數(shù)學方程知識點

1、數(shù)學方程知識點關(guān)于數(shù)學方程知識點1、表示相等關(guān)系的式子叫做等式。2、含有未知數(shù)的等式是方程。3、方程一定是等式;等式不一定是方程。等式方程4、等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。 這是等式的性質(zhì)。等式兩邊同時乘或除以同一個不等于0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等 式。這也是等式的性質(zhì)。5、求方程中未知數(shù)的過程，叫做解方程。解方程時常用的關(guān)系式：一個加數(shù)二和-另一個加數(shù)減數(shù)=被減數(shù)-差被減數(shù)=減數(shù)+差一個因數(shù)二積另一個因數(shù)除數(shù)=被除數(shù)土商被除數(shù)二商X除數(shù)注意：解完方程，要養(yǎng)成檢驗的好習慣。6、五個連續(xù)的自然數(shù)（或連續(xù)的奇數(shù)，連續(xù)的偶數(shù)）的和，等于 中間的一個數(shù)的5倍。奇數(shù)個連續(xù)的自然數(shù)（或

2、連續(xù)的奇數(shù)，連續(xù)的 偶數(shù)）的和+個數(shù)二中間數(shù)7、4個連續(xù)的自然數(shù)（或連續(xù)的奇數(shù)，連續(xù)的偶數(shù)）的和，等于 中間兩個數(shù)或首尾兩個數(shù)的和X個數(shù)+ 2 （高斯求和公式）8、列方程解應用題的思路：A、審題并弄懂題目的己知條件和所 求問題。B、理清題目的等量關(guān)系。C、設(shè)未知數(shù)，一般是把所求的 數(shù)用X表示。D、根據(jù)等量關(guān)系列出方程E、解方程F、檢驗G、作 答。一.列方程解應用題的一般步驟：1.認真審題：分析題中已知和未知，明確題中各數(shù)量之間的關(guān) 系；3 .設(shè)未知數(shù)：用字母表示題目中的未知數(shù)時一般采用直接設(shè)法, 當直接設(shè)法使列方程有困難可采用間接設(shè)法；4 .列方程：根據(jù)這個相等關(guān)系列出所需要的代數(shù)式，從而列出

3、 方程注意它們的量要一致，使它們都表示一個相等或相同的量；列方程應滿足三個條件：方程各項是同類量，單位一致，左右兩 邊是等量；5 .解方程:解所列出的方程，求出未知數(shù)的值；6 .寫出答案：檢查方程的解是否符合應用題的實際意義，進行 取舍，并注意單位。簡記為六個字：審、找、設(shè)、歹IJ、解、答。二.列一元一次方程解應用題的幾點注意：1 .注意語言與解析式的互化：如,“多”、“少”、“增加了”、“增加為（到）”、“同 時”、“擴大為（到）”、“擴大了”、2 .注意從語言敘述中寫出相等關(guān)系：如，x 比 y 大 3,則 x-y=3 或 x=y+3 或 x-3二y。3 .注意單位換算：如,“小時”、“分鐘

4、”的換算；s、v、t單位的一致等。三.一元一次方程的實際應用：常見考法誤區(qū)提醒由于對題意理解不透，不能正確的找出相等關(guān)系列出方程。知識點總結(jié)1 .一元二次方程的根：驗根：不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是不是 一元二次方程的兩根；求根及未知數(shù)系數(shù)：己知方程的一個根，可利用根與系數(shù)的關(guān) 系求出另一個數(shù)及未知數(shù)系數(shù).求代數(shù)式的值：在不解方程的情況下，可利用根與系數(shù)的關(guān)系 求關(guān)于和的代數(shù)式的值，如求作新方程：己知方程的兩個根，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求出 一元二次方程的一般式.一元二次方程的應用：方程是解決實際問題 的有效模型和工具.利用方程解決。2 .解一元二次方程應用題：它是列一元一次方程

5、解應用題的拓展,解題方法是相同的。其一 般步驟為：L設(shè)：即適當設(shè)未知數(shù)（直接設(shè)未知數(shù)，間接設(shè)未知數(shù)），不 要漏寫單位名稱，會用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題目中涉及的量；2 .歹IJ：根據(jù)題意，列出含有未知數(shù)的等式，注意等號兩邊量的 單位必須一致；3 .解：解所列方程，求出解來；4 .驗：一是檢驗是否為方程的解，二是檢驗是否為應用題的解;5.答：怎么問就怎么答，注意不要漏寫單位名稱。常見考法（1）考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）：這類 題目有著解題規(guī)律性強的特點，題目設(shè)置會很靈活，所以一直很吸引命題者。主要考查根與系數(shù)的推導，有關(guān)規(guī)律的探究己知兩 根或一根構(gòu)造一元二次方程，這類題目一般比較

6、開放；（2）在一元二次方程和幾何問題、函數(shù)問題的交匯處出題。（幾何問題：主要是將數(shù)字及數(shù)字間的關(guān)系隱藏在圖形中，用圖形 表示出來，這樣的圖形主要有三角形、四邊形、圓等涉及到三角形 三邊關(guān)系、三角形全等、面積計算、體積計算、勾股定理等）；（3）列一元二次方程解決實際問題，以實際生活為背景，命題 廣泛。（常見的題型是增長率問題，注：平均增長率公式誤區(qū)提醒（1）己知方程根的情況，確定字母系數(shù)的取值范圍時，忽視了 對二次項系數(shù)的討論；（2）忽視“方程有實根”的含義，丟掉判別式等于零的情況；（3）不挖掘題目中的隱含條件導致錯解；（4）忽視等式的基本性質(zhì)，造成失根；（5）忽略實際問題中對方程的根的檢驗，造

7、成錯解。一、基本概念1 .方程、方程的解（根）、方程組的解、解方程（組）2 .分類：二、解方程的依據(jù)-等式性質(zhì)1. a=ba+c=b+c2. a=bac=bc （cO）三、解法1. 一元一次方程的解法：去分母去括號移項合并同類項系數(shù)化成1解。2.元一次方程組的解法：基本思想：消元方法：代入法加減法四、一元二次方程1 .定義及一般形式：2 .解法：直接開平方法（注意特征）配方法（注意步驟-推倒求根公式）公式法：因式分解法（特征：左邊=0）3 .根的判別式：4 .根與系數(shù)頂?shù)年P(guān)系：逆定理：若，則以為根的一元二次方程是：。5 .常用等式：五、可化為一元二次方程的方程1 .分式方程定義基本思想：基本解

8、法：去分母法換元法（如，）驗根及方法2 .無理方程定義基本思想：基本解法：乘方法（注意技巧！。換元法（例，）驗根及方3 .簡單的二元二次方程組由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組 都可用代入法解。六、列方程（組）解應用題一概述列方程（組）解應用題是中學數(shù)學聯(lián)系實際的一個重要方面。其具 體步驟是：設(shè)元（未知數(shù)）。直接未知數(shù)間接未知數(shù)（往往二者兼用）。 一般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量。尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量 關(guān)系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的。解方程及檢驗。答案。綜上所述，列方程（

9、組）解應用題實質(zhì)是先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學 問題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學問題的解決而導致實際問題的解決 （列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。 因此，列方程是解應用題的關(guān)鍵。二常用的相等關(guān)系1 .行程問題（勻速運動）基本關(guān)系：s=vt相遇問題（同時出發(fā)）：追及問題（同時出發(fā)）：若甲出發(fā)t小時后，乙才出發(fā)，而后在B處追上甲，則水中航行：；2 .配料問題：溶質(zhì)二溶液濃度溶液=溶質(zhì)+溶劑3 .增長率問題：4 .工程問題：基本關(guān)系：工作量二工作效率工作時間（常把工作量 看著單位1） o5 .幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形 及有關(guān)比例性質(zhì)等。三注意語言與解

10、析式的互化如，多、少、增加了、增加為（到）、同時、擴大為（到）、擴大了、又如，一個三位數(shù)，百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,個位數(shù)字為 c,則這個三位數(shù)為：100a+10b+c,而不是abc。四注意從語言敘述中寫出相等關(guān)系。如，x比y大3,貝x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差 為3,則x-y=3。五注意單位換算如，小時分鐘的換算;s、v、t單位的一致等。七、應用舉例（略）第六章一元一次不等式（組）重點一元一次不等式的性質(zhì)、解法內(nèi)容提要1 .定乂： ab a2 . 一元一次不等式：axb ax3 . 一元一次不等式組：4 .不等式的性質(zhì)：aa+cb+c(2)abc (cO)aac（傳

11、遞性）accada+cb+d.5 .一元一次不等式的解、解一元一次不等式6 .一元一次不等式組的解、解一元一次不等式組（在數(shù)軸上表示 解集）7 .應用舉例（略）構(gòu)造方程是初中數(shù)學的基本方法之一。在解題過程中要善于觀察、善于發(fā)現(xiàn)、認真分析，根據(jù)問題的結(jié) 構(gòu)特征、及其問題中的數(shù)量關(guān)系，挖掘潛在已知和未知之間的因素, 從而構(gòu)造出方程，使問題解答巧妙、簡潔、合理。1、某些題目根據(jù)條件、仔細觀察其特點，構(gòu)造一個一元一次方 程求解，從而獲得問題解決。例L如果關(guān)于x的方程ax+b=2（2x+7）+l有無數(shù)多個解,那么a、 b的值分別是多少？解:原方程整理得（a-4）此方程有無數(shù)多解，a-4=0且分別解得a=

12、4,2、有些問題，直接求解比較困難，但如果根據(jù)問題的特征，通 過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造一元二次方程，再用根與系數(shù)的關(guān)系求解，使問題 得到解決。此方法簡明、功能獨特，應用比較廣泛，特別在數(shù)學競 賽中的應用。3、有時可根據(jù)題目的條件和結(jié)論的特征，構(gòu)造出方程組，從而 可找到解題途徑。例3：已知3, 5, 2x, 3y的平均數(shù)是4。20, 18, 5x, -6y的平 均數(shù)是1。求的值。分析：這道題考查了平均數(shù)概念，根據(jù)題目的特征構(gòu)造二元一次 方程組，從而解出x、y的值，再求出的值。數(shù)學六年級上方程知識點蘇教版本單元重點研究列兩類方程來解決實際問題:第一類，列形如axb=c的方程來解決生活實際中“比 的倍多（少）”

13、的，一倍數(shù)是未知的問題。解決這類問題時 關(guān)鍵是找準題目中數(shù)量之間相等的關(guān)系，列出方程。解方程時，可 以利用等式的性質(zhì)求解，并代入題目中檢驗。第二類，列形如axbx=c的方程來解決生活實際中的“和倍”、 “差倍”等問題。解決這類問題時關(guān)鍵是找準題目中數(shù)量之間相等 的關(guān)系，列出方程。解方程時，可以先根據(jù)乘法分配律進行化簡， 再利用等式的性質(zhì)求解，并代入題目中檢驗。難點剖析列方程解應用題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出題中數(shù)量之間的相 等關(guān)系。怎樣找等量關(guān)系呢？根據(jù)常見的基本數(shù)量關(guān)系列方程。例如：甲、乙兩人加工300個零件，甲每小時加工25個，乙每 小時加工35個。兩人合做幾小時完成？解：設(shè)兩人合做X小時

14、完成。根據(jù)工程問題的基本數(shù)量關(guān)系式：工作效率X工作時間二工作總量列方程解：（25+35） XX=300抓住題目中的關(guān)鍵語句找等量關(guān)系列方程。例如：一個化肥廠，今年生產(chǎn)化肥2800噸，今年的產(chǎn)量比去年 的2倍少100噸，去年生產(chǎn)化肥多少噸？抓住題目中“今年的產(chǎn)量比去年的2倍少100噸”這一關(guān)鍵句進 行分析，可以知道：去年產(chǎn)量的2倍TOO噸二今年的產(chǎn)量。解：設(shè)去年生產(chǎn)化肥X噸。列方程得：2X-100=2800利用線段圖找等量關(guān)系列方程。例如：南沙村有120公頃土地種蔬菜，其中種大白菜的面積是種 青菜面積的3倍。種青菜和種大白菜的面積各有多少公頃？解：設(shè)種青菜的面積為X公頃，種大白菜的面積為3X公頃

15、。畫出線段圖：X公頃種青菜的面積3X公頃共300公頃種大白菜的面積從圖中不難發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系：種青菜的面積+種白菜的面積二總面積。列方程得：X+3X=300根據(jù)有關(guān)公式或概念列方程。例如：把一塊長方形菜地的四周圍上18米的籬笆。已知菜地長5米，寬是多少米？解:設(shè)寬是X分米，根據(jù)“長方形的周長二（長+寬）X2”這一公 式列方程得：（5+X）X2=18二元一次方程1 .二元一次方程的定義含有兩個未知數(shù)，并且未知項的次數(shù)是1, 系數(shù)不是0,這樣的整式方程，叫做二元一次方程.二元一次方程指的是有兩個未知數(shù)的，而且未知數(shù)的質(zhì)數(shù)都是1 的方程式。由二元一次方程衍生出了二元一次方程組、二元一次方 程的解等方面的

16、知識，一般來說，解二元一次方程都需要把方程中 的未知數(shù)的個數(shù)減少，然后再解，它的方程式是x-Y=l。2 .二元一次方程的一般形式ax+by二c(其中x、y少是未知數(shù)，a、 b、c是字母己知數(shù)，且abWO).3 .判斷一個方程是二元一次方程，它必須同時滿足下列四個條件(1)含有兩個未知數(shù)；(2)未知項的次數(shù)都是1;(3)未知項的系數(shù)都不是仇(4)等號兩邊的代數(shù)式是整式，即方程是整式方程.二元一次方程解題技巧：每個人初學二元一次方程的時候，總是會覺得十分難解的，但是 只要你掌握了解題技巧，自然而然就能解開。首先要想解開一個二 元一次方程，就應該是解開二元一次方程組，第一步做的就是把第 一個和第二個

17、方程組合并，然后把需要解開的項移到一旁，然后合 并同類項，最后就可以將解得的一個未知數(shù)帶入原先的方程中，就 可以得知兩個未知數(shù)的值。通常求一個二元一次方程解的方法是:用含有一個未知數(shù)的代數(shù) 式表示另一個未知數(shù)，如3x-x/2=7變形為y=2 (3x-7),給出二的一 個值，就可以求出少的對應值，這樣就得到了一個方程的解。適合 一個二元一次方程的每一對未知數(shù)的值叫做二元一次方程的一個解. 由于任何一個二元一次方程，讓其中一個未知數(shù)取任意一個值，都 可以求出與其對應的另一個未知數(shù)的值，因此，任何一個二元一次 方程都有無數(shù)多個解.但若對未知數(shù)的取值附加某些條件限制時，方 程的解可能只有有限個.方程與

18、方程組一元一次方程：在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未 知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程。等式兩邊同時加 上或減去或乘以或除以（不為0） 一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數(shù) 系數(shù)化為1。二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都 是1的方程叫做二元一次方程。二元一次方程組：兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次 方程組。適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方 程的一個解。二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程的 解。解二元一次方程組的方法：代入消無法/加減消元法。一元二次方程：只有一

19、個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的最高系數(shù)為 2的方程1）一元二次方程的二次函數(shù)的關(guān)系大家己經(jīng)學過二次函數(shù)（即拋物線）了，對他也有很深的了解， 好像解法，在圖象中表示等等，其實一元二次方程也可以用二次函 數(shù)來表示，其實一元二次方程也是二次函數(shù)的一個特殊情況，就是 當Y的0的時候就構(gòu)成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐標 系中表示出來，一元二次方程就是二次函數(shù)中，圖象與X軸的交點。 也就是該方程的解了2） 一元二次方程的解法大家知道，二次函數(shù)有頂點式Jb/2a,4ac-b2/4a）,這大家要 記住，很重要，因為在上面已經(jīng)說過了，一元二次方程也是二次函 數(shù)的一部分，所以他也有自己的一個解法，利用他可以求

20、出所有的 一元一次方程的解(1)配方法利用配方，使方程變?yōu)橥耆椒焦?，在用直接開平方法去求出 解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的 時候也一樣，利用這點，把方程化為幾個乘積的形式去解(3)公式法這方法也可以是在解一元二次方程的萬能方法了，方程的根 Xl=-b+ Jb2-4ac)/2a, X2-b- V b2_4ac)/2a(1)配方法的步驟：先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1,再同時 加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步驟：把方程右邊化為0,然后看看是否能用提取公因式，公式法(這 里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化 為乘積的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項的系數(shù)為a, 一次項的系數(shù)為b,常數(shù)項的系數(shù)為c4)韋達定理利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二次方程中，二根之 和二-b/a,二根之積=c/a也可以表示為xl+x2=-b/a,xlx2=c/a。利用韋達定理，可以求出 一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用5) 一元一次方程根的情況利用根的判