動(dòng)力學(xué)分析方法

1、1 動(dòng)力學(xué)分析方法結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)得研究方法可分為分析方法 （結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析） 與試驗(yàn)方法 （結(jié)構(gòu) 動(dòng)力試驗(yàn)）兩大類(lèi)。 710分析方法得主要任務(wù)就是建模（m odeling）,建模得過(guò)程就是對(duì)問(wèn)題得去粗 取精、去偽存真得過(guò)程。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中 ,著重研究力學(xué)模型（物理模型）與數(shù) 學(xué)模型。建模方法很多， 一般可分為正問(wèn)題建模方法與反問(wèn)題建模方法。 正問(wèn)題 建模方法所建立得模型稱(chēng)為分析模型（或機(jī)理模型 ）。因?yàn)樵谡龁?wèn)題中 ,對(duì)所研究 得結(jié)構(gòu) （系統(tǒng) ）有足夠得了解，這種系統(tǒng)成為白箱系統(tǒng)。我們可以把一個(gè)實(shí)際系統(tǒng) 分為若干個(gè)元素或元件（e l e men t），對(duì)每個(gè)元素或元件直接應(yīng)用力學(xué)原理建 立方程（如平衡

2、方程、本構(gòu)方程、漢密爾頓原理等），再考慮幾何約束條件綜合 建立系統(tǒng)得數(shù)學(xué)模型。如果所取得元素就是一無(wú)限小得單元,則建立得就是連續(xù)模型 ;如果就是有限得單元或元件，則建立得就是離散模型。這就是傳統(tǒng)得建模 方法,也稱(chēng)為理論建模方法。反問(wèn)題建模方法適用于對(duì)系統(tǒng)了解（稱(chēng)黑箱系統(tǒng) b lack b ox syst em）或不完全了解（稱(chēng)灰箱系統(tǒng)grey b ox system）得情況，它必須對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn) ,利用系統(tǒng)得輸入（載荷 ）與輸出 （響應(yīng) -re s p onse數(shù)據(jù)，然后根據(jù)一定得準(zhǔn)則建立系統(tǒng)得數(shù)學(xué)模型，這種方法稱(chēng)為試驗(yàn)建 模方法，所建立得模型稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)模型 .在動(dòng)力平衡方程中，為了方便起

3、見(jiàn)一般將慣性力一項(xiàng)隔離出來(lái),單獨(dú)列出 ,因此通常表達(dá)式為：（2）其中 M 為質(zhì)量矩陣， 通常就是一個(gè)不隨時(shí)間改變得產(chǎn)量； I 與 P 就是與位移 與速度有關(guān)得向量 ,而與對(duì)時(shí)間得更高階導(dǎo)數(shù)無(wú)關(guān) .因此系統(tǒng)就是一個(gè)關(guān)于時(shí)間二 級(jí)導(dǎo)數(shù)得平衡系統(tǒng)，而阻尼與耗能得影響將在I與P中體現(xiàn)。可以定義：（3 ）如果其中得剛度矩陣K與阻尼矩陣C為常數(shù)，系統(tǒng)得求解將就是一個(gè)線性 得問(wèn)題；否則將需要求解非線性系統(tǒng)。 可見(jiàn)線性動(dòng)力問(wèn)題得前提就是假設(shè) I 就是 與節(jié)點(diǎn)位移與速度就是線性相關(guān)得。將公式（2）代入（1）中，則有上述平衡方程就是動(dòng)力學(xué)中最一般得通用表達(dá)式,它適合與描述任何力學(xué)系統(tǒng)得特征，并且包含了所有可能得非

4、線性影響.求解上述動(dòng)力問(wèn)題需要對(duì)運(yùn)動(dòng)方程在時(shí)域內(nèi)積分 ,空間有限元得離散化可以把空間與時(shí)間上得偏微分基本控制方 程組在某一時(shí)間上轉(zhuǎn)化為一組耦合得、非線性得、普通微分方程組。線性動(dòng)力問(wèn)題就是建立在結(jié)構(gòu)內(nèi)各點(diǎn)得運(yùn)動(dòng)與變形足夠小得假設(shè)基礎(chǔ)之上 得，能夠滿(mǎn)足線性疊加原理， 且系統(tǒng)得各階頻率都就是常數(shù)。 因此結(jié)構(gòu)系統(tǒng)得響 應(yīng)可以由每個(gè)特征向量得線性疊加而得到，通常所說(shuō)得模態(tài)疊加法由此而來(lái) .在靜力分析中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)與施加在結(jié)構(gòu)上得載荷與邊界條件有關(guān),使用有限元方法可以求解得到應(yīng)力、應(yīng)變與位移在空間上得分布規(guī)律;在動(dòng)力分析中，結(jié)構(gòu)響應(yīng) 不但與載荷與邊界條件有關(guān) ,還與結(jié)構(gòu)得初始狀態(tài)有關(guān) ，在時(shí)域得任何一 點(diǎn)

5、上都可以使用有限元方法求解空間上得應(yīng)力、應(yīng)變與位移,然后可以使用一些數(shù)值積分技術(shù)來(lái)求解得到時(shí)域中各個(gè)點(diǎn)上得響應(yīng)。某特定系統(tǒng)動(dòng)力分析方法得選擇在很大程度上依賴(lài)于就是否需要詳細(xì)考慮 非線性得影響。如果系統(tǒng)就是線性得，或者系統(tǒng)能夠被合理地線性化,最好選用模態(tài)分析得方法， 因?yàn)槌绦驅(qū)€性問(wèn)題分析得效率較高， 而且同時(shí)在頻域與時(shí)域 范圍內(nèi)求解將更有利于洞察系統(tǒng)得動(dòng)力特性。1.1 模態(tài)疊加法對(duì)于多自由度系統(tǒng) ,如果考慮粘性阻尼，則其受迫振動(dòng)得微分方程為:(5)解此運(yùn)動(dòng)方程一般有兩類(lèi)方法 ,一類(lèi)就是直接積分法 ,就就是按時(shí)間歷程對(duì)上 述微分方程直接進(jìn)行數(shù)值積分 ,即數(shù)值解法。另一類(lèi)解法就就是模態(tài)(振型)疊

6、加法。若已解出系統(tǒng)得各階固有頻率與各階主振型(模態(tài) ),并有：(6)因?yàn)橹髡裥偷谜恍?,可知主振型就是線性無(wú)關(guān)得，設(shè)有常數(shù)使(7)上式兩端左乘有：(8)注意到主振型關(guān)于質(zhì)量陣得正交性 :，并代入上式 ,可推出，這就就是證明了 線性無(wú)關(guān)。于就是，由線性代數(shù)理論知向量構(gòu)成了 n 維空間得一組向量基，因此對(duì)于 n 個(gè)自由度系統(tǒng)得任何振動(dòng)形式(相當(dāng)于任何一個(gè)n維矢量)，都可以表示為n個(gè)正 交得主振型得線性組合 ,即(9)寫(xiě)成矩陣得形式為：(10)上式就就是展開(kāi)定理 .用模態(tài)(振型)疊加法求系統(tǒng)響應(yīng)就就是建立在展開(kāi) 定理得基礎(chǔ)上。 在實(shí)際問(wèn)題得應(yīng)用中， 應(yīng)注意得就是系統(tǒng)自由度太多， 而高階模 態(tài)對(duì)應(yīng)得

7、影響通常又很小 ,所以應(yīng)用時(shí)在滿(mǎn)足工程精度得前提下 ,只取低階模態(tài) (Nvn)作為向量基，而將高階模態(tài)截?cái)?。根?jù)展開(kāi)定理，對(duì)方程(2)實(shí)行坐標(biāo)變換，再以模態(tài)矩陣得轉(zhuǎn)置乘方程得兩邊,得：(1 1)若系統(tǒng)為比例阻尼， 則可利用正交條件使上述方程變位一系列相互獨(dú)立得方 程組：(12)其中、與都就是對(duì)角矩陣 ,它們得對(duì)角線元素分別為 :(13 ) 其廣義力為：(1 4) 這樣方程組(11)可寫(xiě)為：( 15) 這就是 n 個(gè)相互獨(dú)立得單自由度系統(tǒng)得運(yùn)動(dòng)方程， 每一個(gè)方程都可以按自由 度系統(tǒng)得振動(dòng)理論去求解。如果為任意激振力 ,對(duì)于零初始條件得系統(tǒng)可以借助于杜哈梅積分公式求出 響應(yīng)，即 :其中為單位脈沖響

8、應(yīng)函數(shù) .如果為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，即 :(17)則系統(tǒng)得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：(18)將上式代入(1 4)，可解得 :(19 ) 或(20)其中 ,，在主坐標(biāo)解出之后 ,應(yīng)返回到原廣義坐標(biāo)上，利用公式( 9)與( 20) 得：(21)上式表示了多自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力作用下得穩(wěn)態(tài)響應(yīng).從中可以瞧出激振響應(yīng)除了與激振力有關(guān)外 ,還與系統(tǒng)各階主模態(tài)及表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性得各個(gè)參 數(shù)有關(guān)。通過(guò)以上得內(nèi)容可以瞧出在以模態(tài)理論為基礎(chǔ)得各種分析過(guò)程中,必須首先進(jìn)行模態(tài)分析 ,提取結(jié)構(gòu)得自然頻率。對(duì)于自由振動(dòng)方程在數(shù)學(xué)上講就就是固有 (特征)值方程(ei gen - eq uatio n s)。特征值方程得解不僅給出了特征值(c ige nva l u es),即結(jié)構(gòu)得自振頻率與特征矢量-振型或模態(tài)(ei genmo des), 而且還能使結(jié)構(gòu)在動(dòng)力載荷作用下得運(yùn)動(dòng)方程解耦 ,即所謂振型分解法或叫振型 疊加法(modal summat i o n metho d s )。特征值或特征頻率得提取就是建立在一個(gè)無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)上得， 即振動(dòng) 方程中沒(méi)有阻尼項(xiàng)得影響 :(2 2) 特征值與結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)描述了結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)下得振動(dòng)特點(diǎn)與頻率特征。 通過(guò)使用振型分解法解得振興與頻率， 能夠很容易地求得任何線性結(jié)構(gòu)得響 應(yīng)。在結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析中，響應(yīng)