二面角問題求解方法大全

1、五法求二面角一、定義法：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱 垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。例1如圖，四棱錐S ABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD , AD 質(zhì)/VDC SD 2 ,點(diǎn) M 在側(cè)棱 SC 上， ABM =60/； /飛(I)證明：M在側(cè)棱SC的中點(diǎn)(II)求二面角S AM B的大 力產(chǎn)小。練習(xí)1如圖，已知四棱錐P-ABCD,底面 ABCD為菱形，PAL平面 ABCD,ABC 60 ,E, F 分別是 BC, PC 的中點(diǎn).(I )證明：AEX

2、PD； ( H )若 H 為 PD 上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為 與 求二面角EAFC的余弦 值.二、二垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直， 那么它也和這條斜線垂直.通常當(dāng)點(diǎn) P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二 面角的大小。AFB例2.如圖，在直四棱柱ABCD-A iBiCiDi中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD , AB=4, BC=CD=2, AA i =2, E、Ee F 分別是棱 AD、 AA1、AB的中點(diǎn)。(i)證明：直線EEi平面FCCi; (2)求二面角B-FCi-C : 的余弦值。Ei練習(xí)2如圖，在四棱錐P AB

3、CD中，底面ABCD是矩形.已知 AB 3,AD 2, PA 2, PD 2短,PAB 60 .(I)證明AD平面PAB；(H)求異面直線PC與AD所成的角的大?。?田)求二面角P BD A的大小.三.補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線 的求二面角題目時(shí)，要將兩平面陟圖形補(bǔ)充完整，使之有明確 的交線(稱為補(bǔ)棱)，然后借助前述的定義法與三垂線法解題。 即當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，一般麻卜味解決例3如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，/ BCD = 60 , E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)AL底面ABCD, FA=2.(I)證明：平面 PBEL平面PAB;(II)求

4、平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小.練習(xí)3已知斜三棱柱ABCAiBiCi的棱長(zhǎng)都是a,側(cè)棱與底面成600的角，側(cè)面 BCCiBi,底面 ABC。(1)求證：ACiBC;(2)求平面ABiCi與平面ABC所成的二面角(銳角)的大小。S寸影四、射影面積法(cosq=飛-)凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式(cos 且)求出二面角的大小。S例4. （2008北京理）如圖，在三棱錐P ABC中，AC BC 2,ACB 90o,AP BP AB , PC AC .(I )求證：PC AB ；(H)求二面角B AP C的大小;PACB

5、練習(xí)4:如圖5, E為正方體ABCD A1B1C1D1的棱CCi的中點(diǎn)，求平面ABiE 和底面AiBiCiDi所成銳角的余弦值.五、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾 何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系, 寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算 解題。例4: （2009天津卷理）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FEAB AD, M 為 EC 的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE= - AD 2（I）求異面直線BF與DE所成的角的大??；（II）證明平面AM

6、D 平面CDE;求二面角A-CD-E的余弦值。練習(xí)5、(2008湖北)如圖，在直三棱柱ABC AB1C1中，平面ABC 側(cè)面AABB1.(I )求證：AB BC ；(H )若直線AC與平面ABC所成的角為，二面角A BC A的大小為，試判斷 與 的大小關(guān)系，并予以證明.二面角大小的求法的歸類分析一、定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn))，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；P例1在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PAL平面ABCD ,PA=AB=a,求二面角B-PC-D的大小。二、三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定

7、理或逆定理作出二面角的平面角；例2在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA，平面ABCD , PA=AB=a, /ABC=30 ,求二面角P-BC-A的大小。平面的交線所成的角即為平面角, 面與棱垂直；由此可知，二面角的平面角所 P在的平三、垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)半例3在四棱錐P-ABC , ABC虛正方形，PL平面ABCD PA=AB=a求B-PC-D的 大小。四、射影法：利用面積射影公式 S射=$原cos ,其中 為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；例4在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PAL平面ABCD , PA= AB

8、 = a,求 平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。五、：對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。例5、在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PAL平面ABCD , PA= AB=a,求平面PBA與平面PDC所成二面角卜的大小。（補(bǔ)形化 為定義法）二面角大小的求法答案定義法：本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S-AM一B中半平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）;在另一半 平面ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF）,這兩條垂線（BF、GF）便 形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面

9、角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角 三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1 （2009全國(guó)卷I理）證略解（II）:利用二面角的定義。在等邊三角形ABM中過點(diǎn)B作BF AM交AM于點(diǎn)F ,則點(diǎn)F為AM的中點(diǎn)，過F點(diǎn)在平面ASM內(nèi)作GFAM , GF 交 AS 于 G,連結(jié) AC,ADC2 AAD5SAS-AC 同 M 是 SC 的中AML SQ GFLAM GF/ AS,又 F 為 AM 的中點(diǎn)，線,點(diǎn)G是AS的中點(diǎn)。則 GFB即為所求二面角.SM 行S的中位GF,ASAAC J6 , 二 AM2,AM AB 2 , ABM 600 ABM 是等邊三角形，BF V3 ,在可中，AG * AB

10、2, GAB 900 , A BG 居4 月cos BFG GF、FB2 2GF FBBG211132 _ 222 一 322-6，.二二面角 S AM. 63B的大/、為arccos（上6）3練習(xí)1 （2008山東）分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證AELAD后推出AE平面APD 使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計(jì)算出各線段 的長(zhǎng)度之后，考慮到運(yùn)用在二面角的棱 AF上找到可計(jì)算二面角的k平面角的頂點(diǎn)S,和兩邊SE與SC,進(jìn)而計(jì)算二面角的余弦值。（答 /i V 案：二面角的余弦值為管）二、三垂線法本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例 c2）過二面角B-FCi-

11、C中半平面BFC上的一已知點(diǎn)B作另一半平面FCiC的垂線,得垂足O;再過該垂足O作棱FCi的垂線，得垂足P,連結(jié)起點(diǎn)與終點(diǎn)得斜線段PB,便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線 PB、垂線BO、射影OP）。再解直角 三角形求二面角的度數(shù)。例2. （2009山東卷理）證（1）略解（2）因?yàn)锳B=4, BC=CD=2,、F 是棱 AB 的中點(diǎn)，所以 BF=BC=CF, BCF為正三角形，取CF的中點(diǎn)。，則OBXCFX 因?yàn)橹彼睦庵?ABCD-A i B iC iD i中,CCi，平面 ABCD,所以CCBO,所以O(shè)BL平面CCiF,過O在 平面CCiF內(nèi)作OP,CiF,垂足為P連接BP則/OPB為二面角

12、B-FCi-C的一個(gè)平面角，在4BCF為正三角形中，ob V3,RtACCiF中，OPFs/CCiFOP OF /. OP i 2 疙，CG *-22-22一 一2一在RtzOPF中，bp vOPTB2 廠 正，npR op盤 .,所以二面角B-FCi-C的余 cos OPB 227BP ,T4 72弦值為7 .尸7練習(xí)2 （2008天津）分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明ADL平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PABL平面ABCD）點(diǎn)P就是二面角P-BD-A的半 平面上的一個(gè)點(diǎn)，于是可過點(diǎn) P作棱BD的垂線，再作平面ABCD勺垂線，于是可形 成三垂線定理四勺斜線與射影內(nèi)容，從而

13、可得本解法。（答案：二面角P BD A的大小為 arctan -39-） 4三.補(bǔ)棱法例3 （2008湖南）分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有 明確的交線，依本法顯然要補(bǔ)充完整（延長(zhǎng) AD、BE相交于 點(diǎn)F,連結(jié)PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個(gè)適合的點(diǎn)形 成二面角的平面角解之。（I ）證略解：（H）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F,連結(jié)PF. 過點(diǎn)A作AHLPB于H,由（I ）知，平面PBEL平面 PAB,所以AHL平面PBE.在 RtABF 中，因?yàn)? BAF=60 ,所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtAFAF中，取PF的中點(diǎn)G,連接AG.則AGLPF.連結(jié)HG,由三垂線定理的逆定理

14、得，PFLHG.所以/ AGH是平面 PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.腰 Rt FAF 中， AG 啦 PA 亞.在 Rt A PAB 中， 2APgABAH_APgAB_22jPB，AP2 AB255 .2.5_所以，在RtAAHG中，sin AGH 空爺叵.故AG 25平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是arcsin，10. 5練習(xí)3提示：本題需要補(bǔ)棱，可過A點(diǎn)作CB的平行線L （答案：所成的二面角為45O）s寸影四、射影面積法（cosq=）S又 PC AC , PC BC .又 ACB 90o,即 AC AP 中點(diǎn) E .連結(jié) BE, CE . Q AB BP

15、, BEBC ,且 AC I PC C , BC 平面 PAC .取AP. Q EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，例4. （2008北京理）分析：本題要求二面角 BAPC的大小，如果利用射影面 積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對(duì)原圖形與射影圖形并分別 求出S原與S射 于是得到下面解法。 解：（I）證略（H） Q AC BC, AP BP, AAPCABPC .CE AP .內(nèi)的射影，于是可求得：AB2 AE2 ACE 是 ABE 在平面 ACPAB BP AP v AC2 CB2 2V2 , BES射 S ace 1AE ?CE 1V2 ? 72 1 , 22S原 S abe

16、1 AE?EB ；、2? 63 ,設(shè)二面角B AP C的大小為，則cos 包S原3 _面角B AP C的大小為arccos 3練習(xí)4:分析 平面ABiE與底面A1B1C1D1交線即二面角的棱沒有給出，要找到二 面角的平面角，則必須先作兩個(gè)平面的交線，這給解題帶來一定的難度?？紤]到三 角形ABiE在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1,從而求得兩個(gè)三角形的面 積即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值為cose ）五、向量法 例4: （2009天津卷理）現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè) AB 1,依題意得B 1,0,0 , C 1,1,

17、0 ,D 0,2,0 ,E 0,1,1, F0,0,1,m 1,1.(I)解:BF2210DE ，1于是cos；BU,DE）萃 4二所以異面直r :BFDE 丫2?、，22線BF與DE所成的角白勺大小為600.(II)證明：由 AM，11,1 , CE1,0,1, AD 0,2,0,可得 cE?aM 0,2 2CE?AD 0.因此，CE AM, CE AD 又 AM AD A,故 CE 平面 AMD .而CE 平面CDE,所以平面 AMD 平面CDE.(山)解：設(shè)平面CDE的法向量為u (x,y, z),則u?CE,于是xz,令x1,可得u(1,1,1).u?DE0.yz0.又由題設(shè)，平面AC

18、D的一個(gè)法向量為v (0,0,1).練習(xí)5、(2008湖北)分析：由已知條件可知：平面 ABB1 A1,平面BO B1,平面ABCF是很容易想到以B點(diǎn)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，并將相關(guān)線段寫成用坐標(biāo) 表示的向量，先求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。(答案：arcsin-,且-,)222222、a c b . a c , a c總之，上述五種二面角求法中，前三種方法可以說是三種增添輔助線的一般規(guī)律，后兩種是兩種不同的解題技巧，考生可選擇使用PA AB1.、 AB=AD=a PA AD PBAB AD aBHPC于H,連結(jié)DH=DHXPC 故 /BHD 為二PBPD , BCPCPDDC PBD PDC ,過PC面角 B-PC-D 的平面角PB=a,BC=a,PC=6aPBBC=S4PBC=1PCBH22則BH= =DH又BD= J2a, ftABHD中由余弦定理，得:cos/ BHD = BH 2 DH 2 RD2 BH DH BD2BH gBD2一.236a 3a a26a 6 a331,又 0/ BHD 兀則/ BHD=2面角B-PC-D