圓與方程知識點(diǎn)整理

1、關(guān)于圓與方程的知識點(diǎn)整理37 / 25、標(biāo)準(zhǔn)方程般方程:22_2_2 一X2y DxEyF0 D2E24F0.221. Ax By Cxy Dx Ey F0表示圓方程則ABC02DA02EF4 AAA B 0C 0 22D 2 E 24 AF 02 .求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法。_ 2_ 23 . D E 4F 0?？捎脕砬笥嘘P(guān)參數(shù)的圍三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外1 .判斷方法：點(diǎn)到圓心的距離 d與半徑r的大?。篸 r 點(diǎn)在圓；d r點(diǎn)在圓上；d r2 .涉與最值：(1)圓外一點(diǎn)B,圓上一動點(diǎn) P,討論P(yáng)B的最值PBBNBC rminPBBMBC rmax(2)圓一點(diǎn)A,圓上一動點(diǎn)P,

2、討論P(yáng)A的最值PA . AN r ACminPA AM r ACmax四、直線與圓的位置關(guān)系只有一個公1 .判斷方法(d為圓心到直線的距離)：(1)相離沒有公共點(diǎn)0 d r ; (2)相切共點(diǎn) 0 d r； (3)相交有兩個公共點(diǎn)0 dr。這一知識點(diǎn)可以出如此題型：告訴你直線與圓相交讓你求有關(guān)參數(shù)的圍2 .直線與圓相切(1)知識要點(diǎn)：基本圖形主要元素：切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程、切線長等問題：直線l與圓C相切意味著什么？ 圓心C到直線l的距離恰好等于半徑 r(2)常見題型一一求過定點(diǎn)的切線方程切線條數(shù)：點(diǎn)在圓外 兩條；點(diǎn)在圓上 一條；點(diǎn)在圓 無求切線方程的方法與注意點(diǎn)、 1- 2- 2 2 上一 _

3、,_.2, 222 2i)點(diǎn)在圓外：如 th 點(diǎn) Pxyo，圓：x a yb r,xayb第一步：設(shè)切線l方程y V0 k x x0 ；第二步：通過d r k,從而得到切線方程特別注意：以上解題步驟僅對k存在有效，當(dāng)k不存在時，應(yīng)補(bǔ)上千萬不要漏了!如：過點(diǎn)P 1,1作圓x2y2 4x 6y 12 。的切線，求切線方程.ii )點(diǎn)在圓上：(1)若點(diǎn)222 .%,丫0在圓x y r上，則切線萬程為 xx22 c(2)若點(diǎn)x0, y0在圓x a y br2上，則切線方程為x aV。由上述分析：過一定點(diǎn)求某圓的切線方程，非常重要的第判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,得出切線的條數(shù)求切線長：利用基本圖形,APCPA

4、P求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個關(guān)系列出兩個方程AC r3.直線與圓相交(1)求弦長與弦長的應(yīng)用問題:垂徑定理與勾股定理一一常用 弦長公式：|.1kxx2), 221 kx1 x24x1x2(2)判斷直線與圓相交的一種特殊方法：直線過定點(diǎn)，而定點(diǎn)恰好在圓(3)關(guān)于點(diǎn)的個數(shù)問題，一一2例：右圓 x 3 y0的距離為1,則半徑r的取值圍是-22,一* ,一，,，一 一5 r上有且僅有兩個點(diǎn)到直線4x 3y 2答案：4,64.直線與圓相離: 五、對稱問題會對直線與圓相離作出判斷(特別是涉與一些參數(shù)時)1.若圓x2y22my0 ,則實(shí)數(shù)m的值為答案：3 (注意:1時,D2E24F 0,故舍去)變式：已知點(diǎn)A是圓

5、C： x2ax4y 5 0上任意一點(diǎn),A點(diǎn)關(guān)于直線x 2y 1 0的對稱點(diǎn)在圓C1關(guān)于直線xy0對稱的曲線方程是上，則實(shí)數(shù)a一22.圓 x 1變式：已知圓21與圓C2 ： x 22y 41關(guān)于直線1對稱，則直線1的方程為23.圓 x 3 y1關(guān)于點(diǎn)2,3對稱的曲線方程是4.已知直線l： y x b與圓C： x2 y2 1,問：是否存在實(shí)數(shù)b使自A 3,3發(fā)出的光線被直線l反射后與24 7圓C相切于點(diǎn)B 24 ?若存在，求出b的值；若不存在，試說明理由.25, 25六、最值問題方法主要有三種：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）代換；（3）參數(shù)方程221.已知實(shí)數(shù)x, y滿足萬程x y 4x 1 0,求：（1

6、）_y_的最大值和最小值；一一看作斜率（2） y x的最小值；一一截距（線性規(guī)劃）x 5（3） x2 y2的最大值和最小值.一一兩點(diǎn)間的距離的平方2 .已知 AOB中，OB 3, OA 4, AB 5,點(diǎn)P是 AOB切圓上一點(diǎn)，求以 PA , PB , PO為直徑的三個圓面積之和的最大值和最小值.數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可!3.設(shè)P x, y為圓x21上的任一點(diǎn)，欲使不等式xy c 0恒成立，則c的取值圍是答案：c J2 1 （數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！）七、圓的參數(shù)方程222x y r r 0八、相關(guān)應(yīng)用x r cosy rsin為參數(shù)；x a 2 y b 2 r2 r 0x a

7、rcos y b rsin為參數(shù)1.若直線 mx 2ny 4 0 ( m, nR）,始終平分圓x2y2 4x 2y 4 0的周長，則 m n的取值圍是3 .已知圓C ： x2 y2 2x 4y 4 0 ,問：是否存在斜率為1的直線l ,使l被圓C截得的弦為AB ,以AB 為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若存在，寫出直線 l的方程，若不存在，說明理由 .提示：x1x2 y1y2 0或弦長公式d 忑k2 |xi x?.答案：*丫10或*丫4 0.22224 .已知圓C： x 3 y 41,點(diǎn)A 0,1 , B 0,1 ,設(shè)P點(diǎn)是圓C上的動點(diǎn)，d | PA | PB ,求d的最值與對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).224 .已知

8、圓 C： x 1 y 225,直線 l： 2m 1 x m 1 y 7m 4 0（m R）（1）證明：不論 m取什么值，直線l與圓C均有兩個交點(diǎn)；（2）求其中弦長最短的直線方程 .5 .若直線yx k與曲線xJ1 y2恰有一個公共點(diǎn),則 k的取值圍.6.已知圓x2y2 x 6ym 0與直線x 2y 3 0交于P , Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù) m ,使OP OQ,若存在，求出m的值；若不存在，說明理由九、圓與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：幾何法（d為圓心距）：（1 ） d r1r2外離（2 ） d r1r2外切（3）r1r2dr1r2相交 （4） dr1r2切（5）dr1r2含2.兩圓

9、公共弦所在直線方程2222圓 G：x yD1xE1y F10,圓 C2 ： x y D2x E2 yF20,則D1D2 xE1E2 y F1F20為兩相交圓公共弦方程.補(bǔ)充說明：若G與C2相切，則表示其中一條公切線方程；若C1與C2相離，則表示連心線的中垂線方程 .3圓系問題2222（1）過兩圓C1： x yDxEyF10和C2： x yD?xE2yF20交點(diǎn)的圓系萬程為2222x y D1x E1y F1x y D2x E2 y F2 0（1）說明：1）上述圓系不包括 C2； 2）當(dāng) 1時，表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程（公共弦）2222_ 過直線Ax By C 0與圓x y Dx Ey F 0交

10、點(diǎn)的圓系方程x y Dx Ey F Ax By C 0（3）兩圓公切線的條數(shù)問題：相切時，有一條公切線；相外切時，有三條公切線；相交時，有兩條公切線；相離時，有四條公切線十、軌跡方程（1）定義法（圓的定義）（2）直接法：通過已知條件直接得出某種等量關(guān)系，利用這種等量關(guān)系，建立起動點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式軌跡方程.例：過圓x2 y2 1外一點(diǎn)A 2,0作圓的割線，求割線被圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程一一222分析：OP AP OA（3）相關(guān)點(diǎn)法（平移轉(zhuǎn)換法）：一點(diǎn)隨另一點(diǎn)的變動而變動特點(diǎn)為：主動點(diǎn)一定在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運(yùn)動例1.如圖，已知定點(diǎn)A 2,0，點(diǎn)Q是圓x2 y2 1上的動點(diǎn)，

11、AOQ的平分線交AQ于M ,當(dāng)Q點(diǎn)在圓上移動時，求動點(diǎn) M的軌跡方程.分析：角平分線定理和定比分點(diǎn)公式.例2.已知圓O： x2 y2 9,點(diǎn)A 3,0 , B、C是圓O上的兩個動點(diǎn)，A、B、C呈逆時針方向排列，且BAC 求3ABC的重心G的軌跡方程.BC為定長且等于343XaXbXc3 xBxC設(shè)G x, y，則取BC的中點(diǎn)為XEXB故由CEXc2yByc2(1)得:法2:（參數(shù)法）XEyA yBycOC3x2設(shè) B 3cos , 3sinC 3cosVbyc3x, yXaXb XcVayByc34,一,，由3 3程,yE3.34XbyBXcyc,3sin2Xe2xe2yE32yBOCyE3

12、3cos 3cos3sin參數(shù)法的本質(zhì)是將動點(diǎn)坐標(biāo)通過參數(shù)的圍得出 x, y（4）求軌跡方程常用到得知識BAC(1)2xe32yE233x 3Xecos3sinsinsin2得：Xx, y中的x和的圍.23一 y20,cos30，23T，1y都用第三個變量（即參數(shù)）表示，通過消參得到動點(diǎn)軌跡方XaXbXcXiX2重心G x, y2Yiy223 中點(diǎn)P x, yYaYbYc3角平分線定理:定比分點(diǎn)公式:韋達(dá)定理.BDCDABACAMMBXmXaXb1YmYa1Yb高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1求過兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2)且圓心在直線y 0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)P(2,4)與

13、圓的關(guān)系.圓的方程為(x 1)2 y2 20；點(diǎn)P在圓外.例2求半徑為4,與圓X2 y2 4x 2y 4 0相切，且和直線y 0相切的圓的方程.圓的方程為(x 2 26)2 (y 4)2 42 ,或(x 2 2v16)2 (y 4)2 42 .例3求經(jīng)過點(diǎn)A(0,5),且與直線x 2y 0和2x y 0都相切的圓的方程.分析：欲確定圓的方程.需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)A,故只需確定圓心坐標(biāo).又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上.解：二,圓和直線x 2y 0與2x y 0相切，圓心C在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線x 2y 0和2x y 0的距離相等.,x

14、2y| |x 2y . .-5. 5兩直線交角的平分線方程是 x 3y 0或3x y 0 .又圓過點(diǎn)A(0,5),圓心C只能在直線3x y 0上.設(shè)圓心C(t, 3t) C到直線2x y0的距離等于AC2t 3t.5忒2 (3t 5)2 .化簡整理得t2 6t 5 0.解得：t 1或t 5圓心是(1,3),半徑為J5或圓心是(5,15),半徑為5屈.所求圓的方程為(x 1)2 (y 3)2 5或(x 5)2 (y 15)2 125.說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程, 這是過定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法.例4、設(shè)圓滿足：(1

15、)截y軸所得弦長為2; (2)被X軸分成兩段弧，其弧長的比為3:1 ,在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線 l: x 2y 0的距離最小的圓的方程.分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.滿足兩個條件的圓有 無數(shù)個，其圓心的集合可看作動點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過求最 小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程.解法一：設(shè)圓心為P(a,b),半徑為r .則P到x軸、y軸的距離分別為b和a .由題設(shè)知：圓截x軸所得劣弧所對的圓心角為 90 ,故圓截x軸所得弦長為 其.22 r 2b又圓截y軸

16、所得弦長為2.22 r a 1 .又 P(a,b)到直線x 2y 0的距離為、522b4b2 4ab4b2 2(a2 b2) a2 1a 2b d1- 5d2 a2a2a2b2當(dāng)且僅當(dāng)a b時取“=”號，此時dmin,5、 a b這時有 o o2b2 a2 1又r2 2b2 2故所求圓的方程為(x 1)2 (y 1)22 或(x 1)2 (y 1)2 2解法二：同解法一，得a 2bla 2bJ5d. a2 4b2 445bd 5d2.將a2 2b2 1代入上式得：2b2 4 J5bd 5d2 1 0.上述方程有實(shí)根，故28(5d1) 0, d 5 一d .5r- .5 將d 代入方程得b 1

17、.5又 2b2 a2 1 a 1 .由a 2b 1知a、b同號.故所求圓的方程為(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 .說明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面積最小呢? 類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例5已知圓O： x2 y2 4,求過點(diǎn)P 2,4與圓O相切的切線.解：二.點(diǎn)P2,4不在圓O上,，切線PT的直線方程可設(shè)為 y k x 24根據(jù)d r2k 4 c 七 21 k2,13解得k x0y0D2x0E2 y0F20 4-3所以y 3 X 2 44即3x 4y 10 0因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在.易求

18、另一條切線為x 2 .說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解.本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）.還可以運(yùn)用x0x y0y r2,求出切點(diǎn)坐標(biāo)x0、y0的值來解決，此時沒有漏解.例 6 兩圓Ci：x2y2DixEiyFi0與Cz：x2y2D?xE2yF20相交于 A、B兩點(diǎn)，求它們的公共弦AB所在直線的方程.分析：首先求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線 AB的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁.為了 避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧.解：設(shè)兩圓G、C2的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為（x0 , y0）,則有:22得：(D D2)

19、x0 (EiE2)y Fi F20.A、B的坐標(biāo)滿足方程（D1D2)x (Ei E2)y Fi F20.xyDi x0Eiy。Fi0 .方程(D D2)x (EiE2）y Fi F2 0是過A、B兩點(diǎn)的直線方程.又過A、B兩點(diǎn)的直線是唯一的.，兩圓Ci、C2的公共弦AB所在直線的方程為（Di D2）x （Ei E2）y Fi F2 0 .說明：上述解法中，巧妙地避開了求 A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是 利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo).從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識容的角度上說， 還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以與對直線方程是一次方程的本

20、質(zhì)認(rèn)識.它的應(yīng)用很廣泛.例7、過圓x2 y2 i外一點(diǎn)M （2,3）,作這個圓的兩條切線 MA、MB ,切點(diǎn)分別是 A、B,求直線AB的方程。練習(xí):1.求過點(diǎn)M(3,1),且與圓(x 1)2 y2 4相切的直線l的方程.解：設(shè)切線方程為 y 1 k(x 3),即kx y 3k 1 0 ,圓心(1,0)到切線l的距離等于半徑 2 ,|k 3k 1|3，切線萬程為y 1(x 3),即3x 4y 13 0,4當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時，其方程為 x 3,圓心(1,0)到此直線的距離等于半徑 2, 故直線x 3也適合題意。所以，所求的直線l的方程是3x 4y 13 0或x 3.225 -2、過坐標(biāo)原

21、點(diǎn)且與圓 x2 y2 4x 2y 0相切的直線的方程為 2解：設(shè)直線方程為 y kx,即kx y 0圓方程可化為(x 2)2 (y 1)2為三10.依題意有Rk 1 110,解得k3或k 1, .直線方程為y2k2 123y5，一一，圓心為(2, -1 ),半徑23x或y1一 x.33、已知直線5x 12y a 0與圓x22x y20相切，則a的值為.解：:圓(x 1)2y2 1的圓心為18.1,0),半徑為1, 15 a 1，解得a 8或a52 122類型三：弦長、弧問題例8、求直線l :3x y 6 0被圓C : x2y2 2x 4y 0截得的弦AB的長.例9、直線 3x y 2 3 0截

22、圓x2y24得的劣弧所對的圓心角為解：依題意得，弦心距 d 73,故弦長AB2“2 d22 ,從而 OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為AOB 一.3例10、求兩圓X2 y2 x y 2 0和x2 y2 5的公共弦長類型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、已知直線 第x y 2庭 0和圓x2 y2 4 ,判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系例12、若直線y x m與曲線y J4 x2有且只有一個公共點(diǎn),數(shù) m的取值圍. 222解：二.曲線y 44 x 表示半圓x y 4(y 0), .利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)m的取值圍是2 m 2或m 2收例13圓(x 3)2 (y 3)2 9上到直線3x 4y

23、11 0的距離為1的點(diǎn)有幾個？分析：借助圖形直觀求解.或先求出直線 11、12的方程，從代數(shù)計算中尋找解答.解法一：圓(x 3)2 (y 3)2 9的圓心為01(3,3),半徑r 3.、3 3 4 3 11設(shè)圓心01到直線3x 4y 11 0的距離為d,則d .-2 2 3.、32 42如圖，在圓心。1同側(cè)，與直線3x 4y 11 0平行且距離為1的直線11與圓有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)符合題意.又 r d 3 2 1.與直線3x 4y 11 0平行的圓的切線的兩個切點(diǎn)中有一個切點(diǎn)也符合題意.，符合題意的點(diǎn)共有 3個.解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線 3x 4y 11 0,且與之距離為1的直線和圓

24、的交點(diǎn). 設(shè)所求直線為3x 4y m 0,則 dm 11_2.2341,m 115,即 m 6,或 m 16,也即1/3x 4y 6 0,或 12：3x 4y 16 0.設(shè)圓 0.(x 3)2 (y 3)29的圓心到直線112的距離為a、d2,則d1 1- 3, d21 32T73 3 4 3 16、32 42li與Oi相切，與圓Oi有一個公共點(diǎn)；12與圓Oi相交，與圓O1有兩個公共點(diǎn).即符合題意的點(diǎn)共3個.說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：3 3 4 3 11設(shè)圓心O1到直線3x 4y 11 0的距離為d ,則d ,-1 2 3.,3242，圓。1到3x 4 y 11 0距離為1的

25、點(diǎn)有兩個.顯然，上述誤解中的 d是圓心到直線3x 4y 11 0的距離，d r,只能說明此直線與圓有兩個交點(diǎn)，而不能說明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1 .到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是 這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn).求直線與圓的公共點(diǎn)個數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心 與直線的距離和半徑的大小比較來判斷.練習(xí)1:直線x y 1與圓x22y 2ay 0 (a 0)沒有公共點(diǎn)，則a的取值圍是a 1解：依題意有a ,解得222 1 a 2 1. . a 0, 0 a 題 1.練習(xí)2：若直線y kx 2與圓(x 2)22(y 3

26、)1有兩個不同的交點(diǎn)，則 k的取值圍是解：依題意有2k 12k 1441 ,解得0 kk的取值圍是(0,).333、 圓x2 y2 2x 4y 3 0上到直線x y 1（A） 1 個（B） 2 個（C） 3 個分析：把x2 y2 2x 4y 3 0化為x 10的距離為我的點(diǎn)共有().(D) 4 個y 2 2 8,圓心為 1, 2 ,半徑為r 272,圓心到直線的距離為 2 ,所以在圓上共有三個點(diǎn)到直線的距離等于,所以選C.4、過點(diǎn)P 3, 4作直線l ,當(dāng)斜率為何值時，直線 l與圓C： x 1 2 y4有公共點(diǎn)，如圖所示.分析：觀察動畫演示，分析思路.解：設(shè)直線l的方程為k 2 3k 4y 4

27、 k x 3即kx y 3k 4 0根據(jù)d r有整理得-23k2 4k 0解得類型五：圓與圓的位置關(guān)系 問題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？例14、判斷圓C1:x22：求與圓x y5外切于點(diǎn)P( 1,2),且半徑為2/5的圓的方程. y2 2x 6y 26 0與圓C2:x2 y2 4x 2y 4 0的位置關(guān)系，例15：圓x2 y2 2x 0和圓x2 y2 4y 0的公切線共有條。解：.圓(x 1)2 y2 1的圓心為Oi(1,0),半徑 1,圓x2 (y 2)2 4的圓心為。2(0, 2),半徑上 2, O1O2I J5,123,211.:21。1。212 ,，兩圓相交.共有 2 條公切線。練

28、習(xí)1 ：若圓x2 y22mxm240與圓x2 y2 2x4my 4m2 8 0相切，則實(shí)數(shù) m的取值集合是.解：:圓(x m)2 y2 4 的圓心為 O1(m,0),半徑1 2 ,圓(x 1)2 (y 2m)2 9 的圓心為 O2 ( 1,2m), 半徑2 3 ,且兩圓相切，. O1O2 r1 r2 或 O1O2 r2 1 , ，(m 1)2 (2m)2 5 或 V(m 1)2 (2m)21,解得m ?或m 2,或m 0或m 5 ,，實(shí)數(shù)m的取值集合是125 一, 一，0, 2.52解：設(shè)所求圓的圓心為Oi(a,b),則所求圓的方程為(x a)2 (y b)2 20 .二兩圓外切于點(diǎn)P ,1O

29、P -OO1 ,( 1,2) -(a,b) , a 3,b 6, .所求圓的方程為(x 3)2 (y 6)2 20.313類型六：圓中的對稱問題例16、圓x2 y2 2x 6y 9 0關(guān)于直線2x y 5 0對稱的圓的方程是例17自點(diǎn)A 3,3發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，反射光線所在的直線與圓C： x2 y2 4x 4y 7 0相切(1)求光線l和反射光線所在的直線方程.(2)光線自A到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程.分析、略解：觀察動畫演示，分析思路.根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為3, 3 ,其次設(shè)過A的圓C的切線方程為y k x 3 3根據(jù)d r,即求出圓C的切線的斜率為43k 或

30、 k 34進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為4x 3y 3 0或 3x 4y 3 0最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于 x軸對稱，求出入射光所在直線方程為4x 3y 3 0 或 3x 4y 3 02光路的距離為 AM ,可由勾股定理求得 AM2CM說明：本題亦可把圓對稱到 x軸下方，再求解.例18:圓x22y 4x 4y 10 0上的點(diǎn)到直線x y 140的最大距離與最小距離的差是類型七：圓中的最值問題解：圓(x2)2(y2)218的圓心為(2,2),半徑r3豆，.圓心到直線的距離d 孚5J2r ,、2，直線與圓相離,二圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是(d r) (d r) 2r 6 2.例

31、19 (1)已知圓Oi：(x 3)2 (y 4)2 1, P(x, y)為圓O上的動點(diǎn)，求d x2 y2的最大、最小值.(2)已知圓O2：(x 2)2 y2 1, P(x, y)為圓上任一點(diǎn).求 匚2的最大、最小值，求x 2y的最大、最 x 1小值.分析：(1)、(2)兩小題都涉與到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決.解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x 3)2 (y 4)2 1 .x 3 cos ,可設(shè)圓的參數(shù)方程為(是參數(shù)).y 4 sin ,貝U dx2y29 6coscos216 8sin sin2_八4 ,一 ，、426 6cos 8sin 26 10cos( )(其中

32、 tan 一). 3所以 dmax 26 10 36, dmin 26 10 16.(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值d1等于圓心到原點(diǎn)的距離 d1加上半徑1,圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值d2等于圓心到原點(diǎn)的距離 d1減去半徑1.所以 d1v32 42 1 6.d2 x-32 42 1 4.所以 dmax 36. dm.16.o ox 2 cos ,(2)(法1)由(x 2)2 y2 1得圓的參數(shù)方程：是參數(shù).y sin ,則包_2令皿_2 tx 1 cos 3 cos 3得 sin tcos 2 3t, J1 t2 sin() 2 3t2sin(3 .333t 44所以tmaxmin即上上的最大值

33、為3-3 ,最小值為3x 144此時 x 2y 2 cos 2sin 2 v15cos( ).所以x 2y的最大值為2 5 ,最小值為 2 J5 .y k 2 0.由于P(x,y)是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時，如圖所示,2k k 2k2兩條切線的斜率分別是最大、最小值.3.34所以y_2的最大值為3-1,最小值為3-3- x 144令x 2y t ,同理兩條切線在 x軸上的截距分別是最大、最小值.,2 mf由 d 1,得 m 2 55 .5所以x 2y的最大值為 2 5 ,最小值為 2 J5 .例20：已知A( 2,0) , B(2,0)，點(diǎn)P在圓(x 3)2 (y 4)2 4上運(yùn)動，則 PA

34、2 PB2 的最小值是.解：設(shè) P(x, y),則 PA2 |PB2 (x 2)2 y2 (x 2)2 y2 2(x2 y2) 8 2OP|2 8 .設(shè)圓心為 C(3,4),22則 OPmin OC r 5 2 3， |PA PB 的最小值為 2 32 8 26.練習(xí)：1：已知點(diǎn)P(x, y)在圓x2 (y 1)2 1上運(yùn)動.(1)求義二的最大值與最小值；(2)求2x y的最大值與最小值. x 2解：(1)設(shè)k,則k表示點(diǎn)P(x, y)與點(diǎn)(2,1)連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時，k取得最大值與x 2- 2k /. 3 v 1-. 3-. 3最小值.由1rL1,解得k的最大值為,最小值為 .k

35、2 13 x 233(2)設(shè)2x y m,則m表示直線2x ym在y軸上的截距.當(dāng)該直線與圓相切時，m取得最大值與最小值.由1,解得 m 1 J5 , 2xy的最大值為1 卮最小值為1 J5.y 2u -的取值圍.x 12設(shè)點(diǎn)P(x, y)是圓x2 y2 1是任一點(diǎn)，求分析一:利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替X、y ,轉(zhuǎn)化為三角問題來解決.解法一:設(shè)圓x2y1 上任一點(diǎn) P(cos , sin )則有Xy sin0,2 )u sinsin21- ucos1u cos sin(u 2).即 u2 1 sin(tanu)sin(u2)又 sin(u 2 u2 1解之得：u分析二：u2的幾何意義是過圓2

36、2x2 y2 1上一動點(diǎn)和定點(diǎn)(1,2)的連線的斜率，利用此直線與圓2y 1有公共點(diǎn)，可確定出 u的取值圍.解法二：由uV21一 22, ,-得：y 2 u(x 1),此直線與圓x y1有公共點(diǎn)，故點(diǎn)(0,0)到直線的距離x 1u 2u2 1,13解得：u 34另外，直線y222 u(x 1)與圓x2 y2 1的公共點(diǎn)還可以這樣來處理:y 2 u(x 1)由 22 消去 y 后得：(u 1)x(2u 4u)x (u 4u 3) 0,x y 1此方程有實(shí)根，故(2u2 4u)2 4(u2 1)(u2 4u 3) 0,13解之得：u 3.4說明：這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量u的

37、圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識來求解.或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便.3、已知點(diǎn)A( 2, 2), B( 2,6), C(4, 2),點(diǎn)P在圓x2 y2 4上運(yùn)動，求PA2 |PB2 |PC2的最大值和最 小值.類型八：軌跡問題1例21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn) M與兩個定點(diǎn)O(0,0), A(3,0)的距離的比為，求點(diǎn)M的軌跡萬程.2例22、已知線段 AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4, 3),端點(diǎn)A在圓(x 1)2 y2 4上運(yùn)動，求線段 AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.例23如圖所示，已知圓O： x2y2 4與y軸的正方向交于 A點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y2上運(yùn)動，過B做圓。的切線，切點(diǎn)為C ,求

38、ABC垂心H的軌跡.分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè) H (x, y),找x, y的關(guān)系非常又t.由于 H點(diǎn)隨B , C點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，可考慮H , B, C三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.BC是切線OC BC , OA OC ,解：設(shè) H(x,y), C(x ,y),連結(jié) AH , CH ,則 AH BC , CH AB , 所以 OC / AH , CH / OA 所以四邊形AOCH是菱形.所以CH | |OA 2 ,得yy 2,x.22又 C(x , y )滿足 x y 4,所以x2 (y 2)2 4(x 0)即是所求軌跡方程.說明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)與菱形的相關(guān)知識.采取代入法求軌跡方程.做

39、題時應(yīng)注意分析 圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時應(yīng)注意分析與動點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法.例24已知圓的方程為x2 y2 r2,圓有定點(diǎn)P(a,b),圓周上有兩個動點(diǎn) A、B,使PA PB ,求矩形APBQ 的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解.解法一：如圖，在矩形APBQ中，連結(jié)AB , PQ交于M ,顯然OM AB, AB PQ ,在直角三角形AOM中，若設(shè)Q(x , y),則M (-a ,)一b).22t222由 OMAMOA ,即W)2 (f 1(x a)2 (y b)2 r2, 224也即x2 y2 2r2 (a2 b2),這便

40、是Q的軌跡方程.2222r , x2y2r22斛法一：設(shè) Q(x,y)、A(x1，yi)、B% , y?),則 x1y12又PQ22r2(x1x2 丫佻).2222(x a) (y b)(x1 x?)(y1 v2又AB與PQ的中點(diǎn)重合，故x a x1 x2 , y b y1 y2,即(x a)2 (y b)2 2r2 2(x1x2 yyz)十，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).這就是所求的軌跡方程.解法三： 設(shè) A(rcos , r sin )、B(rcos , r sin )、Q(x, y),由于APBQ為矩形，故 AB與PQ的中點(diǎn)重合，即有x a r cos r cos ,y b r

41、sin r sin ,又由PA PB有 3nb Lsn-1r cos a r cos a聯(lián)立、消去 、，即可得Q點(diǎn)的軌跡方程為x2 y2 2r2 (a2 b2).說明：本題的條件較多且較隱含，解題時，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題 陷入困境之中.本題給出三種解法. 其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系.而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法.解法二涉與到了x1、x2、y1、y2四個參數(shù)，故需列出五個方程；而解法三中，由于借助了圓x2 y2 r2的參數(shù)方程，只涉與到兩個參數(shù)、，故只需列出三個方程便可. 上述三種解法的共同之處是，利用了圖

42、形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解.練習(xí)：1、由動點(diǎn)P向圓x2 y2 1引兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別為A、B,APB=60,則動點(diǎn)P的軌跡方程是.解：設(shè) P(x, y) . . APB =60,OPA=300. . OA AP , . |OP 2OA 2 , v;x2 y2 2 ,化簡得22一22x y 4, 動點(diǎn)P的軌跡方程是x y 4.練習(xí)鞏固：設(shè) A( c,0), B(c,0)(c 0)為兩定點(diǎn)，動點(diǎn) P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值 a(a 0),求P點(diǎn)的軌跡.解：設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為PAP(x, y).由 HPBa(a 0),得、2x c)c)22y2y化簡得(1 a2)x

43、2(1a2) y2 2c(1 a2 )x c2(1 a2)0.當(dāng)a 1時，化簡得x22c(1 a2)1 a20,整理得(x2 a 2 1c)當(dāng)a 1時，化簡得x 0.所以當(dāng)a 1時，P點(diǎn)的軌跡是以（一_c,0）為圓心，|_2ac_|為半徑的圓; a 1|a 1當(dāng)a 1時，P點(diǎn)的軌跡是y軸.2、已知兩定點(diǎn) A（ 2,0）, B（1,0）,如果動點(diǎn)P滿足PA 2PB ,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的面積等于解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x,y）.由PA 2PB ,得心x 2）2 y224（x 1）2 y2 ,化簡得（x 2）2 y2 4,1MB ,問點(diǎn)M的軌 3.點(diǎn)P的軌跡是以（2, 0）為圓心，2為半徑的圓，所求面

44、積為4 .4、已知定點(diǎn)B（3,0）,點(diǎn)A在圓x2 y2 1上運(yùn)動，M是線段AB上的一點(diǎn)，且AM跡是什么?解：設(shè) M (x, y), A(x1, y1) . AM-MB，.二(x x1，y y1) 313(3 x, y),1、x x13(3 x)1y必 -y 34.x1x 134y -y3點(diǎn)A在圓x2 y2.221 上運(yùn)動，.x1y11 ,(Ox 1)2 (Oy)2 (x 7黃旦，點(diǎn)M的軌跡方程是（x -）2 y2 -916416例5、已知定點(diǎn) B（3,0），點(diǎn)A在圓x2y2 1上運(yùn)動,AOB的平分線交 AB于點(diǎn)M ,則點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程是（x 3）2 y2 . 416練習(xí)鞏固：已知直線y

45、 kx 1與圓x2是.解：設(shè)M （x, y）, A（x1，y）. . OM是 AOB的平分線，.網(wǎng)! !A，AM 1MB.由變式1可得點(diǎn)MMB OB 332y 4相交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形 OAPB ,求點(diǎn)P的軌跡方程解：設(shè)P(x, y) , AB的中點(diǎn)為M . OAPB是平行四邊形，是OP的中點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(I)，2 2且 OM ABy kx i經(jīng)過定占八、C(0,1)OM CM ,OM CM邑中1)(f)2(yi)2 i .點(diǎn)p的軌跡方程是22x (y i) i.類型九：圓的綜合應(yīng)用例25、 已知圓x2 y2x 6y m0與直線x 2y 3 0相交于P、Q兩點(diǎn),O為原點(diǎn)，且OP OQ ,數(shù)m的值.分析：設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi ,必)、(X2, y2),則由k0P kOQX1X2y/20 ,再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.或因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)的直線的斜率為y ,由直線i與圓的方程構(gòu)造以y為未知數(shù)二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出kop koQ的值，從而使問題得以解決.解法一：設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為(xi , yi)、(x2 , y2). 一方面，由 OPkOP kOQi,即打比 xi x21 ,也即：xix2 y1y2 0 .另一方面(xi , yi)、x(x2,