氣體的等溫變化、玻意耳定律典型例題

1、氣體的等溫變化、玻意耳定律典型例題【例1】一個氣泡從水底升到水面時，它的體積增大為原來的 3 倍，設(shè)水的密度為P =1X 103kg/m,大氣壓強p=1.01 x 105Pa,水底 與水面的溫度差不計，求水的深度。取 g=10n/ s2。【分析】氣泡在水底時，泡內(nèi)氣體的壓強等于水面上大氣壓與水 的靜壓強之和。氣泡升到水面上時，泡內(nèi)氣體的壓強減小為與大氣壓 相等，因此其體積增大。由于水底與水面溫度相同，泡內(nèi)氣體經(jīng)歷的 是一個等溫變化過程，故可用玻意耳定律計算。【解答】設(shè)氣泡在水底時的體積為VI、壓強為:pi=p+p gh氣泡升到水面時的體積為 V2,則V2=3V,壓強為p2=pc由玻意耳定律pi

2、V仁pV2，即(po+p gh) V仁p 3V1得水深2X 1.01X 105m - 202 m【例2】如圖1所示，圓柱形氣缸活塞的橫截面積為 S,下表面與 水平面的夾角為a,重量為 G當(dāng)大氣壓為po,為了使活塞下方密閉 氣體的體積減速為原來的1/2，必須在活塞上放置重量為多少的一個 重物（氣缸壁與活塞間的摩擦不計）【誤解】活塞下方氣體原來的壓強Scos aG cos CL設(shè)所加重物重為G ，則活塞下方氣體的壓強變?yōu)?G + Gf)cosCl丹一內(nèi)J心2氣體體積減為原的1/2，則p=2pcos0-【正確解答】據(jù)圖2,設(shè)活塞下方氣體原來的壓強為 pi,由活塞的平衡條件得* cos a國2同理，加

3、上重物G后，活塞下方的氣體壓強變?yōu)闅怏w作等溫變化，根據(jù)玻意耳定律:VP1V=P2 * V得 p2=2piG =p)S+G【錯因分析與解題指導(dǎo)】【誤解】從壓強角度解題本來也是可以的，但將活塞產(chǎn)生的壓強算成G發(fā)生了錯誤，這個壓強值應(yīng)該是G/S.為避cos a免發(fā)生以上關(guān)于壓強計算的錯誤，相似類型的題目從力的平衡入手解 題比較好。在分析受力時必須注意由氣體壓強產(chǎn)生的氣體壓力應(yīng)該垂 直于接觸面，氣體壓強乘上接觸面積即為氣體壓力，情況就如【正確 解答】所示?！纠?】一根兩端開口、粗細均勻的細玻璃管，長 L=30cm豎直插入水銀槽中深ho=1Ocm處，用手指按住上端，輕輕提出水銀槽，并 緩緩倒轉(zhuǎn)，則此時管

4、內(nèi)封閉空氣柱多長？已知大氣壓 R=75cmHg【分析】插入水銀槽中按住上端后，管內(nèi)封閉了一定質(zhì)量氣體，空氣柱長L仁L-ho=2Ocm 壓強pi=po=75cmHg輕輕提出水銀槽直立在空氣中時，有一部分水銀會流出，被封閉的空氣柱長度和壓強都會發(fā) 生變化。設(shè)管中水銀柱長h，被封閉氣體柱長為L2=L-h。倒轉(zhuǎn)后，水 銀柱長度仍為h不變，被圭寸閉氣體柱長度和壓強又發(fā)生了變化。設(shè)被 封閉氣體柱長L3所以，管內(nèi)封閉氣體經(jīng)歷了三個狀態(tài)。由于“輕輕提出”、“緩緩倒轉(zhuǎn)”，意味著都可認為溫度不變，因此可由玻意耳定律列式求解?！窘狻扛鶕?jù)上面的分析，畫出示意圖（圖 a b、c）。氣體所經(jīng)歷的三個狀態(tài)的狀態(tài)參量如下表所

5、示:匡薩(ctiiHg )U積(cm3 J(*)PiG耳廣L臣0=95= ( 30-h J S(c)p-75+h由于整個過程中氣體的溫度不變，由玻意耳定律:pVi=p2V2=pV75 X 20S= (75-h )( 30-h) S= (75+h) L3S由前兩式得: h2-105h+750=0取合理解h=7.7cm，代入得75X201500=TCfll = 75777Cni = 131ctU【說明】必須注意題中隱含的狀態(tài)（b）,如果遺漏了這一點，將 無法正確求解。【例4】容器A的容積是10L，用一根帶閥門的細管，與容器 B 相連。開始時閥門關(guān)閉，A內(nèi)充有10atm的空氣，B是真空。后打開 閥門

6、把A中空氣放一些到B中去，當(dāng)A內(nèi)壓強降到4atm時，把閥門關(guān) 閉，這時B內(nèi)壓強是3atm。求容器B的容積。假設(shè)整個過程中溫度不 變?！痉治觥繉α魅肴萜鰾的這部分空氣，它后來的狀態(tài)為壓強 p B=3atm體積VB （容器B的容積）。為了找出這部分空氣的初態(tài)，可設(shè)想讓容器 A中的空氣作等溫膨 脹，它的壓強從10atm降為4atm時逸出容器A的空氣便是進入B內(nèi)的 空氣，于是即可確定初態(tài)?！窘獯稹肯纫匀萜鰽中空氣為研究對象，它們等溫膨脹前后的狀 態(tài)參量為:V=10L, pA=10atm；V a= ?, p A=4atm。由玻意耳定律p aVA=P aV A,得如圖1所示10tx10L-25L圖1再以逸

7、出容器A的這些空氣為研究對象，它作等溫變化前后的狀態(tài)為：pi=p A=4atm，V仁Va-Va=15Lp仁3atm，V i=VB同理由玻意耳定律piV仁piVB,得Pl 4 = -15L = 20LB Pt 13所以容器B的容積是20L?！菊f明】本題中研究對象的選取至關(guān)重要，可以有多種設(shè)想。例如，可先以后來充滿容器 A的氣體為研究對象(見圖2)假設(shè)它原來在容器A中占的體積為Vx,這部分氣體等溫變化前后的狀態(tài)為：團2變化前：壓強pA=10atm、體積Vx，變化后：壓強p A=4atm體積V x=V=10L。由 PaVx=p aV xIJ得兀-X 10L - 4L Pa1 由此可見，進入B中的氣體

8、原來在A內(nèi)占的體積為VA-Vx=( 10-4)L=6L。再以這部分氣體為研究對象，它在等溫變化前后的狀態(tài)為：變化前：壓強pi=10atm，體積V1=6L,變化后：壓強p2=3atm,體積V2=VB由玻意耳定律得容器B的容積為:V宜V!-X6L-20LPi決定氣體狀態(tài)的參量有溫度、體積、壓強三個物理量，為了研究這三者之間的聯(lián)系，可以先保持其中一個量不變，研究另外兩個量之 間的關(guān)系，然后再綜合起來。這是一個重要的研究方法，關(guān)于氣體性 質(zhì)的研究也正是按照這個思路進行的?！纠?】一容積為32L的氧氣瓶充氣后壓強為13OON/cm2。按規(guī)定 當(dāng)使用到壓強降為100N/cm時，就要重新充氣。某廠每天要用

9、400L 氧氣（在1atm下），一瓶氧氣能用多少天（1atm=10N/crfi）?設(shè)使用 過程中溫度不變。【分析 】這里的研究對象是瓶中的氧氣。由于它原有的壓強（1300N/cm），使用后的壓強（100N/cm）、工廠應(yīng)用時的壓強（10N/cm）都不同，為了確定使用的天數(shù)，可把瓶中原有氧氣和后來的氧氣都轉(zhuǎn)化為1atm，然后根據(jù)每天的耗氧量即可算出天數(shù)?！窘狻?作出示意圖如圖 1 所示。根據(jù)玻意耳定律，由piV仁p 1V 1，pV2=p 2V 2得PL=15QCir/cin3Y1-32L罟皿p2 =lOOIT/cmV2-32L_毎夭耗氧量(J Po=10S/cm 2Vn=400L100X32L=

10、320L所以可用天數(shù)為:n4160-320400-96【說明】根據(jù)上面的解題思路，也可以作其他設(shè)想。如使后來留 在瓶中的氧氣和工廠每天耗用的氧氣都變成 1300N/C祁的壓強狀態(tài) 下，或使原來瓶中的氧氣和工廠每天耗用的氧氣都變成100N/CR2的壓強狀態(tài)下，統(tǒng)一了壓強后，就可由使用前后的體積變化算出使用天數(shù)。上面解出的結(jié)果，如果先用文字代入并注意到 p i=p 2=p。，即 得v-碼n_ Vo v0 - P 鳳或pV仁pV2+npVO這就是說，在等溫變化過程中，當(dāng)把一定質(zhì)量的氣體分成兩部分（或幾部分），變化前后pV值之和保持不變（圖2）。這個結(jié)果，實質(zhì)上就是質(zhì)量守恒在等溫過程中的具體體現(xiàn)。在氣

11、體的分裝和混合等 問題中很有用【例6】如圖所示，容器A的容積為VA=1OOL抽氣機B的最大容 積為VB=25L當(dāng)活塞向上提時，閥門a打開，閥門b關(guān)閉；當(dāng)活塞向 下壓時，閥門a關(guān)閉，閥門b打開。若抽氣機每分鐘完成4次抽氣動 作，求抽氣機工作多長時間，才能使容器 A中氣體的壓強由70cmhg 下降到7.5cmHg （設(shè)抽氣過程中容器內(nèi)氣體的溫度不變）？【誤解】設(shè)容器中氣體等溫膨脹至體積 V2,壓強由70cmHgF降到7.5cmHg根據(jù)pAVA=pV2v v片畫怖w I- -%_70(?5 1)100VEVE29 (決)所需時間34t = = 8 5 (nun)【正確解答】設(shè)抽氣1次后A中氣體壓強下

12、降到p，根據(jù)PaVA=p( VA+VB得第二次抽氣后，壓強為P2,則XPa同理，第三次抽氣后,抽氣n次后，氣體壓強代入數(shù)據(jù)得：n=10 （次）所需時間=t = = 2 5 (min)4【錯因分析與解題指導(dǎo)】【誤解】的原因是不了解抽氣機的工作過程，認為每次抽入抽氣機的氣體壓強均為 7.5cmH事實上，每次 抽氣過程中被抽氣體體積都是 VB但壓強是逐步減小的，只是最后一 次抽氣時，壓強才降低至7.5cmH因此，必須逐次對抽氣過程列出 玻意耳定律公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法進行求解?！纠?】有開口向上豎直安放的玻璃管，管中在長 h的水銀柱下方封閉著一段長L的空氣柱。當(dāng)玻璃管以加速度 a向上作勻加速運動時，

13、空氣柱的長度將變?yōu)槎嗌?？已知?dāng)天大氣壓為重力加速度為go【誤解】空氣柱原來的壓強為pi=po+h當(dāng)玻璃管向上作勻加速動時，空氣柱的壓強為速運動有p2S-pS-mg=ma即 p2=po+ p( g+a) h考慮空氣的狀態(tài)變化有pLS=pL Sp01/ 三* T【正確解答】空氣柱原來的壓強為pi=po+ p gh當(dāng)玻璃管向上作勻加速運動時，空氣柱的壓強為po,水銀密度為p.P2,對水銀柱的加p2，由水銀柱加速度運動得p2S-pS-mg=map2=po+ p( g+a) h氣體作等溫變化pLS=pL S解得V-【錯因分析與解題指導(dǎo)】 本題是動力學(xué)和氣體狀態(tài)變化結(jié)合的綜 合題。由于牛頓第二定律公式要求

14、使用國際單位，所以壓強的單位是 “Pa”?！菊`解】中pi=po+h,由動力學(xué)方程解得p2=p+p( g+a) h, 在壓強的表示上，h和p(g+a) h顯然不一致，前者以cmHg作單位是 錯誤的。所以在解答此類習(xí)題時，要特別注意統(tǒng)一單位，高為h的水銀柱的壓強表達為p=p gh是解題中一個要點。例8如圖所示，內(nèi)徑均勻的U型玻璃管豎直放置，截面積為5cm， 管右側(cè)上端封閉，左側(cè)上端開口，內(nèi)有用細線栓住的活塞。兩管中分 別封入L=11cm的空氣柱A和B,活塞上、下氣體壓強相等為 76cm水 銀柱產(chǎn)生的壓強，這時兩管內(nèi)的水銀面的高度差h=6cm現(xiàn)將活塞用細線緩慢地向上拉，使兩管內(nèi)水銀面相平。求(1)活

15、塞向上移動的距離是多少?(2)需用多大拉力才能使活塞靜止在這個位置上?分析兩部分氣體是靠壓強來聯(lián)系U型玻璃管要注意水銀面的變化，一端若下降 xcm另一端必上升xcm,兩液面高度差為2xcm，由此可知，兩液面相平，B液面下降h/2，A管液面上升h/2在此基礎(chǔ)上考慮活塞移動的距離解答(1)對于B段氣體8=76-6=70( cmHg p B2=py=11S(cm) V B2=(11+3)S(cmh)根據(jù)玻意耳定律PBM=PB2VB27DX11S-14S 芳伽晦對于A段氣體pAi=76(cmHg) pA2=8=55(cmHg)VAi=11s(cmb) V A2=Ls(cm 3)根據(jù)玻意耳定律PAiVi

16、=pA2V2vPm VaiX H5 p55r A3匚I立2伽)對于活塞的移動距離：h=L+3-L=15.2+3-11=7.2(cm)(2)對于活塞平衡，可知f+2s=rsF=RS-PS說明U型管粗細相同時，一側(cè)水銀面下降hem另一側(cè)水銀面就要上升hem,兩部分液面高度差變化于2hem,若管子粗細不同，應(yīng)該從體積的變化來考慮，就用幾何關(guān)系解決物理問題是常用的方法。例9如圖所示，在水平放置的容器中，有一靜止的活塞把容器 分隔成左、右兩部分，左側(cè)的容積是 1.5L，存有空氣；右側(cè)的容積是 3L,存有氧氣，大氣壓強是76cmHg先打開閥門K,當(dāng)與容器中空氣 相連的U形壓強計中左、右水銀面的高度差減為

17、19cm時，關(guān)閉閥K 求后來氧氣的質(zhì)量與原來氧氣的質(zhì)量之比（系統(tǒng)的溫度不變，壓強計 的容積以及摩擦不計）。分析對于密圭寸的一定質(zhì)量空氣初態(tài)末態(tài)p1=76+38(cmH)V；=7把原來容器中的氧氣做為研究對象初態(tài)末態(tài)p2=7 6+38 (cp 嚴 6+19沁也）Va=3LV；=7容器外（放走的）氧氣體積厶V V=(Vi+V2)-(V 1+V)在后來狀態(tài)下，氧氣密度相同解答對于空氣（溫度不變）對于氧氣（溫度不變）做為研究對象容器外的氧氣（假設(shè)仍處于末態(tài)）的體積v=（% 小;）-GV也）-（18 + 3.6）+=0.9（L）后來容器申氧氣與原來氧氣質(zhì)量之出可;V3.6 - 0.93石=V；=35=

18、4說明:理想氣體的狀態(tài)方程，是對一定量的氣體而言，當(dāng)它的 狀態(tài)發(fā)生變化時，狀態(tài)參量之間的變化規(guī)律。遵守氣態(tài)方程。而兩部 分氣體時，要各自分別應(yīng)用狀態(tài)方程。再通過力學(xué)條件，找到這兩部 分氣之間壓強或體積的關(guān)系。本題容器內(nèi)的氧氣是屬于變質(zhì)量問題，也可以把它假想成質(zhì)量不 變來處理。狀態(tài)1狀態(tài)2氣體單位體積的分子數(shù)相等，質(zhì)量和體積成正比，可求得剩余質(zhì) 量（或放出的質(zhì)量）與原質(zhì)量之間的比例關(guān)系求物體的質(zhì)量可以用 m=p V某個狀態(tài)時的密度和該狀態(tài)時體積的乘積，而氣態(tài)方程也可以寫做密度形式常用此式求某一狀態(tài)時氣體單位體積的分子數(shù)，然后再求氣體的 質(zhì)量。例10 一橫截面積為S的氣缸水平放置，固定不動，氣缸壁是導(dǎo) 熱的，兩個活塞A和B將氣缸分隔為1、2兩氣室，達到平衡時1、2 兩氣室體積之比為3 : 2,如圖所示，在室溫不變的條件下，緩慢推動 活塞A,使之向右移動一段距離d,求活塞B向右移動的距離，不計活 塞與氣缸壁之間的摩擦。分析氣缸水平放置，不計活塞與氣缸壁的摩