中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[1]課件

1、中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布主講教師：李金波中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 第三章 二、二、n個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 一、兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 第四節(jié)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1獨(dú)立性是概率論的一個(gè)重要概念，第一章中獨(dú)立性是概率論的一個(gè)重要概念，第一章中， 若若 P ABP A P B則稱則稱 A、B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立。其意義是其中一個(gè)出現(xiàn)，不影。其意義是其中一個(gè)出現(xiàn)，不影響另一個(gè)出現(xiàn)的概率。響另一個(gè)出現(xiàn)的概率。在研究二維隨機(jī)變量時(shí)，其中一個(gè)取值對(duì)另

2、一個(gè)在研究二維隨機(jī)變量時(shí)，其中一個(gè)取值對(duì)另一個(gè)取值的概率是否有影響？取值的概率是否有影響？中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1均有均有),(YXyx, P Xx YyP Xx P YyXY與一、兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義定義1 1 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量對(duì)任意的實(shí)數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)成立，則稱隨機(jī)變量成立，則稱隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。若記若記yYBxXA則則 BPAPABp成立，成立，可見可見 X，Y 相互獨(dú)立的定義與兩個(gè)事件相互相互獨(dú)立的定義與兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義是一致的。獨(dú)立的定義是一致的。下面我們尋找判斷下面我們尋找判斷X，Y 相互獨(dú)立的辦法：相互獨(dú)立的辦法

3、：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1價(jià)于對(duì)任意實(shí)數(shù)價(jià)于對(duì)任意實(shí)數(shù)),(yxF)(, )(yFxFYXyx,)()(),(yFxFyxFYX設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)分的分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)分別為別為和和有有.若若是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量，則，則的充分必要條件是：的充分必要條件是：,jijiyYPxXPyYxXP即即,1,2,i jijpp pi j),(YXXY與，則，則相互獨(dú)立等相互獨(dú)立等),(YXXY與相互獨(dú)立相互獨(dú)立.若若是是連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量，則，則的充分必要條件是：的充分必要條件是：),(YXXY與相互獨(dú)立相互獨(dú)立中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1)()

4、(),(yfxfyxfYX幾乎處處成立，即在平面上除去幾乎處處成立，即在平面上除去“面積面積”為零的集合之為零的集合之外處處成立。外處處成立。結(jié)論：結(jié)論：XY與獨(dú)立時(shí)，由邊緣分布能夠唯一確定聯(lián)合獨(dú)立時(shí)，由邊緣分布能夠唯一確定聯(lián)合分布。分布。例例1 1 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量),(YX的分布律為下圖，問(wèn)的分布律為下圖，問(wèn)XY與是否相互獨(dú)立？是否相互獨(dú)立？YX0025/925/425/61125/6中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1解解 由已知的由已知的XY與的聯(lián)合分布律求其邊緣分布律為的聯(lián)合分布律求其邊緣分布律為YX0ip025/925/425/65/35/21jp1125/65/35/20053

5、532590, 0YPXPYXP1052532561, 0YPXPYXP0153522560, 1YPXPYXP由于由于中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)11152522541, 1YPXPYXP因此因此XY與相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。例例2 2 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量),(YX的分布律為下圖，問(wèn)的分布律為下圖，問(wèn)XY與是否相互獨(dú)立？是否相互獨(dú)立？YX0ip06/205/35/21jp115/35/22/206/206/20解解 由已知的由已知的XY與的聯(lián)合分布律求其邊緣分布律為的聯(lián)合分布律求其邊緣分布律為中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)16330,00 02055P XYP XP Y因此因此XY與不相互獨(dú)

6、立。不相互獨(dú)立。注：注：只要有一個(gè)不成立就不獨(dú)立。只要有一個(gè)不成立就不獨(dú)立。例例3 3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XY與相互獨(dú)立，試確定相互獨(dú)立，試確定 a,b,c 的值？的值？YXajp1/3b1/91/9ip1x2x3xc1/9a1/9b1/3c1/9 1/3 b 1/9ac12y1y中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1XY與因?yàn)橐驗(yàn)橄嗷オ?dú)立相互獨(dú)立所以所以2222pp p1112()()9939bbbb1212pp p11111()()99398aba又由歸一性得又由歸一性得1111()()19936acbc中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1其它, 0, 10, 10,4),(yxyxyxf),(YX例

7、例4 4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為的概率密度為試問(wèn)試問(wèn)X與與Y是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立? ?),(YXxdyxydyyxfxfX24),()(1010 xX其它, 0, 10,2)(xxxfX解解 因?yàn)橐驗(yàn)殛P(guān)于關(guān)于的邊緣概率密度的邊緣概率密度其它, 0, 10,2)(yyyfY中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1(, )( )( )XYf xyfx fy均有均有故故X與與Y是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。顯然，對(duì)任意的實(shí)數(shù)顯然，對(duì)任意的實(shí)數(shù)yx,例例5.（約會(huì)問(wèn)題）張三與李四決定在老地方相會(huì)，他們（約會(huì)問(wèn)題）張三與李四決定在老地方相會(huì)，他們?cè)谕砩显谕砩?:007:30之間各自隨機(jī)到達(dá)，求：之間各

8、自隨機(jī)到達(dá)，求： 先到若等待先到若等待5分鐘以上的概率；分鐘以上的概率； 兩人在兩人在5分鐘之內(nèi)能見面的概率。分鐘之內(nèi)能見面的概率。解解 以以7:00為起點(diǎn)為起點(diǎn)0，以分為單位。，以分為單位。設(shè)張三到達(dá)的時(shí)間為設(shè)張三到達(dá)的時(shí)間為X ；李四到達(dá)的時(shí)間為；李四到達(dá)的時(shí)間為Y，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1則則X、Y都是服從都是服從0,30上的均勻分布的隨機(jī)變量，且上的均勻分布的隨機(jī)變量，且X與與Y是相互獨(dú)立的，所以是相互獨(dú)立的，所以1/30,030,( )0,.Xxfxothers1/30,030,( )0,.Yyfyothers0301/900,( , )( )( )030,0,.XYxf x

9、yfxfyyothers 所求概率為所求概率為55P XYP YX525 30 xy501G2 5P XY（對(duì)稱性）（對(duì)稱性）中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1 所求概率為所求概率為55P XYP YX2 5P XY（對(duì)稱性）（對(duì)稱性）1:52( , )G xyf x y dxdy 112900Gdxdy12900GS2212525900 236 所求概率為所求概率為| 5PXY211190036GS525 30 xy501G2G2511(1)3636or 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1),(222121N試證試證 與與 互獨(dú)立的充分必要條件是互獨(dú)立的充分必要條件是 YX 0),(YX例例6.6.

10、 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布二、二、n個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性（自學(xué)）參個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性（自學(xué)）參93頁(yè)頁(yè) 定理定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量12(,)mX XX12( ,)nY YY和相互相互獨(dú)立，獨(dú)立，h , g 是連續(xù)函數(shù)，則隨機(jī)變量是連續(xù)函數(shù)，則隨機(jī)變量12(,)mh X XX12( ,)ng Y YY和也相互獨(dú)立。也相互獨(dú)立。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 第三章 一、二維離散型一、二維離散型r.v的函數(shù)的分布的函數(shù)的分布 第五節(jié)二、二維連續(xù)型二、二維連續(xù)型r.v的函數(shù)的分布的函數(shù)的分布 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1一、二維離散型隨機(jī)變量的

11、函數(shù)的分布一、二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量),(YX的分布律為的分布律為,2,1,jipyYxXPjiji設(shè)設(shè)),(yxgz 為二元函數(shù)，因?yàn)闉槎瘮?shù)，因?yàn)?,(YX是離散是離散的，故的，故(, )Zg X Y也是離散型隨機(jī)變量，現(xiàn)在也是離散型隨機(jī)變量，現(xiàn)在求求(, )Zg X Y的分布律。的分布律。jiyYxX,),(jiyxgz jijipyxgZP),(, 2 , 1,ji當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，Z 相應(yīng)的值為相應(yīng)的值為且有且有中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1例例1 假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量( X , Y )的分布律為的分布律為10107. 028. 015. 0

12、209. 022. 019. 0YX1分別求分別求123,ZXY ZXY ZX Y的分布的分布律，并判斷律，并判斷12ZZ和是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？解解10,1,2,3ZR 且且100P ZP XY1,10.07P XY 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1ijp07. 028. 015. 009. 022. 019. 0),(YX) 1, 1 ( )0, 1 () 1 , 1 () 1, 2( )0, 2() 1 , 2(YXZ1121YXZ23XYZ 312012021012123同理可得下表同理可得下表化簡(jiǎn)整理，得各函數(shù)的分布律為：化簡(jiǎn)整理，得各函數(shù)的分布律為：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1XYZ

13、 321012kp07. 009. 050. 019. 015. 0YXZ2347. 0210kp15. 029. 009. 0YXZ137. 007. 019. 037. 0kp0123中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1120,00P ZZ因?yàn)橐驗(yàn)?2000.07 0.15P ZP Z而而12ZZ和不相互獨(dú)立。不相互獨(dú)立。故故例例2 假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量 X 與與 Y 相互獨(dú)立，它們分別相互獨(dú)立，它們分別服從參數(shù)為服從參數(shù)為12和的泊松分布。求的泊松分布。求ZXY的分布律。的分布律。解解 由題意可知由題意可知0,1,2,ZR 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1111111,0 ,1 ,2,!kP

14、 Xkekk222222,0 ,1 ,2,!kP YkekkP ZiP XYi故故0ikP XkP Yik 0,0P XYiP Xi Y0,ikP XkYik 由獨(dú)由獨(dú)立性立性中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)121!)(!201ekiekkiikk12()1201!iki kkieikik 12()12()!iei,2 ,1 ,0i)(21YXZ12()1201!ikki kikeCi 故故泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1思考：思考：108頁(yè)的頁(yè)的27題，二項(xiàng)分布也具有可加性。題，二項(xiàng)分布也具有可加性?；蚍诺降谒恼略僮??；蚍诺降谒恼略僮?。二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函

15、數(shù)的分布二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：已知已知( X , Y )的聯(lián)合分布，的聯(lián)合分布，求求Z = g ( X , Y )的分布。的分布。只討論兩種比較常見的函數(shù)：只討論兩種比較常見的函數(shù)：ZXY.max(,) ,MX Y min(,)NX Y 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.ZXY的分布的分布引例引例.（一般情況的推導(dǎo)）（一般情況的推導(dǎo)）已知已知( X , Y )的概率密的概率密( , )f x yZXY ，求求的的概概率率密密度度。度為度為解解ZXY的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為( )ZFzP ZzP XYz :( , )G xy zf x y dxdy將以上二重積分化成累次積

16、分將以上二重積分化成累次積分中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1xyzyx0( )( , )z yZFzdyf x y dx(, )x u yzdyf uy y du ( )(, )( )ZzZFzf uy y dyfduz (, )f zy y dy由由X與與Y的對(duì)稱性又可得的對(duì)稱性又可得中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1( )( ,)Zfzf x zx dx特別地特別地,當(dāng)當(dāng)X 與與Y 相互獨(dú)立時(shí)相互獨(dú)立時(shí),有有( )()( )ZXYfzfzyfy dy( )( )()ZXYfzfxfzx dx上式稱為上式稱為XYff與的的卷積公式卷積公式 ,記為記為XYff中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1例例3 假

17、設(shè)假設(shè) X 和和Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布布(0,1)ZNZXYf，求的概率密度(z)。解解 由題意可知由題意可知X 與與Y 的概率密度分別為的概率密度分別為221( ),2xXfxexp-=- + 221( ),2yYfyeyp-=- + 由卷積公式可得由卷積公式可得 Z 的概率密度為的概率密度為中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1( )( )()ZXYfzfx fzx dx+ - =-22() 212xzxedxp+-+ - =2222212xzzxxedxp+-+ - =22()4212zzxeedxp+ - =中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1222412zt

18、xzteedt 221(1)2xedx2412ze222( 2)122ze故故( 0, 2)ZXYN中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1例例4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 和和Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)且都服從正態(tài)分布分布2( ,)ZNZXYf ，求的概率密度(z)。解解 由題意可知由題意可知X 與與Y 的概率密度分別為的概率密度分別為22()21( ),2xXfxexmsps-=- + 22()21( ),2yYfyeymsps-=- + 由卷積公式可得由卷積公式可得 Z 的概率密度為的概率密度為中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1( )( )()ZXYfzfx fzx dx+ - =-222()

19、() 2212xzxedxmmsps-+- -+ - =222(2) 2212tztt xedt 22222()() 22212zztedt中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)12222121 (2 )2()2222112 ( / 2)2 ( 2 )zzteedt 22)2(2)2()2(21ze2222(2 )12()22( 2 )2(/ 2)112 ( 2 )2 ( / 2)zzteedt 故故2(2 ,2)ZXYN中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1定理定理 正態(tài)分布的可加性正態(tài)分布的可加性（以上結(jié)果可以推廣到（以上結(jié)果可以推廣到一般情況）一般情況）nXXX,21若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，并且相互

20、獨(dú)立，并且),(2kkkNX(1 , 2 ,)kn),(12211nkkknkkknkkkNXZ,則則其中其中為常數(shù)。為常數(shù)。k中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1例例5 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量( X ,Y )的概率密度為的概率密度為ZZXYf求的概率密度(z);,0,( , )0,.yexyf x yothers 求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 X 的概率密度的概率密度 求概率求概率( )Xfx ;1P XY。解解 ZXY的概率密度為的概率密度為( )(, )Zfzf zy y dy中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1zy2zyzy,0,( , )0,.yexyf x yothers0 xy由由0zyy2yzy如右

21、圖如右圖當(dāng)當(dāng)0z 時(shí)，時(shí)，/2( )zyZzfze dy/2zzee當(dāng)當(dāng)0z 時(shí)，時(shí)，( )0Zfz 所以所以/2,0,( )0,0.zzZeezfzz中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1( )( )()ZXYfzfxfzx dx或用另一個(gè)公式或用另一個(gè)公式同樣可解出來(lái)，但注意圖形坐標(biāo)是關(guān)于同樣可解出來(lái)，但注意圖形坐標(biāo)是關(guān)于 z 和和 x 的。的。 關(guān)于關(guān)于 X 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為( )( , )Xfxf x y dyxyxy,0,0,0.yxxeexx中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)11P XY由由式可得式可得1P Z1( )Zfz dz/2,0,( )0,0.zzZeezfzz1/20

22、()zzeedz1/2112ee 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1例例6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X ,Y 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，X 服從區(qū)間服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布，上的均勻分布，Y 服從服從1的指數(shù)分布，試求隨的指數(shù)分布，試求隨機(jī)變量機(jī)變量 Z=X+Y 的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。解解（方法一）（方法一）由題意可知，用卷積公式由題意可知，用卷積公式 其它0101xxfX 000yyeyfyY則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 Z=X+Y 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 dxxzfxfzfYXZ中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1，若0z 0zfZ，若10 z ,dxxzfxfzfYXZ0, 10 xzx ()01zz x

23、Zfzedxze1zxzdxee0，若1z 1()0z xZfzedxzzee110zxee dx其中其中即即01,xzx(如右圖如右圖)110 xzxz中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)110,0,( )1,01,1.zZzzzfzezeez 綜上所述隨機(jī)變量綜上所述隨機(jī)變量 Z=X+Y 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為（方法二）用分布函數(shù)法（方法二）用分布函數(shù)法由獨(dú)立性可知由獨(dú)立性可知,01,0,0,.yexyf x yothers中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1 先求隨機(jī)變量先求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布函數(shù)的分布函數(shù)( )( , )Zx y zFzP XYzf x y dxdy xy11zzxyz1

24、xy當(dāng)當(dāng)0z 時(shí)，時(shí)，( )0ZFz 當(dāng)當(dāng)01z時(shí)，時(shí)，00( )zz xyZFzdxe dy0(1)zx zedx1zze 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1xy11zzxyz1xy當(dāng)當(dāng)1z 時(shí)，時(shí)，100( )z xyZFzdxe dy10(1)x zedx11zzee 再對(duì)隨機(jī)變量再對(duì)隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布函數(shù)積分可得的分布函數(shù)積分可得10,0,( )( )1,01,1.zZZzzzfzFzezeez 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.max(,) ,MX Y min(,)NX Y 的分布的分布最大最小分布有廣泛的應(yīng)用：在一個(gè)系統(tǒng)中要最大最小分布有廣泛的應(yīng)用：在一個(gè)系統(tǒng)中要考慮元件組的最

25、大最小壽命；建筑橋梁時(shí)，要考考慮元件組的最大最小壽命；建筑橋梁時(shí)，要考慮使用期內(nèi)洪水最高水位等。這些問(wèn)題的解決對(duì)慮使用期內(nèi)洪水最高水位等。這些問(wèn)題的解決對(duì)經(jīng)濟(jì)建設(shè)是有很大意義的。經(jīng)濟(jì)建設(shè)是有很大意義的。引例引例.（一般情況的推導(dǎo)）（一般情況的推導(dǎo)）已知已知X , Y 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，MN,求和已知已知( )( )XYFxFy和, 且且max(, ) ,MX Ymin(, )NX Y的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1( )max(, )MFzP MzPX Yz 解解max(, )MX Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,P Xz Yz ( )( )XYP XzP YzFzF z

26、( )min(, )NFzPX Yz 1min(, )PX Yz min(, )NX Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為1P XzP Yz 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1( )111NFzP XzP Yz 1 1( )1( )XYFzF z ( )( )( )MXYFzFzF z( )1 1( )1( )NXYFzFzFz 所以所以推廣推廣 當(dāng)當(dāng)12,nXXX獨(dú)立同分布時(shí)，隨機(jī)變量獨(dú)立同分布時(shí)，隨機(jī)變量( )( ) ,inMXFzFz ( )1 1( )inNXFzFz 12max(,),nMXXX12min(,)nNXXX的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1例例7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)

27、變量X 的概率密度為的概率密度為2 ,01,( )0,.xxf xothers 1234,XXXX隨機(jī)變量隨機(jī)變量相互獨(dú)立且與相互獨(dú)立且與X 有相同的有相同的分布分布,試求隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量1234max(,)MXXXX的概率的概率密度和密度和0.5.P M 解解 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為20,0,( )( ),01,1,1.xXxFxf t dtxxx 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)11234max(,)MXXXX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為4( )( ) ,MXFxFx 所以所以M 的概率密度為的概率密度為3( )( )4( )( )MMXfxFxFxf x 78,01,0,.xxothe

28、rs 于是于是0.510.51(0.5)MP MP MF 810.50.9961. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1例例8 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)L 由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)12,L L 備用（當(dāng)系統(tǒng)備用（當(dāng)系統(tǒng)1損壞時(shí)，系統(tǒng)損壞時(shí)，系統(tǒng)2開始工作）。開始工作）。設(shè)設(shè)試求系統(tǒng)試求系統(tǒng) L 的壽命的壽命Z 的概率密度。的概率密度。連結(jié)而成，連接的方式分別為連結(jié)而成，連接的方式分別為 串聯(lián)；串聯(lián)； 并聯(lián)；并聯(lián)；,0,( )0,0.xXexfxx 12,L L的壽命分別為的壽命分別為X ,Y ,并且并且,0,( )0,0.xYeyfyy 解解 由題意可得由題意可得中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

29、1min(, );ZX Y max(, );ZX Y ZXY( )( )xXFxf x dx 0,0,0,0.xxedxxx 1,0,0,0.xexx 1,0,( )0,0.yYeyFyy 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1則則 min( )1(1( )(1( )XYFzFzF z ()1,0,0,0.zezz ()minmin(),0,( )( )0,0.zezfzFzz max( )( )( )XYFzFz Fz (1)(1),0,0,0.zzeezz 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1()max(),0,( )0,0.zzzeeezfzz 0z 時(shí)時(shí)( )()( )XYf zfzy fy dy

30、()0zz yyeedy zyee zy yzG中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)10z 時(shí)時(shí)( )0f z ,0,( )0,0.zyeezf zz 所以所以中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1例例9 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量( X ,Y )的概率密度為的概率密度為3 ,01,0,( , )0,.xxyxf x yothers 試求隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量ZXY的概率密度。的概率密度。解解 xy yxxyz1zG( )ZFzP XYz( , )x y zf x y dxdy 結(jié)合概率密度的非零區(qū)域可得結(jié)合概率密度的非零區(qū)域可得中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)10z 時(shí)時(shí)( )0ZFz 01z時(shí)時(shí)( )3ZGFzxdxdy xy yxxyz1zG10033zxxzx zdxxdydxxdy 33122zz0z 時(shí)時(shí)( )1ZFz 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)130,0,31( ),01,221,1.ZzFzzzzz 所以所以故