高考數(shù)學(xué)壓軸專題2020-2021備戰(zhàn)高考《平面解析幾何》分類匯編

1、【最新】數(shù)學(xué)高考平面解析幾何專題解析一、選擇題2 ny0在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖形可能是 22 一1 .已知 mn 0,則萬(wàn)程是 mx ny 1與mx()D.方程mx ny2 0即y2mx,表示拋物線，方程 n22mx ny 1 mn 0表不橢圓或雙曲線，當(dāng)m和n同號(hào)時(shí)，拋物線開口向左，方程22mx ny 1 mn 0表不橢圓，無(wú)符合條件的選項(xiàng)，當(dāng) m和n異號(hào)時(shí)，拋物線 y2m22一x開口向右，萬(wàn)程 mx ny 1表不 n雙曲線，故選A.22 .設(shè)D為橢圓x2 1上任意一點(diǎn)，A (0, 2) , B (0, 2),延長(zhǎng)AD至點(diǎn)P,使 5得|PD| =|BD| ,則點(diǎn)P的軌跡方程為()A, x2+(y

2、2)2=20B.x2+(y2)2=5C. x2+(y + 2)2=20D.x2+(y+2)2=5【答案】C【解析】【分析】由題意得PA PD DA DB DA 2、/5 ,從而得到點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，半徑為2，5的圓，進(jìn)而可得其軌跡方程.【詳解】由題意得PA PD DA DB DA ,2又點(diǎn)D為橢圓x2 y 1上任意一點(diǎn)，且A 0, 2 ,B 0,2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，5 DB DA 2 技 |PA 2y5,，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，半徑為2J5的圓，2，點(diǎn)P的軌跡萬(wàn)程為x2y 220 .故選C.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法和橢圓的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的定義得到PA 2展,然后再

3、根據(jù)圓的定義得到所求軌跡，進(jìn)而求出其方程.考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和運(yùn)用，屬 于基礎(chǔ)題.23.已知拋物線C： y I2x的焦點(diǎn)為F, A為C上一點(diǎn)且在第一象限，以 F為圓心， FA為半徑的圓交C的準(zhǔn)線于B, D兩點(diǎn)，且 A, F , B三點(diǎn)共線，則 AF （）A. 16B. 10C. 12D. 8【答案】C【解析】 【分析】根據(jù)題意可知 AD BD ,利用拋物線的定義，可得 ABD 30 ,所以 | AF | |BF | 2 6 12 .【詳解】解：因?yàn)锳, F , B三點(diǎn)共線，所以 AB為圓F的直徑，AD BD1 .由拋物線定義知|AD| | AF | 一 |AB|,所以 ABD 30 ,因?yàn)镕

4、到準(zhǔn)線的距離為6,2所以 |AF | | BF | 2 6 12 .故選：C .【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，拋物線的定義，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.224.已知點(diǎn)P(x, y)是直線2x y 4 0上一動(dòng)點(diǎn)，直線PA,PB是圓C : x2 y 2y 0的兩條切線，A, B為切點(diǎn)，C為圓心，則四邊形 PACB面積的最小值是()A. 2B. 75C 275D. 4【答案】A【解析】圓C:x2 y2 2y 0即x2 (y 1)2 1,表示以C(0,-1)為圓心，以1為半徑的圓。1由于四邊形PACB面積等于2萬(wàn)PA AC PA ,而PA JPC2 1 .故當(dāng)PC最小時(shí)，四邊形 PACB面積最小.又P

5、C的最小值等于圓心 C到直線2x y 40的距離d/d故四邊形PACB面積的最小的最小值為 后3 2,故選A.點(diǎn)睛：直線與圓的位置關(guān)系常用處理方法:(1)直線與圓相切處理時(shí)要利用圓心與切點(diǎn)連線垂直，構(gòu)建直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理可以建立等量關(guān)系；(2)直線與圓相交，利用垂徑定理也可以構(gòu)建直角三角形；(3)直線與圓相離時(shí)，當(dāng)過(guò)圓心作直線垂線時(shí)長(zhǎng)度最小.5.直線y kx 3與圓(x 3)2 (y 2)2 4相交于M, N兩點(diǎn)，若|MN | 2M.則k 的取值范圍是()3 c八 33 c2 cA.,0B, 0, C.,0D.,04433【答案】A【解析】【分析】可通過(guò)將弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為弦心距問(wèn)題，結(jié)合點(diǎn)

6、到直線距離公式和勾股定理進(jìn)行求解【詳解】如圖所示，設(shè)弦 MN中點(diǎn)為D,圓心C(3,2),Q y kx 3 kx y 3 013k 2 3|13k 1|_弦心距 CD f=又 |MN|ffi2V3 |DN | V3DN2?3,. k ( 1),k 111112由勾股定理可得 DN2 CN2 CD22213k 1|3,k2 113k 工轟 1 |3k 1| Jk2 1(3k 1)2蒯k2 1 k(4k 3) 03蒯k 0k2 14答案選A【點(diǎn)睛】圓與直線的位置關(guān)系解題思路常從兩點(diǎn)入手：弦心距、勾股定理。處理過(guò)程中，直線需化 成一般式6.已知P是雙曲線C上一點(diǎn)，E,F2分別是C的左、右焦點(diǎn)，若 PF

7、1F2是一個(gè)三邊長(zhǎng)成 等差數(shù)列的直角三角形，則雙曲線C的離心率的最小值為()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】設(shè)直角三角形三邊分別為 3x,4x,5x,分2c 3x, 2c 4x和2c 5x三種情況考慮，即 可算得雙曲線離心率的最小值 .【詳解】如圖，易知該直角三角形三邊可設(shè)為3x,4x,5x.2c若 2c3x ,則 2a5x4xx ,得 e若 2c4x ,則 2a5x3x2x,得 e若 2c5x ,則 2a4x3xx ,得 e故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想2a2c2a2c2a3;2;5.7.已知直線y kx k 0與雙曲線2

8、-yy1 a 0, bb20交于A,B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)ABF的面積為A. &【答案】D【解析】【分析】B. J3C. 24a2,則雙曲線的離心率為D.5通過(guò)雙曲線和圓的對(duì)稱性，將ABF的面積轉(zhuǎn)化為 FBF的面積；利用焦點(diǎn)三角形面積公式可以建立a與b的關(guān)系，從而推導(dǎo)出離心率【詳解】F為雙曲線的左焦點(diǎn)90o根據(jù)雙曲線、圓的對(duì)稱性可知：四邊形AFBF為矩形S ABF又 S FBFe2 5二 SAFBFS FBF2b-o b2 4a2,可得:tan 45e 522c 5a本題正確選項(xiàng)：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率求解，離心率問(wèn)題的求解關(guān)鍵在于構(gòu)造出關(guān)于 從而配湊出離心率

9、的形式.a,c的齊次方程,28.過(guò)拋物線xuuu uur AF 3FB ，則12y的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn) A、B ,BC交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn) C ,若A. 4【答案】D【解析】【分析】B.4、. 3C. 6D. 8作出圖象，作BMCP,AN CP ,BH AN ,設(shè) BFx ,根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得BMBFHNx,ANAF3x ,進(jìn)而得到sin-1 ，一 .ACN 一，則可求出x的 2值，進(jìn)而得到 BC的值.【詳解】作 BM CP, ANCP, BHAN ,如圖,T5， uuu 因?yàn)锳F3FB，不妨設(shè)BF根據(jù)拋物線的定義可得BM則AHANHN3x所以sinABHsinACN則CFCBBFx ,

10、所以AFBFHNx,3 BFAN3x, ABAF3xFPP 6,AHAB|1一,則 CF 22FP 12,CB3x 12,所以x 4,則 BC2x 8,故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),涉及拋物線定義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.9.已知點(diǎn)P在拋物線 和取得最小值時(shí)，點(diǎn)2一 .y 4x上，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為()P到點(diǎn)Q(2,1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之A. (1,1)4【答案】A【解析】【分析】【詳解】1B. (4, 1)C. (1,2)D. (1, 2)試題分析：拋物線4x焦點(diǎn)為F (1,0),準(zhǔn)線為x 1 ,作PQ垂直于準(zhǔn)線，垂足為M根據(jù)拋物線定義:,PQ PF PQPM

11、 ,根據(jù)三角形兩邊距離之和大于第三邊,直角三角形斜邊大于直角邊知：PQ PM的最小值是點(diǎn)Q到拋物線準(zhǔn)線x 1的距離;所以點(diǎn)P縱坐標(biāo)為1,則橫坐標(biāo)為,gp (- ,1),故選A44考點(diǎn)：拋物線的定義及幾何性質(zhì)的運(yùn)用10.已知橢圓Cix22x2一 y 1 ,雙曲線C2 : -y13a22 y b21(a,b 0),若以Ci的長(zhǎng)軸為直徑的圓與C2的一條漸近線交于 a、B兩點(diǎn)，且橢圓C1與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段 AB三等分，則C2的離心率是()B. 3C.D. 5由已知得OAy kx kO,xo 0 ,可設(shè) A(x0,kxo),進(jìn)rH少可得,1k2x0.13kk2AB的一個(gè)三分點(diǎn)坐標(biāo)為,13、行k3、

12、,1 k2，3 .1 k2，該點(diǎn)在橢圓上,，行2J k2131 k2_ 2-21 13k9 1 k4 2,b2 a22a b2a【方法點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及橢圓的離心率,屬于難題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：直接求出a,c,從而求出e；構(gòu)造a,c的齊次式，求出e；采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解；根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.2211.已知

13、P是雙曲線勺1(aa 80)上一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為左、右焦點(diǎn)，且 PF1a 4”是 “PF217”的()A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件C.充分必要條件【答案】B【解析】化簡(jiǎn)彳#到PF2 2a 9或PF2 92a,故當(dāng) a 4時(shí)，PF2 17或 PF2 1;當(dāng)PF217時(shí)，a 4,得到答案【詳解】22P是雙曲線勺 L i(a 0)上一點(diǎn)，E,F2為左、右焦點(diǎn)，且 PFi 9,a 8則 PF2 2a 9或 PF29 2a,當(dāng) a 4時(shí)，PF2 17或|PF2 1；當(dāng) |PF2 17時(shí)，a 4.故a 4”是“PF217”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了必

14、要不充分條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.2212.在圓M ： x y 4x 4y 1 0中，過(guò)點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為 AC和BD,則四邊形ABCD的面積為()A. 6B. 12C. 24D. 36【答案】B【解析】【分析】先將圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得到其圓心坐標(biāo)與半徑，再結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得AC?BD的值,進(jìn)而求出答案.【詳解】圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x 2)2 (y 2)2 9,其圓心為M (2,2)，半徑r 3,過(guò)點(diǎn)E最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是直徑，故AC 6,最短的弦是與 ME垂直的弦，又ME J4 1 J5,所以 IbD .r2 ME2.95 2,即 BD 4,21 1所以四邊形的面積

15、 S - AC BD 6 4 12,2 2故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交的性質(zhì) ，解題關(guān)鍵是明確 AC和BD的位置關(guān)系，難度不大.、一x2y21 一 .13.已知曲線C的方程為 - 1,現(xiàn)給出下列兩個(gè)命題：p： 0 m 一是曲線2m 1 m2一一 1 一C為雙曲線的充要條件，q： m 一是曲線C為橢圓的充要條件，則下列命題中真命題的2B.A.C. p qD. p q【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件及雙曲線和橢圓定義，分別判定命題P與命題q的真假，進(jìn)而判斷出復(fù)合命題的真假.【詳解】1若曲線C為雙曲線，則m 2m 10 ,可解得0m124 一1若0 m ,則m 2m 10 ,所以

16、命題p為真命題21若曲線C為橢圓，則 m 且 所以命題q為假命題2因而p q為真命題所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，充分必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.MO MT |MO| MF1 TF1MO MF1 TF1pf2 peyoFiOT2 J 2.32 2.3.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓與雙曲線的綜合, 質(zhì).解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用雙曲線的定義，三角形的中位線性15.2 x 已知F1F2分別為雙曲線三 a2 y_ 廬1 a 0,b 0的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn),PF2與x軸垂直,PF1F2302J3,則雙曲線的漸近線方程為（）A.B.2xC.y 2xd. y 3x先求出c的值，再求

17、出點(diǎn)P的坐標(biāo),可得b2,再由已知求得|PFi ,然后根據(jù)雙曲a線的定義可得 b的值，則答案可求.a解：由題意，2c 2用,解得c 、3 , F2c,0，設(shè) P c, y , PF224 1 ,解得y b2b2一,ab2aPF1F2 30 ,PFi2 PF2由雙曲線定義可得:2b2aPFi.雙曲線的漸近線方程為PF2b2【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求解，難度一般.求解雙曲線的漸近線方程，可通過(guò)找到a,b,c中任意兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解16.過(guò)坐標(biāo)軸上的點(diǎn) M且傾斜角為60。的直線被圓x2 y2 4y 0所截得的弦長(zhǎng)為2J3,則符合條件的點(diǎn) M的個(gè)數(shù)為（）A. 1【答案】CB. 2C. 3

18、D. 4設(shè)出直線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離建立等量關(guān)系求解【詳解】由直線的斜率為k tan60J3,設(shè)直線的方程為 yJ3x b.圓x2 y2 4y 0可化為x2 （y 2）2 4,圓心為（0, 2）,半徑為r = 2,則由弦長(zhǎng)公式得：圓心（0,2）到直線yJ3x b的距離為d Jr2LJ22遞 1，即| 2 b| 1,解得b 0, b 4,故直線的方程為 y J3x或y J3x 4.2直線y J3x過(guò)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)（0,0）,直線yJ3x 4過(guò)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)0,4與,故點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為3.故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式將弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解1

19、7.雙曲線定位法是通過(guò)測(cè)定待定點(diǎn)到至少三個(gè)已知點(diǎn)的兩個(gè)距離差所進(jìn)行的一種無(wú)線電 定位.通過(guò)船（待定點(diǎn)）接收到三個(gè)發(fā)射臺(tái)的電磁波的時(shí)間差計(jì)算出距離差，兩個(gè)距離差即 可形成兩條位置雙曲線，兩者相交便可確定船位.我們來(lái)看一種簡(jiǎn)單的 特殊”狀況；如圖所示，已知三個(gè)發(fā)射臺(tái)分別為 A, B, C且剛好三點(diǎn)共線，已知 AB 34海里，AC 20海里，現(xiàn)以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)， AB所在直線為x軸建系.現(xiàn)根據(jù)船P接收到C點(diǎn)與A點(diǎn)發(fā)22出的電磁波的時(shí)間差計(jì)算出距離差，得知船P在雙曲線 x 27 y 1的左支上，根3664據(jù)船P接收到A臺(tái)和B臺(tái)電磁波的時(shí)間差，計(jì)算出船P到B發(fā)射臺(tái)的距離比到 A發(fā)射臺(tái)的距離遠(yuǎn)30海里，

20、則點(diǎn)P的坐標(biāo)（單位：海里）為（） ；9032 不13532 2A. 一, B. ,777732一C.17, D. 45, 16/【答案】B【解析】【分析】22設(shè)由船P到B臺(tái)和到A臺(tái)的距離差確定的雙曲線方程為與 4a b1 x a ,根據(jù)雙曲線的定義得出a 15,再得出由船P到B臺(tái)和到A臺(tái)的距離差所確定的雙曲線為221 x 15 ,與雙曲線225 64【詳解】x 27 2362y- 1聯(lián)立，即可得出點(diǎn)p坐標(biāo).64設(shè)由船P到B臺(tái)和到A臺(tái)的距離差確定的雙曲線方程為22x y .1 x a a2b2由于船P到B臺(tái)和到A臺(tái)的距離差為30海里，故a15,又 c=17,故 b 8故由船P到B臺(tái)和到A臺(tái)的距離

21、差所確定的雙曲線為2x2252y641 x 152x 27聯(lián)立 362x2252y6421 x 2164,解得P 171 x 153227故選：B【點(diǎn)睛】 本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用，屬于中檔題2218.過(guò)雙曲線 與與 1 a 0,b 0的右焦點(diǎn)F,作漸近線y x的垂線與雙曲線左 a22a右兩支都相交，則雙曲線離心率e的取值范圍為（）A. 1,2B. 1,V2C.V2,D.2,設(shè)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn) F與漸近線y x垂直的直線為 AF ,根據(jù)垂線與雙曲線左右兩支都 a相交，得AF的斜率要小于雙曲線另一條漸近線的斜率，由此建立關(guān)于a,的不等式，解之可得2 a2,從而可得雙曲線的離心率 e的取值范圍.

22、【詳解】過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn) F作漸近線y ?x垂線，設(shè)垂足為 A, aQ直線為AF與雙曲線左右兩支都相交， 直線AF與漸近線y -x必定有交點(diǎn)B ,a 因此，直線y?x的斜率要小于直線 AF的斜率，aQ漸近線y -x的斜率為一， aaaa直線AF的斜率k一 ,可得一一，a即a,2 a2,可得 c2 2a2 , a 兩邊都除以a2,得e2 2 ,解得e J2，雙曲線離心率e的取值范圍為 應(yīng) ,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有 關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲

23、線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率范圍問(wèn)題應(yīng)先將 e用有關(guān)的一些量表示出來(lái)，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于e的不等式，從而求出 e的范圍.19.已知E, F2分別為雙曲線C:2 y b21(a 0,b 0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn) P是C右支上一點(diǎn),uuv若PF1uuvPF2 0 ,且 cosPF1F24一,則C的離心率為()525A.7【答案】 【解析】 【分析】B. 4C. 5r 5D.7在PF1F2 中,【詳解】求出PFi, PF2,然后利用雙曲線的定義列式求解.在PF1F2中，因?yàn)閡urPF1unuPF20,所以 F1PF2900,PF1 F1F2 cos PF1F22c則由雙曲線的定義可得 2a P