《學(xué)案與測(cè)評(píng)》2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十三單元第二節(jié) 總體分布和總體特征數(shù)的估計(jì)

1、第二節(jié)第二節(jié) 總體分布和總體特征數(shù)的估計(jì)總體分布和總體特征數(shù)的估計(jì)基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1. 作頻率分布直方圖的步驟（1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中 與 的差）;（2）決定 與 ;（3）將數(shù)據(jù) ;（4）列 ;（5）畫(huà) .2. 頻率分布折線圖和總體分布的密度曲線（1）頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的 順次連接起來(lái).最大值最小值組距組數(shù)分組頻率分布表頻率分布直方圖上底邊中點(diǎn)足夠小足夠大（2）總體分布的密度曲線：如果將樣本容量取得 ,分組的組距取得 ,那么相應(yīng)的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線，我們稱(chēng)這條光滑曲線為總體分布的密度曲線.3. 標(biāo)準(zhǔn)差和方差設(shè)一組樣本數(shù)據(jù) ，其平均數(shù)為 ，則有（1）標(biāo)準(zhǔn)差

2、:s= .（2）方差：s2= .4. 用莖葉圖刻畫(huà)數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：(1)所有的信息都可以從 ;12,.,nx xxx222121.nxxxxxxn222121.nxxxxxxn圖中得到（2）莖葉圖便于 ，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況.但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖的效果就不是很好了.記錄和表示典例分析典例分析題型一題型一 圖形信息題圖形信息題【例1】為了解九年級(jí)學(xué)生中女生的身高（單位：cm）情況，某中學(xué)對(duì)九年級(jí)女生身高進(jìn)行了一次測(cè)量，所得數(shù)據(jù)整理后，列出了頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率145.5149.510.02149.5153.540.08153.5157.5200.40157.5161

3、.5150.30161.5165.580.16165.5169.5mn合計(jì)MN（1）求出表中m,n,M,N所表示的數(shù)分別是多少;（2）畫(huà)出頻率分布直方圖；（3）試問(wèn)：全體女生中身高在哪組范圍內(nèi)的人數(shù)最多？估計(jì)九年級(jí)學(xué)生中女生的身高在161.5 cm以上的概率.分析 每組距的頻率是該組距中個(gè)體的個(gè)數(shù)與所研究對(duì)象的個(gè)數(shù)之比；所有組距的頻率之和為1;每一組距的頻率是頻率分布直方圖中該組距所對(duì)應(yīng)的矩形的面積.解 （1）M= =50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1, （2）作出直角坐標(biāo)系，組距為4,縱軸表示頻率/組距，橫軸表示身高,畫(huà)出頻率分布直方圖如圖.0.0210.04502Mmn

4、（3）在153.5157.5 cm范圍內(nèi)最多，估計(jì)身高在161.5 cm以上的概率為P= =0.2.5010學(xué)后反思 一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布，從而對(duì)總體的頻率分布作出估計(jì)，其具體步驟如下：（1）將數(shù)據(jù)分組，確定合適的組距，列出頻率分布表;（2）明確縱、橫軸的意義，縱軸表示 , 橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，畫(huà)出直方圖；（3）直方圖中每一個(gè)矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這個(gè)區(qū)間上的頻率，所有的小矩形的面積之和等于1,即頻率之和為1.由此可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)落在某個(gè)區(qū)間的頻率或概率或者總體的數(shù)字特征.組距頻率樣本容量頻數(shù)頻率舉一反三舉一反三1. 下列數(shù)據(jù)為寶潔公司在某年每周銷(xiāo)售出的香皂數(shù)（單位：百萬(wàn)塊）

5、：17.119.615.417.415.018.520.618.420.013.919.318.214.717.112.219.918.720.420.315.516.819.120.415.420.317.517.018.313.639.820.721.322.521.523.423.122.821.424.025.226.323.930.625.226.226.932.826.326.624.326.223.8（1）把上述數(shù)據(jù)分組，列出頻率分布表；(2)根據(jù)（1）的結(jié)果畫(huà)頻率分布直方圖和頻率分布折線圖;(3)結(jié)合上面的描述，分析該年度香皂銷(xiāo)售的分布情況.解析： （1）頻率分布表如下：銷(xiāo)售量

6、分 頻數(shù) 頻率 10,15） 4 7.691.5415,20)1936.547.3120,25)1834.626.9225,30)815.383.0830,35)23.850.7735,4011.920.38 00iiiifxnxixin 00if 00iifx（2）頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如圖所示.（3）該年度每周的香皂銷(xiāo)售量主要在1 500萬(wàn)塊到3 000萬(wàn)塊之間.題型二題型二 用樣本分布估計(jì)總體用樣本分布估計(jì)總體【例2】對(duì)某電燈泡進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命（h）100,200) 200,300) 300,400) 400,500) 500,600 個(gè)數(shù) 20 30 80 40

7、 30（1）列出頻率分布表；（2）畫(huà)出頻率分布直方圖；（3）估計(jì)電燈泡壽命在200 h500 h以內(nèi)的頻率；（4）估計(jì)電燈泡壽命在300 h以上的頻率.分析 從分組中看壽命在某一范圍內(nèi)的電燈泡的比例即壽命在該范圍內(nèi)的頻率.解 （1）樣本頻率分布表如下： （2）頻率分布直方圖如圖：壽命(h)頻數(shù)頻率100,200) 20 0.10200,300) 30 0.15300,400) 80 0.40400,500) 40 0.20500,600 30 0.15合計(jì) 200 1（3）電燈泡壽命在200 h500 h以內(nèi)的頻數(shù)為150,則頻率為 =0.75.（4）壽命在300 h以上的電燈泡的頻數(shù)為150

8、，則頻率為 =0.75.200150200150學(xué)后反思 利用樣本的頻率分布可近似地估計(jì)總體的分布.從本例可以看出，要比較準(zhǔn)確地反映出總體分布的情況，必須準(zhǔn)確地作出頻率分布表或頻率分布直方圖，充分利用所給的數(shù)據(jù)正確地作出估計(jì).解決總體分布估計(jì)問(wèn)題一般程序?yàn)椋寒?dāng)總體中所取不同數(shù)值較少時(shí)，常用條形圖表示相應(yīng)的樣本的頻率分布;否則常用頻率分布直方圖表示相應(yīng)樣本的頻率分布.具體步驟為：(1)先確定分組的組數(shù)（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差除以組距數(shù)）；(2)分別計(jì)算各組的頻數(shù)及頻率（ ）；(3)畫(huà)出頻率分布直方圖并作出相應(yīng)估計(jì).總數(shù)頻數(shù)頻率 2. 某公司在過(guò)去幾年內(nèi)使用某種型號(hào)的燈管1 000支.該公司對(duì)這些

9、燈管的使用壽命（單位：小時(shí)）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.舉一反三舉一反三分組500,900)900,1100)1100, 1300)1300, 1500)1500,1700)1700,1900)1900, +)頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42頻率（1）將各組的頻率填入表中;（2）根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，計(jì)算燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的頻率.解析： (1)分組500,900)900,1100)1100, 1300)1300, 1500)1500,1700)1700,1900)1900, +)頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42頻率0.0480.121

10、0.2080.2230.1930.1650.42(2)由(1)可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6,所以燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的頻率為0.6.題型三題型三 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【例3】對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在相同的條件下進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們最大速度的數(shù)據(jù)如下：甲：27,38,30,37,35,31;乙：33,29,38,34,28,36.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰(shuí)更優(yōu)秀.分析 要判斷甲、乙兩人誰(shuí)更優(yōu)秀，只需計(jì)算它們的平均數(shù)與方差即可.已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,xn,則平均數(shù)方差 標(biāo)準(zhǔn)差 nx.xxxxn321

11、,)x(xn1sn1i2i2.)x(xn1sn1i2i解 (27+38+30+37+35+31)=33, (33+29+38+34+28+36)=33,s2甲= (27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+ (35-33)2+(31-33)2= 94= ,61x甲61x乙61613215s2乙= (33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2= 76= . ,s2甲s2乙.由此可以說(shuō)明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀.6161乙甲xx3212學(xué)后反思 平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的

12、平均水平;標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.考查樣本數(shù)據(jù)的水平及穩(wěn)定情況時(shí)，應(yīng)先比較其平均數(shù)，若平均數(shù)相同，再比較其方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）.舉一反三舉一反三3. 某化肥廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間包裝肥料,在自動(dòng)包裝傳送帶上每隔30 min抽取一包產(chǎn)品,稱(chēng)其重量,分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下:甲:102,101,99,98,103,98,99;乙:110,115,90,85,75,115,110.(1)這種抽樣方法是哪一種?(2)將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示;(3)比較兩組數(shù)據(jù),說(shuō)明哪個(gè)車(chē)間產(chǎn)品較穩(wěn)定.解析：(1)因

13、為間隔時(shí)間相同,故是系統(tǒng)抽樣.(2)莖葉圖如下:(3)甲車(chē)間:平均值: =(102+101+99+98+103+98+99)=100,方差: 3.428 6.乙車(chē)間:平均值: (110+115+90+85+75+115+110)=100,方差: 228.571 4. , ,甲車(chē)間產(chǎn)品穩(wěn)定.117x 222211102 100101 100.99 1007S217x 222221110 100115 100.110 1007S12xx2212SS題型四題型四 綜合問(wèn)題綜合問(wèn)題【例4】(14分)某種瓶裝溶液，因?yàn)檠b瓶機(jī)的不穩(wěn)定性，所以很可能每瓶裝的容量都不是標(biāo)準(zhǔn)的容量.我們隨機(jī)抽出了20瓶，測(cè)得它

14、們的容量（單位：百毫升）如下:12.1 11.9 12.2 12.2 12.0 12.1 12.9 12.1 12.3 12.5 11.7 12.4 12.3 11.8 11.3 12.1 11.4 11.6 11.2 12.2（1）根據(jù)數(shù)據(jù)列出頻數(shù)分布表、畫(huà)出頻數(shù)分布圖；（2）計(jì)算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差（結(jié)果精確到0.01）;（3）結(jié)合（1）、（2）的結(jié)果,描述一下樣本的分布情況，并根據(jù)實(shí)際意義寫(xiě)一個(gè)簡(jiǎn)短的報(bào)告（對(duì)總體情況作出估計(jì)）.分析 現(xiàn)實(shí)中對(duì)一組數(shù)據(jù)，往往是從多角度、多層面進(jìn)行分析.主要標(biāo)準(zhǔn)是平均數(shù)、方差的大小,頻率分布直方圖是否集中等.解 （1）頻數(shù)分布表如下： 頻數(shù)分布圖如圖所

15、示:分組頻數(shù)11.0,11.5) 311.5,12.0) 412.0,12.5) 1112.5,13.0 2（2）平均數(shù) (12.1+11.9+12.2+12.2)= 12.02. .8標(biāo)準(zhǔn)差0.41. .10201x 20240.32012.02)(12.2.12.02)(11.912.02)(12.1s222（3）標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)于平均數(shù)來(lái)說(shuō)比較小;從頻數(shù)分布圖中可以看出，每瓶的容量大致位于1 150毫升到1 250毫升之間.因此判斷裝瓶機(jī)工作穩(wěn)定. 14學(xué)后反思 數(shù)據(jù)的圖形分布情況和數(shù)字特征從不同方面對(duì)總體（或樣本）的分布作出了刻畫(huà).在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，這兩個(gè)方面應(yīng)結(jié)合起來(lái)，發(fā)揮各自的長(zhǎng)處，以便

16、能更清晰的描繪總體（或樣本）的分布.舉一反三舉一反三4.從高三學(xué)生中抽取50名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)（單位：分）的分組及各組的頻數(shù)如下：40,50),2;50,60),3;60,70),10;70,80),15;80,90),12;90,100,8.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫(huà)出頻率分布直方圖; (3)估計(jì)成績(jī)?cè)?0,90)分的學(xué)生比例.解析： （1）頻率分布表如下：（2）頻率分布直方圖如圖:成績(jī)分組頻數(shù)頻率40,50)20.0450,60)30.0660,70)100.2070,80)150.3080,90)120.2490,10080.16合計(jì)1.00（3）成績(jī)?cè)?0,90)分的學(xué)

17、生比例即為學(xué)生成績(jī)?cè)?0,90)分的頻率，即（0.2+0.3+0.24）100%=74%.考點(diǎn)演練考點(diǎn)演練10. 一個(gè)樣本a,99,b,101,c中五個(gè)數(shù)恰成等差數(shù)列,求這個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差.解析： a,99,b,101,c成等差數(shù)列, ,a=98,c=102, 101 991002b9899 100 101 1021005x2222198 10099 100100 100102 1005s11. 在育民中學(xué)舉行的電腦知識(shí)競(jìng)賽中,將九年級(jí)兩個(gè)班參賽的學(xué)生成績(jī)(得分均為整數(shù))進(jìn)行整理后分成五組,繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.15,

18、0.10,0.05,第二小組的頻數(shù)是40.(1)求第二小組的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;(2)求這兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)是多少;(3)這兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)應(yīng)落在第幾小組內(nèi)?(不必說(shuō)明理由)解析： (1)各小組的頻率之和為1.00,第一、三、四、五小組的頻率分別為0.30,0.15,0.10,0.05,第二小組的頻率為1.00-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40.落在59.5 69.5的第二小組的小長(zhǎng)方形的高為 補(bǔ)全的直方圖如圖所示.(2)設(shè)九年級(jí)兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)為x人.第二小組的頻數(shù)為40人,頻率為0.40, ,解得x=100(人).所以九年級(jí)兩個(gè)班參賽的學(xué)生人數(shù)為100人.0.400.0410頻率組距400.40 x(3)因?yàn)?.3100=30,0.4100=40,0.15100=15,0.10100=10,0.05100=5,即第一、第二、第三、第四、第五小組的頻數(shù)分別為30,40,15,10,5，所以九年級(jí)兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)應(yīng)落在第二小組內(nèi).12. 觀察下面表格:分組 頻數(shù) 頻率10.75,10.85) 310.85,10.95) 9分組 頻數(shù) 頻率 10