離心率的五種求法()

1、螈 離心率的五種求法D. 32膅 離心率是圓錐曲線中的一個重要的幾何性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)膁 橢圓的離心率0 e 1，雙曲線的離心率e 1，拋物線的離心率e 1羋 直接求出a,c ，求解e裊 已知標(biāo)準(zhǔn)方程或a,c 易求時，可利用離心率公式e c 來求解。a2螞 例 1. 過雙曲線C： x 2y2 1(b 0) 的左頂點(diǎn)A作斜率為1 的直線 l ，若 l 與雙曲線M的兩條漸近線分別相交b于點(diǎn)B、 C，且|AB|=|BC| ，則雙曲線M的離心率是()罿 A. 10 B. 5 C. 10 D. 5莈 分析：這里的a 1,c b2 1 ，故關(guān)鍵是求出b2 ，即可利用定義求解。芅 解：易知A( -1 ，

2、 0)，則直線l 的方程為y x 1 。直線與兩條漸近線y bx 和 y bx 的交點(diǎn)分別為B(1 , b ) 、 C( 1 , b )，又 |AB|=|BC| ，可解得b2 9 ，則 c 10 故有 e c 10 ，從而選A。1 b2（雙曲線 ）， e c aa整體求出b1b1 b1b1a莄 二、變用公式cea羂 例 2. 已知雙曲線x2 y21(a 0,b 0) 的一條漸近線方程為y4 x，則雙曲線的離心率為()a2 b23蒈 A. 5 B. 433C. 54蚆 分析：本題已知b 4 ，不能直接求出a、 c，可用整體代入套用公式。a3螂 解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y 4x，所以b4

3、，則ec1(4)25，從而選A。3a3ea1(3)322xy螁 1. 設(shè)雙曲線221 ( a> 0,b >0)的漸近線與拋物線y xab1 相切，則該雙曲線的離心率等于(C)蒈 A. 3 B.2C.5 D. 622肇 解：由題雙曲線x2 y2 1 a>0， b> 0 的一條漸近線方程為abbxy ，代入拋物線方程整理得aax2 bx a 0，因漸近線與拋物線相切，所以b 2 4a 2 0 ，即 b2 4 e 1 b21 45 .aax2 y2薄 2. 過雙曲線x2y21( a 0,b 0) 的右頂點(diǎn)A作斜率為1 的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)ab分別為 B,C

4、 若 uAuBr 1 uBuCur ，則雙曲線的離心率是()2蒀 A2 B3 C5 D10薇 答案： C蒈 【解析】對于A a,0 ，則直線方程為x y a 0，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B， C，a2ababa ba2ab2a2b,C(a b, a b)， BC (a2 b2,aba2 b2),AB a babab2a2b羂 因此uur uuur 22AB BC, 4a2 b2，即b2 4，a22薃 3. 過橢圓x2y21 ( a b 0) 的左焦點(diǎn)F1 作x 軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P ，F(xiàn) 2為右焦點(diǎn)，若F1 PF260 ，ab則橢圓的離心率為()蚇 A2 B3 C1 D1蚅 【解析】因?yàn)镻( c

5、,，再由F1PF2 60 有3 ，故選 B33b22a, 即 b222從而可得a3蚄 三、構(gòu)造a 、 c 的齊次式，解出e節(jié) 根據(jù)題設(shè)條件，借助a 、 b 、 c 之間的關(guān)系，構(gòu)造a 、方程，從而解得離心率e 。c 的關(guān)系(特別是齊二次式)，進(jìn)而得到關(guān)于e 的一元22螇 例 3. 已知橢圓x y 1( a b 0) 的左焦點(diǎn)為a2b2F ，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn) B 在橢圓上，且BF x軸，直線ABuur uur交 y 軸于點(diǎn) P 若 AP 2PB ，則橢圓的離心率是()肆 A3 B2 C1 D12232uur uur1蒆 【解析】對于橢圓，因?yàn)锳P 2PB，則 OA 2OF a 2c e2x肁 1.

6、 設(shè) F1 和 F2為雙曲線2ab21 ( a 0,b 0)的兩個焦點(diǎn), 若F1， F2，P(0,2 b)是正三角形的三個頂點(diǎn), 則1322雙曲線的離心率為()袇 A3 B 2 C5 D32c a2) , 則 e c a2, 故選 B.蕆 【解析】由tan c 3 有 3c2 4b2 4(c26 2b 3襖 2. 雙曲線虛軸的一個端點(diǎn)為M ，兩個焦點(diǎn)為F1 、F2，F(xiàn)1MF21200，則雙曲線的離心率為()F2 c,0 ，則袀 A 3 B 26 C 36 D 33羇 解： 如圖所示，不妨設(shè)M 0,b ， F1c,0 ，袈 MF1MF2c2 b2 ，又F1F2 2c，薅 在F1MF2中，由余弦定

7、理，得cos F1MF2MF1 2 MF22MF1MF2袃 即 1 c2 b2c2 b2 4cb2c212c2 b222 bc222肇 b c a，222c a1222， 3a 2c ， e2，e 22羄 3. 設(shè) ABC 是等腰三角形，ABC 120 ，則以A， B 為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C 的雙曲線的離心率為(B)12 肅 ABC 12D 13蟻 4. 設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為F ，虛軸的一個端點(diǎn)為B , 如果直線FB 與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()肇 A. 2 B. 3 C. 3 1 D. 5 122蒞 解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其方程為：x2y21(a 0,b

8、 0)，abbb2()1， b acac螅 則一個焦點(diǎn)為F (c,0), B(0,b)莀 一條漸近線斜率為：b ，直線 FB 的斜率為：a22c 51蒁 c a ac 0 ，解得 ea2螆 5. 設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為橢圓的離心率是(D)F1、 F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則2 膃 A.2B. 2 12C. 22D. 2 1PF蒃 解：由1 2b222c a c2 2aca 化為齊次式e2 2e 1 0 e 2 122 薀 6. 雙曲線x2y2abBC2D33羅 7. 設(shè)F1，F(xiàn)2 分別是雙曲線22x 2y2 的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)abA，F(xiàn)

9、1AF2 90 且 AF13 AF2 ，則雙曲線的離心率為（B）膂 A52B102C1522c ? 10?102ì?AF1- AF2= 2AF2=2a 蝕解 í?(AF1)2+ (AF2)2 = (2c)2薈 8如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線2 x2 ab21 （ a 0,b 0）的兩個焦點(diǎn)，A和 B 是以 O 為圓心，以O(shè)F1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點(diǎn)，且F2AB 是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）莃A3B5 C52D3 1羈 6. 解析：連接AF1，AF2F1=30°，|AF 1|=c ，|AF 2|= 3 c，2a ( 3 1)c，螀 雙曲線的離心率

10、為13 ，選D。蚅 9. 設(shè)F1、F 2分別是橢圓焦距）的點(diǎn)，且F1 F222x2y2 1 （ a b 0）的左、右焦點(diǎn)，P 是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為3c（ c為半a2b2F2 P ，則橢圓的離心率是（）肅A 3 1 B1 C5 1222D222 x螀 10. 設(shè)雙曲線x2ab21 （ 0 a b）的半焦距為c，直線 L 過 a,0 ，0,b 兩點(diǎn) . 已知原點(diǎn)到直線的距離為 3 c ，則雙曲線的離心率為（）423螀 A. 2B. 3 C. 2 D. 2 33肆 解： 由已知，直線L 的方程為bx ay ab 0 ，由點(diǎn)到直線的距離公式，得aba2 b23c，4薃 又 c2a2 b2 , 4ab3

11、c2, 兩邊平方，得16a 2 c 2 a 2 3c 4 ，整理得3e4 16e2 16 0，2螃得 e2424 或 e ，又 0 a b ， e 32 c2 a22 a2 b21b22，a2e 4 ， e 2 ，故選 A2 x袀 11.知 F1、 F2是雙曲線x2a2y21 （ a 0,b 0）的兩焦點(diǎn)，以線段bF1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1 的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）蕆 A. 4 2 3 B. 3 1C.321 D.3 1芄 解： 如圖，設(shè)MF1 的中點(diǎn)為P ，Q OF1P 600, PF1 c, xPc2,yP23c ,即 P(3c22薁 把 P 點(diǎn)坐標(biāo)代人雙

12、曲線方程，有c4a2 4b2=1 ，羀 化簡得 e4 8e2 4 0解得 e 13或 e 1- （舍）3，故選 D袇 四、第二定義法螂 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱第二定義）知離心率 于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題。e 是 動點(diǎn) 到 焦點(diǎn)的距離與相應(yīng) 準(zhǔn)線的距離比，特別適用22莀 例 4： 設(shè)橢圓x2y21 （ a 0,b 0）的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為l1 ，若過F1 且垂直于x軸的弦的長等于點(diǎn)F1到l1 的距離，則橢圓的離心率是.ab肀 解 ：如圖所示，AB 是過F1 且垂直于x 軸的弦，肄 AD l 1 于 D ， AD 為 F1到準(zhǔn)線l1 的距離，根據(jù)橢圓的第二定義，AF112 AB 1e

13、AD AD 2蒄 1 在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為2 ，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1 ，則該橢圓的離心率為（）聿 A 2B 2C1D 2224AF22 22膀 解： eAD 12蒅 2在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長為（）2 ，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1 ，則該雙曲線的離心率為2袂 A 2 B2C 2D2 22膂 五、構(gòu)建關(guān)于e 的不等式，求e 的取值范圍艿 1 已知雙曲線2 x2 ab21 （ a 0, b 0 ）的右焦點(diǎn)為F ，若過點(diǎn)F 且傾斜角為600的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（）袆 A1,2 B 1,2 C 2, D 2,22薄 2橢

14、圓x2y2abMN2 F1 F2 ，則該橢圓離心率的取值范圍是(1 ( a b 0 )的焦點(diǎn)為F1、袁 A10,2B0, 22CF2，兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為M 、 N ，若12,1D22,1F 且傾斜角為60o 的直線與雙曲線的右支有且只有22xy荿 1. 雙曲線221(a 0,b 0) 的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)ab一個交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率b2 c2b 3 ，離心率e2= c222 ab2 4 ，ae 2，選C2 x芇 2. 橢圓x2a2y21(a b 0) 的焦點(diǎn)為F1， F2，兩條準(zhǔn)線與bx 軸的交點(diǎn)分別為M ， N ，若2 a |MN | 2a ，c| F1F2 | 2c，肂 3. 已知F1 、(C)F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足MF1 MF2 0的點(diǎn) M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是蝕 A （0,1） B （0, 1C （0, 2）D 2 ,1）