。解法1 :代入法，消X.5y + z = 12把分別代入、得6y +5z = 22 y =解得'把y=2代入，得x=8.x =8,I * y =2,是原方程組的解.0=2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型一：有表達(dá)式，用代入法型.針對(duì)上例進(jìn)而分析，方程組中的方程里缺 乙因此利用、消乙也能達(dá) 到消元構(gòu)成二元一次方程組的目的。解法2:消乙 X 5 得 5x+5y+5z=60 -得4x+3y=38x 4 y由、得一 44 x

6、 + 3 y = 38 解得x"把x=8,y=2代入得z=2.x = 8, y =2,是原方程組的解z = 2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為:類型二：缺某元，消某元型.|2x y - z=15例2：解方程組x 2y z二 16x y 2z=17分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)每個(gè)方程未知項(xiàng)的系數(shù)和相等；每一個(gè)未知數(shù)的系數(shù) 之和也相等，即系數(shù)和相等。具備這種特征的方程組，我們給它定義為“輪換 方程組”，可采取求和作差的方法較簡(jiǎn)潔地求出此類方程組的解。解：由+得4x+4y+4z=48，即 x+y+z=12 . -得x=3， -得y=4， -得z=5，4 = 3,y =4,是原方程組的解.

7、Iz = 5.x y = 20,典型例題舉例:解方程組y z =19 ,1x z = 21.解：由+得 2(x+y+z)=60 ，即 x+y+z=30 .-得z=10， -得y=11 ,-得x=9 ,1 x = 9, y =11,是原方程組的解.z =10.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為: 類型三：輪換方程組，求和作差型.、十，r x : y : z = 1 : 2 : 7例3 :解萬程組丿2x y+3z=21分析1：觀察此方程組的特點(diǎn)是未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),學(xué)生看見比例式就會(huì)想把比例式化成關(guān)系式求解，即由x:y=1:2得y=2x；由x:z=1:7 得z=7x.從

8、而從形式上轉(zhuǎn)化為三元一次方程組的一般形式，即 =2x,*z=7x,，根據(jù)方程組的特點(diǎn)，學(xué)生可選用“有表達(dá)式，用代入法”2x -y 3z =21.求解。解法1:由得y=2x，z=7x，并代入，得x=1.把 x=1，代入 y=2x，得 y=2; 把 x=1，代入 z=7x，得 z=7.X =1,y =2,是原方程組的解.Iz =7.分析2：由以往知識(shí)可知遇比例式時(shí)，可設(shè)一份為參數(shù)k,因此由方程x:y:z=1 : 2: 7，可設(shè)為x=k,y=2k,z=7k.從而也達(dá)到了消元的目的，并把三元通 過設(shè)參數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為一元，可謂一舉多得。解法2:由設(shè)x=k,y=2k,z=7k，并代入，得k=1.把k=1，

9、代入x=k，得x=1 ；把 k=1，代入 y=2k，得 y=2；把 k=1，代入 z=7k，得 z=7.(x =1, y =2,是原方程組的解.z二7X + y + z = 111 典型例題舉例：解方程組 ：x=3:2y : z = 5 : 4分析1：觀察此方程組的特點(diǎn)是方程、中未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，由例3的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生易選擇將比例式化成關(guān)系式求解，即由得x =- y ；由34得Z= y .從而利用代入法求解。5解法1：略分析2:受例3解法2的啟發(fā)，有的學(xué)生想使用設(shè)參數(shù)的方法求解， 但如何 將、轉(zhuǎn)化為x:y:z的形式呢？通過觀察發(fā)現(xiàn)、中都有y項(xiàng)，所以把它作為橋梁，先確定未知項(xiàng)y比值的最小公

10、倍數(shù)為15,由X 5得y:x=15:10 ， 由X 3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的方程組形 式，學(xué)生就會(huì)解決了。解法2:由、得 x:y:z=10:15:12.設(shè) x=10k,y=15k,z=12k，并代入，得 k=3.把 k=3，代入 x=10k，得 x=30;把 k=3，代入 y=15k，得 y=45;把 k=3，代入 z=12k，得 z=36.x = 30, y =45,是原方程組的解z =36.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型四：遇比例式找關(guān)系式，遇比設(shè)元型 .一、三兀一次方程組之一般型13x y +z=4,例4 :解方程組

11、丿x + y + z = 6,2x +3y z =12.分析：對(duì)于一般形式的三元一次方程組的求解，應(yīng)該認(rèn)清兩點(diǎn)：一是確立消元目標(biāo)一一消哪個(gè)未知項(xiàng)；二是在消元的過程中三個(gè)方程式如何正確的使用, 怎么才能做到“目標(biāo)明確，消元不亂”，為此歸納出：（一）消元的選擇1. 選擇同一個(gè)未知項(xiàng)系數(shù)相同或互為相反數(shù)的那個(gè)未知數(shù)消元;2. 選擇同一個(gè)未知項(xiàng)系數(shù)最小公倍數(shù)最小的那個(gè)未知數(shù)消元。（二） 方程式的選擇采取用不同符號(hào)標(biāo)明所用方程，體現(xiàn)出兩次消元的過程選擇3x-y+z=47解：*x+y+g=6心2x +3y 乙=12 訂 A（明確消z,并在方程組中體現(xiàn)出來一一畫線）+得5x+2y=16,（體現(xiàn)第一次使用在后

12、做記號(hào)V ） + 得 3x+4y=18,（體現(xiàn)第二次使用在后做不同記號(hào)厶）由、得5x 2 y =16,3x 4y =18.Nigel -9586175267行成于思，學(xué)止于行!Nigel -958617526#行成于思，學(xué)止于行!x 二 2,解得y = 3.把x=2 ，y=3代人，得z=1.x =2,I y = 3,是原方程組的解.z"典型例題舉例：解方程組2x - 4y . 3z = 9,3x -2y 5z =11,5x -6 y 7z =13.分析：通過比較發(fā)現(xiàn)未知項(xiàng)y的系數(shù)的最小公倍數(shù)最小，因此確定消y。以 方程作為橋梁使用，達(dá)到消元求解的目的。解：X 2 得 6x 4y+10

13、z=22,2x +4y+ 3z=9, +得8x +13z=31 . X 3 得 9x 6y+15z=33，5x 6y+7z =13 ,得 4x +8z =20 .x +2z=5 .由、得8x 13z =31,x 2=5.z 二 3.Nigel -9586175268行成于思，學(xué)止于行!Nigel -958617526#行成于思，學(xué)止于行!把x=-1, z=3代人，得八=-i, y二丄，是原方程組的解2z 二 3.在此需要說明的是，每一個(gè)三元一次方程組的求解方法都不是唯一的，需 要進(jìn)一步的觀察，但是學(xué)生只要掌握了最基本的解方程組思想和策略，就可以 以不變應(yīng)萬變，就可以很容易的學(xué)會(huì)三元一次方程組的

14、解法。同步題庫(kù)四三元一慶方程紐選擇髄譴特正確答橐前的字毎填在括號(hào)肉）1下列各方程組不是三元一次方程組的是（）4：:爲(wèi)z+y +z = 6h+P =3(B) +z =4 z + x = 7-x + 3 - z = 1(“2尸 + " 3|3x+/ -2z = 5Nigel -958617526#行成于思，學(xué)止于行!1x + 2j +3z = 262x+3p= 的解是().3x + 2j +z = 39?44"9 4(B)4(D)v- 4Nigel -958617526#行成于思，學(xué)止于行!Nigel -958617526#行成于思，學(xué)止于行!工已知 4r-3j?-3zH)0$

15、 =0),那么砒倉(cāng)為()-(A)4:3:9(B)4:3:7(C) 12:7:9(D)以上結(jié)論均不襯Nigel -958617526#行成于思，學(xué)止于行!Nigel -9586175269行成于思，學(xué)止于行!r3+/ + 2z = 104.已知下列兩個(gè)方程組:* Jt+z = 62x+3y-z92ax + 2by + cz = 6與如+3卵+?"有相同的樓則a、£4aj：-3by2cz = 9(A)1=3tc=2不對(duì)5已知尸加«加汁g當(dāng)1時(shí)丿亠9,當(dāng)l2時(shí)亠加當(dāng)E時(shí)$7,則關(guān)于孚母a 是>-9 = -a-b+c(A) - 20 - -4<3 + 2d +

16、 f-4 = 0 + 4?十 q= a-b+c(Q-20 = 4 + 2&4-c-4 = a +b + c&的值分別加(D)以上結(jié)論均h的方程中正確的i-9 = -B+b+c20 =-Aa+2b+c-4-a+b+c-9 -a-b+c (D-即=恥-站+c-4 = a + b+cfy + z-3x= 2a也關(guān)于血嚴(yán)£的方程組zx-3y = 2b的解為().x+y-3z2cx = (2a + d+c)(»廠扣十2比)z = («+6 + 2c?)x -(2a-b + c)r = ta-& + 2c)I 2、Nigel -95861752610行

17、成于思，學(xué)止于行!Nigel -958617526#行成于思，學(xué)止于行!JT s= - 1 (2d - 號(hào) _門 x = - y(2ca 4-6 + d)Nigel -958617526#行成于思，學(xué)止于行!Nigel -958617526#行成于思，學(xué)止于行!(CA 二-才(D)y = - - (a+ 2b + c) 迅z = - y(2d + & + 2c)Nigel -958617526#行成于思，學(xué)止于行!Nigel -958617526#行成于思，學(xué)止于行!二.填空題】,在右程5x-2y+z=3中，若則z=2.已知單項(xiàng)式垃產(chǎn)嚴(yán)與1 茁3唧是同類項(xiàng)貝J h-w"3若已

18、知|工-1|代申+1蘢+2)空電則2r-y+z.4一已知J曲滬“，那么年+巧+卑的值等于I +2y-7z=0,+5才十7昇三、解下列方稈組2"即=443. v 4- = 6，并求 rar+2/-s13W=10 中的屈值.z + x = 4同步題庫(kù)四、1.D; 2D;3.C;4C;5D;5.D.二2.2,3;勺1 |4.1(提示由右程組得出4辺=羽代入式中算)F = M2. jy = 103.” = »代入等式中求出廉=專2 = -1 匕=匕=1三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用EG01:某車間有60人，生產(chǎn)甲乙丙三種零件，每人每小時(shí)能生產(chǎn)甲24個(gè)，或乙20個(gè)，或丙16個(gè)，現(xiàn)用零件甲9

19、個(gè)，乙15個(gè)，丙12個(gè)，裝配成某機(jī)件, 如何安排勞動(dòng)力，才能使每小時(shí)生產(chǎn)的零件恰好成套？共有多少套？解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有 x人，y人，z人.根據(jù)題意得x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12 解得 x=12,y=24,z=2424 X 12/9=32答：安排生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有12人，24人，24人，共有32套.EG02:甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的和是35,甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5，乙數(shù)的1/3 ( 分之一)等于丙數(shù)的1/2 (二分之一)，求這三個(gè)數(shù)。解：設(shè)甲是x，乙是y，丙是z則 x+y+z=35 (1)甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大52x-y=5 (2)乙數(shù)的1/3 (三分之一)等

20、于丙數(shù)的1/2y/3=z/2 (3)由和得到y(tǒng)=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3Nigel -95861752612行成于思，學(xué)止于行!代入x+2x-5+4x/3-10/3=3513x/3=130/3x=10y=2x-2=15 z=2y/3=10所以甲是10,乙是15,丙是10EX:1. 有甲乙丙三種貨物，若購(gòu)物甲種 3件，乙種7件，丙1件需要31.5元， 如果購(gòu)買甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若購(gòu)甲乙丙各一件，需要10.5 元。問甲乙丙每件各多少元？2. 汽車在平路上每小時(shí)行30公里，上坡時(shí)每小時(shí)行28公里，下坡時(shí)每小時(shí) 行35公里，現(xiàn)在行駛142公里的路程用去4小時(shí)三十分

21、鐘，回來使用4小時(shí)42 分鐘，問這段平路有多少公里？去時(shí)上下坡路各有多少公里？3. 某校初中三個(gè)年級(jí)一共有651人，初二的學(xué)生數(shù)比初三學(xué)生數(shù)多10%初一的學(xué)生數(shù)比初二的學(xué)生數(shù)多 5%求三個(gè)年級(jí)各有多少人？AW: 1 式子：3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10.5答案：？ ？這題有問題，多解的（只要符合x+3y=10.5）就行，真不知樓上怎么算出來的。2:去時(shí)上坡x平路y下坡zx+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4.5z/28+y/30+x/35=4.7 答案：x=42 y=30 z=703:初一：x 初二：y 初三：z x+y+z=651 y=1.1

22、z x=1.05y答案：x=231 y=220 z=200訓(xùn)練集中營(yíng)1?，F(xiàn)有1角，5角，1元硬幣各10枚從中取出15枚，共值7 元，1角，5角，1元各取幾枚？2。甲地到乙地全稱是3.3KM, 段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡 每小時(shí)行3KM平路每小時(shí)行4KM下坡每小時(shí)行5KM那么，從甲地到乙地需行51分，從乙地到甲地需行53.4分，求從甲地到乙地時(shí)的上坡。平路。下坡Nigel-95861752610 的路程各是多少？3。 水費(fèi)價(jià)格：不超過6立方米部分，每立方米2元。超過6立方米至10立方 米部分，每立方米4元。超過10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四 月共用水15立方米，交水費(fèi)44元，(四月用水量多于三月用水量)，求三月和 四月用水量？如果某居民某月用水量是 13.5立方米，則他需要交水費(fèi)多少元？4。 某足球聯(lián)賽一個(gè)賽季共進(jìn)行 26場(chǎng)比賽(即每隊(duì)均賽26場(chǎng))，其中勝一場(chǎng)得 三分，平一場(chǎng)得一分，負(fù)一場(chǎng)得 0分。某隊(duì)在這個(gè)賽季中平局的場(chǎng)數(shù)比負(fù)的場(chǎng) 數(shù)多7場(chǎng)，結(jié)果共得34分。這個(gè)隊(duì)在這個(gè)賽季中勝，平，負(fù)各多少場(chǎng)？5。 學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的2倍少3個(gè)，足球數(shù)與排球數(shù)