人教版高中數(shù)學必修一《對數(shù)與對數(shù)運算》之《對數(shù)的運算》導學學案

1、第2課時對數(shù)的運算學習目標1.掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，能運用運算性質(zhì)進行對數(shù)的有關計算.2. 了解換底公式,能用換底公式將一般對數(shù)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)知里撞理自主學習知識點一對數(shù)的運算性質(zhì)如果 a>0,且 awl, M>0, N>0.那么：log a(M N)= lOgaM + lOgaN ；M(2)lOg a= lOgaM lOgaN ；(3)logaMn = nlogaM(n R).思考 當 M>0, N>0 時，lOga(M + N)=lOgaM+ lOgaN, lOga(MN)= lOgaM lOgaN 是否成立？答不一定成立.知識點二換底公式lOgab =

2、 lO署(a>0,且 awl; c>0,且 cw 1; b>0). g-知識點三常用結(jié)論由換底公式可以得到以下常用結(jié)論：叱=忘；(2)lOg ab lOg bc lOg ca = 1;(3)lOg an bn= logab；(4)lOg an bm= mlngab;(5)lOg J = _ logS a卜題型探究重點突破題型一利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡、求值例1計算下列各式的值：1 32 4-那莉31g 8+lg245;(2)lg 25+|lg 8+lg 5 X lg 20 + (lg 2) 2解(1)方法一 原式=1(5lg 2 2lg 7)-4X3lg 2+1(2lg 7 +

3、 lg 5) 23 2251=2lg 2-lg 7 2lg 2 + 1g 7 + 2lg 511111=21g 2 + 21g 5 = 2(1g 2 + 1g 5) = 21g 10 = 2.4 24 2 7 5方法一 原式=1g71g 4 + 1g 7y5= 1g 7X4V1= 1gh/2 洞=用小0=2.(2)原式=21g 5+21g 2 +1g 5(21g 2 + 1g 5) + (1g 2)2= 21g 10 +(1g 5 +1g 2產(chǎn)=2+(1g 10)2 = 2+1 = 3.反思與感悟1.對于同底的對數(shù)的化簡，常用方法是“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù).(2) “

4、拆”，將積(商)的對數(shù)拆成對數(shù)的和(差).1g2.對數(shù)式的化簡，求值一般是正用或逆用公式.要養(yǎng)成正用、逆用、變形應用公式的習慣,2+ 1g 5=1在計算對數(shù)值時會經(jīng)常用到，同時注意各部分變形要化到最簡形式跟蹤訓練1計算下列各式的值：(1)(1g 5) 2 + 21g 2 (1g 2)2;1g 3+21g 9 + 31g V27-1gV3(2) 1g 81 1g 27.解 (1)原式=(1g 5)2+1g 2(2 - 1g 2)=(1g 5) 2+ (1 + 1g 5)1g 2= (1g 5)2+1g 2 1g 5+1g 2= (1g 5 +1g 2) 1g5 + 1g 2=1g 5 + 1g

5、2=1. 4911g 3 +41g 3+而1g 3-21g 3(2)原式=41g 3 -31g 3,4,91= 1+5+而2 + log18198 2 a方法二log189=a,18b=5,log185= b.g 3 = n4-3 1g 3 5 .題型二利用換底公式化簡、求值例2計算：(1)1g 20 + 1og1oo25;(2)(1og2125 + 1og425 + 1og85) (1og1258 + 1og254 + 1og52).解(1)1g 20 + 1og 10025 = 1 + 1g 2 + 11g20 =1 + 1g 2 +1g 5=2.(2)(log2l25 + log425

6、+ log85) (log1258 + log254 + log52)=(log 253+log 22 52+ log 23 5) (log 53 23+ log 52 22+log52)一 , 113= (3 + 1 + o)log25 (1 +1 + 1)log52= 3= 13.33反思與感悟 1.在化簡帶有對數(shù)的表達式時，若對數(shù)的底不同，需利用換底公式2.常用的公式有:logab =六等.log bam m.logab logba= 1 , log an b = n logab,跟蹤訓練 2 (1)(log29) (log34)等于() “ 1 -1A. B.' C.2 D.4

7、111(2)log 225 log38 log59=.答案(1)D (2)12解析 (1)(log 29) (log 34) = (log 232) (log 322)= 2log23 (2log32)=4log23 10g32= 4.lg lg 21g “25 8 8 9 9 2lg 5 3lg 2 2lg 3(2)原式=lg 2 lg 3 lg 5=lg 2lg 3lg 5題型三換底公式、對數(shù)運算性質(zhì)的綜合運用例 3 已知 10g189= a,18b=5,求 10g3645.解 方法一 , log189=a,18b=5, .log185=b.于是10g18 5X 9log18 18X2,1

8、0g 184510g364510g1836 a+ b _ a+ b 110g189+ 10g1851 + 10g182十日,10g18 9X5于10g3645=182log18"10g 189+ 10g185 _ a+ b210g1818log189 2 a方法三 log189=a,18b=5,lg 9 = alg 18, lg 5 = blg 18,log 3645 =lg 9X 5 _ lg 9+ lg 5 _ alg 18 + blg 18_182 2lg 18-lg 9 2lg 18-alg 18 一 lg 9a+ b2 a.反思與感悟 1.這類問題一般利用換底公式、對數(shù)的運

9、算性質(zhì)求解2.解題時應觀察要求值與已知式子中底數(shù)與真數(shù)的關系，如18 ,log 182= log 18 9 = 1 log 189.跟蹤訓練 3 已知 10g147= a, 10g145= b,則 10g 3528=后以l.10g1428 10g147 + 1og144 a+210g142解析10g3528 = , U oc= < =7一10g1435 10g147 + 1og145a+b14a+2log14T a+2 1log147a+2 1 a 2-aa+ ba+b a+b題型四利用對數(shù)式與指數(shù)式的互化解題2 1 .例 4 (1)設 3a= 40= 36 ,求-十：的值;a b111

10、,、(2)已知 2x=3y= 5z,且 x+ y + -= 1,求 x, y,乙解 (1)方法一 由 3a=4b=36,得 a=log336, b= log436,由換底公式得 -=log363, 1= log364, ab2 1 1- a+ b= 210g363+ 10g364= 10g3636= 1.方法二 由 3a=4b=36,兩邊取以6為底數(shù)的對數(shù)，得alog 63= blog 64= log 636 = 2,二=10g63, "= "log64= log62, ab 2,21 - a+ b= 10g63+ log 62= log 66= 1.(2)令 2x= 3y

11、= 5z= k(k>0), x=log2k, y= log3k, z= log5k,1 .1 .1 .-=logk2, y=logk3, Z=logk5,由;+ ；+：=1'得 1ogk2+ 1ogk3+ 1ogk5= 1ogk30= 1, .k=30, -x= log230= 1 + log2l5, y= log330= 1 + Iog3l0, z= log530= 1+ log56.反思與感悟1.在對數(shù)式、指數(shù)式的互化運算中，要注意靈活運用定義、性質(zhì)和運算法則,尤其要注意條件和結(jié)論之間的關系，進行正確的相互轉(zhuǎn)化2.對于這類連等式可令其等于k(k>0),然后將指數(shù)式用對數(shù)

12、式表示，再由換底公式就可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對數(shù)，從而使問題得解.跟蹤訓練4 已知3a=5b = M,且1 + 1=2,則M = a b答案 ,15解析 由 3a=5b=M,得 a= 1og 3M , b= 1og 5M , 31 1 .故&+ b= 1ogM3+ 1ogM5= 1ogM15 = 2, .,.m = 15.易錯點忽視對數(shù)的限制條件致誤 例 5 若 lg(xy)+lg(x+2y)= 1g 2 + 1g x+1g y,求y的值.錯解 因為 1g(x- y)+1g(x+ 2y)=1g(x y)(x+2y) = 1g(2xy),所以(x- y)(x+ 2y)= 2xy,即 x

13、2-xy- 2y2= 0,所以(x 2y)(x + y) = 0,所以y= 2或;=1.正解 前同錯解，得y= 2或y=-1.因為x>0, y>0,所以x>0,故舍去x= - 1,所以x= 2. y易錯警示錯誤原因糾錯心得對數(shù)等式中，若含字母參數(shù)，要注意隱含條件，此題應用 x-y>0, x+ 2y>0, x>0, y>0,由此可得x>y>0,得->0,故x 1應舍去.yy多個變量出現(xiàn)在同一個關系式中時， 變量 的取值范圍會受到相互限制，因此應特別 注意變量之間的相關性.跟蹤訓練5已知1g x+lg y=21g(x2y),求1ogj2x

14、的值. y解 由 1g x+ 1g y= 21g(x 2y),得 xy= (x- 2y)2,即 x2 5xy+ 4y2= 0,化為x5+4=0,yx /- =4,y解得y= 1或;=4.x又 x>0, y>0, x2y>0,y>2log 2= log .2 4 = Iog2l6=4.當堂檢測自杳自糾1.若a>0, aw 1, x>0, y>0 , x>y,下列式子正確的個數(shù)為 ()Xlog ax logay = loga(x+ y)； lOgaX log ay = loga(x y)； lOgay=lOgaXTogay； loga(xy) = l

15、OgaX logay.A.0 B.1 C.2 D.3答案 A解析根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)知，這四個式子都不正確.故選A.2.lg 8 + 3lg 5 的值為()A.-3 B. 1 C.1 D.3答案 D解析 lg 8 + 3lg 5 = lg 8 + lg 53 = lg 8 + lg 125 =lg (8 X 125)= lg 1 000 = 3.3 .已知lg a, lg b是方程2x24x+ 1 = 0的兩根，則(lg a)2的值是()A.4 B.3 C.2 D.1答案 C1a cccc1解析 lg a+ lg b= 2, lg a lg b = g, (lg j)2 = (lg a lg b

16、)2= (lg a+ lg b)2 41g a lg b=22-4X- =2.4 .若 logab log3a= 4,則 b 的值為,答案 81解析logab 10g3a|普4=4，所以 lg b = 4lg 3=lg 34,所以 b=34=81.5 .已知 2m=5n=10,則工+1= m n答案 1解析 因為 m=log210, n=log510,所以1n= 10gio2+ 10gio5= lg 10= 1.1 .換底公式可完成不同底數(shù)的對數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化，可正用，逆用；使用的關鍵是恰當選擇底數(shù)，換底的目的是利用對數(shù)的運算性質(zhì)進行對數(shù)式的化簡2 .運用對數(shù)的運算性質(zhì)應注意:(1)在各對數(shù)有意

17、義的前提下才能應用運算性質(zhì)(2)根據(jù)不同的問題選擇公式的正用或逆用.(3)在運算過程中避免出現(xiàn)以下錯誤： lOgaNn=(OgaN)n, lOga(MN)=lOgaM log aN , 10g aM 如gaN= lOga(M 處|).解析原式=10g1 .1L0g91 1= 10g94+ 10g35= 10g32+10g35= 10g310=故選 C.一 5 1g * 2 3 434.已知 1g 2= a, 1g 3 = b,則 10g312 等于（）2a+ b 2a+ b abA. b B. a C.2a+b D.2a+b答案 A尹課時精練 /解疑糾蝎機練檢測解析10g312 =需一21g

18、2 + 1g 3 =1g 32a+bb5.已知x, y為正實數(shù)，則(A21g x+ ig y= 2幻 x+ 21g yC 21g x 1g y= 21g x+ 21g y)B 21g(x+y)= 21g x 21g yD 21g(xy)= 21g x 21g y答案 D解析21g x 21g y = 21g x+ 1g y= 21g(xy).故選 D.6.如果方程(1g x)2(1g 2+1g 3)1g x+1g 21g 3=0 的兩根為 xi, x2,那么 xix2 的值為(B.6A.5C.1g 21g 3D.1g 2 +1g 3答案 B解析 由題意得 1g xi + 1g x2=1g 2

19、+1g 3 = 1g 6,1- xix2= 6.二、填空題7.1g5+ 1g<20的值是 答案 1解析1gq5+1gV20=1g 巾而=1g 10 = 1.8.化簡(1og4 3+ 1og83)(1og 32 + 1og 92) =答案54解析 原式=(汽 +師3)(±+-2)1og24 log 28，v1og23 1og232，535= 61og23 210g23= 4.9 .若 lg 2=a, lg 3 = b,則 10g512 等于答案b+2a1 a解析10g512 = S=1g 3 + 21g 2 = 3.lg 51 lg 21 a-110 .已知函數(shù) f(x)=a1o

20、g2x+ b1og3x+ 2,且 f(俞)=4,則 f(2 016) =答案 0解析 由 f(，) = alog 2blog3 J +2 = 4,2 016) g 2 0162 016得一a1og22 016-b1og32 016=2. a1og22 016+ blog32 016=- 2. .f(2 016) = alog22 016+ blog32 016+2= 2 + 2=0.三、解答題11 .計算下列各式的值:lg 2+ lg 5 lg 8 lg 5-lg 4C .1. 一一(2)lg 5(lg 8 + lg 1 000) + (lg 2 V3)2+ lg 否+ lg 0.06.(1)原式=1 3lg 21 3lg 2lg 5 2lg 2 - 1 - 3lg 2 一(2)原式=lg 5(3lg 2 +3)+3(lg 2)2lg 6 + lg 6-2 =3 lg 5 lg 2 + 3lg 5 + 3lg22 2 =3lg 2(lg 5 + lg 2) + 3lg 5-2= 3lg 2 + 3lg 5-2 = 3(lg 2+lg 5) -2=3-2= 1.12 .(1)求 2(lgV2)2+ lg，2 lg 5 + 7 lg成 2-lg 2+1 的值;(2)若 log2log 3(log 4x) = 0, 10g3log 4(log 2y) = 0, 求x+ y的值.解