25正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例

1、2021/8/21正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例2021/8/221解斜三角形的常見類型及解法解斜三角形的常見類型及解法 在三角形的在三角形的6個元素中要已知三個個元素中要已知三個(除三角外除三角外)才能求解，常才能求解，常見類型及其解法如表所示見類型及其解法如表所示.已知條件已知條件應(yīng)用定理應(yīng)用定理一般解法一般解法一邊和兩角一邊和兩角(如如a, B, C )兩邊和夾角兩邊和夾角(如如a, C , b )三邊三邊 (a, b, c)兩邊和其中兩邊和其中一邊的對角一邊的對角 (a, b, A)正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正

2、弦定理正弦定理由由A+B+C=180, 求角求角A, 再用正弦再用正弦定理求出定理求出b與與c.用余弦定理求出角用余弦定理求出角A, B,再由再由A+B+C=180求出角求出角C.由余弦定理求第三邊由余弦定理求第三邊c；由正弦定；由正弦定理求出小邊所對的角；再由理求出小邊所對的角；再由ABC180求出另一角求出另一角 由正弦定理求出角由正弦定理求出角B;由由ABC180 ,求出角求出角C;再利用正弦定理或余再利用正弦定理或余弦定理求弦定理求c.可有兩解可有兩解,一解或無解一解或無解 2021/8/23 測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海

3、問題、物理問題等積問題、航海問題、物理問題等2. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型(1)仰角和俯角：仰角和俯角：3實際問題中的常用角實際問題中的常用角 與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角線在水平視線下方叫俯角2021/8/24 指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90 的水平角的水平角, 叫方向角叫方向角.(2)方向角方向角 目標(biāo)方向線方向一般可用目

4、標(biāo)方向線方向一般可用“偏偏”多少度來表示多少度來表示,這里第一這里第一個個“”號是號是“北北”或或“南南”字字,第第二個二個“”號是號是“東東”字或字或“西西”字字.OA的方向角為；的方向角為；OB的方向角為；的方向角為；OC的方向角為；的方向角為；OD的方向角為的方向角為.北偏東北偏東6060 北偏西北偏西3030 西南方向西南方向南偏東南偏東2020 2021/8/25(4)水平距離、垂直距離、坡面距離水平距離、垂直距離、坡面距離(3) 方位角方位角 從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為點(diǎn)的方位角為 如圖如圖BC代表水平距離代表

5、水平距離, AC代表垂直距離代表垂直距離, AB代表代表坡面距離坡面距離.A AB BC C2021/8/2614i 即即. . 如圖把如圖把坡面的鉛直高度坡面的鉛直高度h和水平寬度為和水平寬度為l 的的比比叫做叫做坡度坡度(或叫做坡比或叫做坡比),用字母用字母i表示表示,坡度一般寫成坡度一般寫成h:l的形式的形式.如如i=1:4,(5)坡度、坡角：坡度、坡角： 坡面與水平面所成的坡面與水平面所成的二面角二面角的度數(shù)叫做的度數(shù)叫做坡坡角角, 坡角與坡度之間有如下關(guān)系：坡角與坡度之間有如下關(guān)系：tan.hil hil 即即. .hlhil 2021/8/272021/8/282021/8/292

6、021/8/2102021/8/211【例【例2】某人在塔的正東沿著南偏西】某人在塔的正東沿著南偏西60 的方向前進(jìn)的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱雒缀?，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫榻菫?0，求塔高，求塔高2021/8/2122021/8/213 如圖如圖,某人在塔的正東方向上的某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西內(nèi)沿南偏西60 的方向以每小時的方向以每小時6千米的速度步行了千米的速度步行了1分鐘以后，分鐘以后，在點(diǎn)在點(diǎn)D處望見塔的底端處望見塔的底端B在東北方向上，已知沿途塔的仰角在東北方向上，已知沿途塔的仰角A

7、EB,的最大值為的最大值為60 . (1)求該人沿南偏西求該人沿南偏西60 的方向走到仰角的方向走到仰角最大時，走了幾最大時，走了幾分鐘；分鐘； (2)求塔的高求塔的高AB.2021/8/2142021/8/215如圖如圖,某人在塔的正東方向上的某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西南偏西60 的方向以每小時的方向以每小時6千米的速度步行了千米的速度步行了1分鐘以后，在分鐘以后，在點(diǎn)點(diǎn)D處望見塔的底端處望見塔的底端B在東北方向上，已知沿途塔的仰角在東北方向上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值為的最大值為60 . (2)求塔的高求塔的高AB.2021/8/

8、216 【例【例3】如圖所示】如圖所示 , 在梯形在梯形ABCD中中, ADBC , AB5 ,AC9, BCA30 , ADB45 , 求求BD的長的長2021/8/2172021/8/218 如圖所示，如圖所示，ACD是等邊三角形，是等邊三角形，ABC是等腰直角三角是等腰直角三角形，形，ACB90，BD交交AC于于E，AB2. (1)求求cosCBE的值；的值； (2)求求AE.2021/8/219運(yùn)用正、余弦定理解決實際應(yīng)用問題運(yùn)用正、余弦定理解決實際應(yīng)用問題2021/8/2202021/8/2212021/8/222 解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟為：解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟為：第一步：

9、第一步：分析：分析：理解題意理解題意,分清已知與未知分清已知與未知,畫出示意圖；畫出示意圖；第二步：第二步：建模：建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與 求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一 個解斜三角個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；形的數(shù)學(xué)模型；第三步：第三步：求解：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；形，求得數(shù)學(xué)模型的解；第四步：第四步：檢驗：檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解而得出實際問題的解20

10、21/8/223例例1.(2010福建高考福建高考)某港口某港口O要將一件重要物品用小要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口位于港口O北偏西北偏西30且與該港口相距且與該港口相距20海里的海里的A處，處，并正以并正以30海里海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里海里/小時的航行速度小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇小時與輪船相遇 (1)若希望相遇時小艇的航行若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？小應(yīng)為多少？ (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里海里/小小時時,試設(shè)計航行方案試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大即確定航行方向和航行速度的大小小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇使得小艇能以最短時間與輪船相遇,并說明理由并說明理由.2021/8/2242021/8/2252021/8/2262021/8/2272021/8/2282021/8/2292021/8/2302021/8