第七章不等式、推理與證明第41講基本(均值)不等式練習理

1、第41講 基本（均值）不等式1. 了解基本（均值）不等式的證明過程.2. 會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}.【基礎(chǔ)檢測】1. 函數(shù)y=YT77（x>0>取最大值時x的值為（）【解析】因心懸=注玄護,當且僅當心即X,等號成立.【答案】A111 22. 已知a>0, b>0, a+b=+r»則-+匚的最小值為（）a ba bA. 4 B. 22C. 8 D. 16【解析】由a+b =丄+1=斗2有ab=l>貝lj丄+務2、卩十=2邁.a b aba ba b v【答案】B3. 設OVxVl, a>0, b>0, b為常數(shù)，貝1J7+的最小

2、值是（）A. 4ab B. 2(a：+b：)I a" (1 x)C. (a+b) ZD. (ab):【解析】¥+E=&+母x+（lx）“+b：a" （ 1 v）a又一+廠當且僅當*=內(nèi)時等號成立,所以左+產(chǎn)的最小值為（a+b）2.x 1x【答案】C4. 某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是【解析】由題意，-年購買竽次,則總運費與總存儲費用之和為竽X6+4E浮+JXx=240,當且僅當x=30時取等號，故總運費與總存儲費用之和最小時x的值是30.【答案】3

3、0【知識要點】1-基本不等式(1) 基本不等式成立的條件：a>0, b0.(2) 等號成立的條件：當且僅當I.2. 幾個重要的不等式(1) 才+b：2_2ab (a> bWR):(2) £+b_g_(a, b 同號):3 D 曲(甥(a, 圧R)；3. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a>0, b>0,則a, b的算術(shù)平均數(shù)為*,幾何平均數(shù)為肩，基本不等式可敘述為: 兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).4. 利用基本不等式求最值問題已知 x>0, y>0,(1) 如果xy是泄值p,那么當且僅當x=y時,x+y有最小值是2& (簡記:積左和最

4、小).(2) 如果x+y是泄值q,那么當且僅當x = y時，列有最大值是冷(簡記：和泄積最大).考點1利用基本(均值)不等式求最值例1(1)已知xy=l,且0y<¥，則斗匚的最小值為()A. 4 B嶺C. 2花D. 422x-2y【解析】xy=l 且 0y半 可知 x>d 所以 x-2y>0.gg=(X2y)/4xy=x 2y+Vu24,當且僅當x=V3+l. 7=時等號成立.【答案】Ab?(2)已知a>0, b>0,且a【解析】由不等式/一玄2解得一 1*2,又 壬心 所以a=l,從而函數(shù)f&)=x+=x且易知xHO當x>0時,X.Y)=

5、a-+|2a /.V -1=22，當且僅當x=£即尸謔時不等式取2當X V 0時，因為一 Q0 ,所以f 3 = X +二=一x2寸(一力(一一2花'O當且僅當一-Y=即X=-2時不等式取“=”綜上，函數(shù)f3的值域為(一8, 2/2 U 2/2, +8).例3設f (x) = I lg(x-l),若0<a<b且f(a) =f(b),則a+b的取值范圍是【解析】先畫出函數(shù)f(x) = |lg(x-l)的圖象，如圖，+-=b則3丿+1/的最大值為.【解析】因為a>0,又我+券卜乳+易+H，所以玄小+慮住當肩卜,當且僅當a：=+，即a=羋，b=等號成立，即(ajl

6、軻)込=羊.【答案】羋考點2基本(均值)不等式與函數(shù)的綜合問題例2已知a"a<2,且aGN*t求函數(shù)fx) =x+的值域xAl<a<2, b>2,/ lg(a1) =lg(b1) 9,因為blH注亍.e.a+b>4tAa+b的取值范圍是（4, +8）.【答案】（4, 4-co）【點評】可利用基本不等式求形如y=-X're -的值域，但在求解的過程中要注意運 用基本不等式時，等號是否成立，若等號不成立，則可以利用函數(shù)的單調(diào)性求解.考點3基本（均值）不等式的實際應用例4某書商為提高某套叢書的銷星:，準備舉辦一場展銷會.據(jù)市場調(diào)査，當每套叢書售 價泄為

7、x元時，銷售星可達到（15-0. lx）萬套.現(xiàn)出版社為配合該書商的活動，決左進行價 格改革，將每套叢書的供貨價格分成固左價格和浮動價格兩部分，其中固左價格為30元， 浮動價格（單位：元）與銷售雖：（單位：萬套）成反比，比例系數(shù)為10.假設不計其他成本，即 銷售每套叢書的利潤=售價一供貨價格.問：（1）每套叢書售價定為100元時，書商所獲得的總利潤是多少萬元？（2）每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？【解析】（1）每套叢書售價宦為100元時，銷售量為15-0.1X100 = 5（萬套），所以每 套叢書的供貨價格為30+誓=32（元），故書商所獲得的總利潤為5X （10032） =34

8、0（萬元）.15 0 lx>0,（2）每套叢書售價定為x元時，由 A得0<x<150.x>0,設單套叢書的利潤為P元，rll 10 、 100則云丿兩二30，因為 OVx<150,所以 150x>0.所以p=_嚴0x+喬節(jié)+120,又（1507+黑嚴/（150-Q 韻=2X10=20,當且僅當150-x=晉匚，即x=140時等號成立，所以 P*=-20+120 = 100.故每套叢書售價泄為140元時，單套叢書的利潤最大，為100元.【點評】（1）設變量時一般要把求最大值或最小值的變量左義為函數(shù).（2）根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得

9、函數(shù)的最值.3方法總結(jié)（3）在求函數(shù)的最值時，一疋要在左義域（使實際問題有意義的自變屋的取值范困）內(nèi)求 解.【pj1. a'+b：22ab成立的條件是a, bWR,而耳2佰成立，則要求a>0, b>0.2. 利用基本不等式求最值，要注意使用條件：一正（各數(shù)為正），二泄（和或積為定值）,三相等（等號在允許取值范圍內(nèi)能取到），要熟悉均值不等式的各種變形ax + bx cx3. 連續(xù)使用以上公式中的任一個或兩個，取等號的條件要在同一條件下取得，方可取到最值.1. （2018 天津）已知a,圧R,且a-3Z>+6=0,則2'+*的最小值為【解析】Ta 3b+6=0,2

10、'+右=2'+2七2百弓=27=2#, 當且僅當2“=2時，即a=-3b=-3時取等號.【答案】+考點集訓A組題1.已知40, y>0,且x+y=2“，則x+4y的最小值為（）7 9A 4 B. C. D 5【解析】由x-Vy=2xy得丄+丄=2,由>0, y>0,x yx+4尸扣+4y)(£+=g5+乎+弓詁(5 + 4)=善，當且僅當¥=；時，等號成立,9 即x+4y的最小值為空【答案】C2. 設 x+y=l, x, yG (0, +°°),則.y= -f-xy 的最小值為()化獨*. -jD.【解析】因為y>

11、0, y>0, x+y=l,故xjW(牛11"=|»當且僅當jv=y=|等號成立., “”3又 女+護+砂=(x+y)-xy=l羽尸鼻二，43 故-y：+/+at的最小值為孑【答案】B3. 函數(shù)尸log:.v4-log.v(2x)的值域是()A(8, 1B3, +8)C. -1, 3D. ( 8, 1U3, +8)【解析】因為 y=log:x+logA.(2) =log：x+log文2 + l = log：x+ 1,10g：-Y令 t=log：As 因為>0 且 xHl,所以 rHO.所以 t+2 或 r+*W-2,所以 y= r+£+l W (8,

12、iu3, +8).【答案】D4. 已知以八 V 1對于任意的.yG (b +8)恒成立，貝lj()XX XA. a的最小值為一3B. a的最小值為一4C. a的最大值為2D. &的最大值為4【解析】因為心1，+s),所以葉1>0, Q0.不等式亠丟去+1可化為+ 2a + 2£ J +1 ,44+(*1)+1=5,當且僅當,1即才 + 2& + 2£百 + “1 + 1,因為匸y+"-1 +4即y=3時，上式取“=”號.所以£=x-l x +2a+2W5,解得一3WaWl即a的最小值為一3,最大值為1.【答案】A5. 一艘輪船在航行

13、中的燃油費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時的燃油費是每小時6元.其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，則使行駛每公里的費用總和最小時，該輪船的航行速度為公里/小時.【解析】設速度為y公里/小時，則公里費用 尸匕出，又&xi(t=6,m=希3963 963Vy=5009 y=500v'5001月寸詁琴48 . 48=當且僅當冷護=嘗即丿=20時取等號.【答案】206.規(guī)泄記號“兇表示一種運算，即於b為正實數(shù)).若邁上=3,則，此時函數(shù)f(x)最小值為.【解析】1瞻=觀+1+&=3,即&+寸2=0,.9.yk=l 或邊=2（舍）,Ak=l.心）=學

14、=±1=1+心+*卻+2 = 3,當且僅當五=鼻 即尸1時等號成立.的最小值為3【答案】1: 37. 已知正實數(shù)a, b滿足自+b=4,則士+圭的最小值為.【解析】Ta+b=4, Ta+1 +b+3=8.占+缶心+1+"爲+繭1（b+3 a+l 11胡它（2+2）書，當且僅當a+l = £>+3,即a=3, b=l時取等號,士+治的最小值熄【答案】*8. 已知 00, y>0,且 2*+5尹=20.求u=lg .r+lg y的最大值；求出的最小值.【解析】(l)Tx>0, y>0,:由基本不等式，得2x+ 5y>2yjlQxy.2x+

15、5y=20,/. 2/10Ay 20，羽W10, 當且僅當2x=5y時，等號成立.因此有2*+5y=20,2-v=5y,y=5,.y=2t此時有最大值10./. w=lg x+lg y=lg(xy)Wlg 10 = 1.當x=5, y=2時，u=lg x+lg y有最大值1(2) Vx>0, y>0,2-r+ 5y20屯7+27+210=20當且僅當乎斗時,等號成立.2x+5y=20,由5y 2x= ,I * y解得彳1010-20尸 320-410 y= 3.*+*的最小值頭B組題1. 一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的槪率為b,不得分的概率為2 1心b.1),已知

16、他投籃一次得分的均值為2,則三+點的最小值為()a obK 32“ 28廠 1416A JB- y yD- T【解析】由已知得，3a+2b+0Xc=2,2即 3&+2Q2,其中 Q<a< 0<Kl.當且僅當字僉，即a=2b時取“等號” I1.夕 116又3&+2Q2,即當a=-, *彳時，；+丸的最小值為亍【答案】D2設a>b>c>Q,則2£+丄;+-10ac+25f的最小值是()ab a k a b)A 2 B 4 C 2a/5D. 5 【解析】2/+厶+- 10ac+25fab a (a®=(a50)： + £ab+ab ab a (a b)=(a5c)' + ab+A* + a(ab) + - r_aba k a b)20 + 2+2=4,當且僅當a-5c=0, ab=l, a(a-b) = 1時，等號成立， 即a=, b=¥，c=¥時滿足條件.【答案】B3設正實數(shù)陽y, z滿足x 3xy+ 4y z= 01則殲藝取得最大值時，？+丄一二的最大 zx y z值為【解析】據(jù)已