二元一次方程解法大全.

1、二元一次方程解法大全1、直接開平方法:直接開平方法就是用直接開平方求解二元一次方程的方法。用直接開平方法解形如 (x-m)2=n(n > 0)的方程，其解為 x= 土根號(hào)下n+m.例 1 解方程(1) (3x+1)2=7 (2) 9x2-24x+16=11(3x-4)2 ,分析：(1)此方程顯然用直接開平方法好做，(2)方程左邊是完全平方式右邊=11>0,所以此方程也可用直接開平方法解。(1) 解：(3x+1)2=7 X (3x+1)2=5 3x+1 = ± (注意不要丟解) x=原方程的解為x1=,x2=(2) 解：9x2-24x+16=11 (3x-4)2=11 3x

2、-4= ± x=原方程的解為x1=,x2=2 .配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a豐0)先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c將二次項(xiàng)系數(shù)化為1: x2+x=-方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左邊成為一個(gè)完全平方式：(x+)2=當(dāng) bA2-4ac > 0 時(shí)，x+= ±x=(這就是求根公式)例2 .用配方法解方程 3xA2-4x-2=0(注：XA2是X的平方)解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊3xA2-4x=2將二次項(xiàng)系數(shù)化為1 : x2-x=方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=

3、直接開平方得：x-= ± x=原方程的解為x1=,x2=.3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式厶=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac> 0 時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù) a,b,c 的值代入求根公式 x=-b ± (bA2-4ac)A(1/2)/(2a),(bA2-4ac>0)就可得到方程的根。例3 .用公式法解方程 2x2-8x=-5解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0 a=2,b=-8,c=5bA2-4ac=(-8)2-4 X 2 X 5=64-40=24>0 x=(-b ± (bA2-4ac)A(1/2)/(2a)原方程的解為x1

4、=,x2=.4因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式 的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4.用因式分解法解下列方程:(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0 6x2+5x-50=0(選學(xué))(4)x2-2 (+)x+4=0(選學(xué))(1)解：(x+3)(x-6)=-8化簡(jiǎn)整理得x2-3x-10=0(方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零)(x-5)(x+2)=0(方程左邊分解因式) x-5=0或x+2=0(轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程 ) x1=

5、5,x2=-2是原方程的解。解：2x2+3x=0x(2x+3)=0(用提公因式法將方程左邊分解因式) x=0或2x+3=0(轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程 ) x1=0, x2=-是原方程的解。注意：有些同學(xué)做這種題目時(shí)容易丟掉x=0這個(gè)解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個(gè)解。(3) 解：6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號(hào)不要出錯(cuò)) 2x-5=0 或 3x+10=0 x1=,x2=-是原方程的解。 解：x2-2(+)x+4=0 (v 4可分解為2 2,二此題可用因式分解法)(x-2)(x-2)=0 x1=2,x2=2是原方程的解。小結(jié)：一般解一元二次方程，最

6、常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能 法)，在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng) 先計(jì)算判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了， 所以 一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。(三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法)。二元一次方

7、程練習(xí)題、判斷1、是方程組的解()2、 方程組的解是方程3x-2y=13的一個(gè)解()3、由兩個(gè)二元一次方程組成方程組一定是二元一次方程組()4、方程組，可以轉(zhuǎn)化為()5、 若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元一次方程，則a 的值為土 1 ()6、若 x+y=0,且 |x|=2，貝U y 的值為 2()7、 方程組有唯一的解，那么m的值為-5()8、 方程組有無數(shù)多個(gè)解()9、 x+y=5且x, y的絕對(duì)值都小于 5的整數(shù)解共有5組()10、 方程組的解是方程 x+5y=3的解，反過來方程x+5y=3的解也是方程組的解()11、若 |a+5|=5 , a+b=1 則 ()1

8、2、在方程4x-3y=7里，如果用x的代數(shù)式表示y，則（）二、選擇：13、任何一個(gè)二元一次方程都有（）（A） 個(gè)解；（B）兩個(gè)解；（C）三個(gè)解；（D）無數(shù)多個(gè)解；14、 一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為6，那么符合條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)有（）（A） 5 個(gè)（B） 6 個(gè)（C） 7 個(gè)（D） 8 個(gè)15、 如果的解都是正數(shù)，那么a的取值范圍是（）（A） a<2；（ B）；（ C）；（ D）；16、關(guān)于x、y的方程組的解是方程 3x+2y=34的一組解，那么 m的值是（）（A） 2；（ B） -1 ； （ C） 1 ； （ D） -2 ；17、在下列方程中，只有一個(gè)解的是（）（A）（ B

9、）（C）（ D）18、 與已知二元一次方程5x-y=2組成的方程組有無數(shù)多個(gè)解的方程是（）（A） 15x-3y=6 （ B） 4x-y=7 （ C） 10x+2y=4 （ D） 20x-4y=319、下列方程組中，是二元一次方程組的是（）（A）（ B）（C）（ D）20、 已知方程組有無數(shù)多個(gè)解，貝Ua、b的值等于（）(A) a=-3,b=-14 (B) a=3,b=-7(C) a=-1,b=9 (D) a=-3,b=1421、若5x-6y=0，且xy豐0，則的值等于()(A)( B)( C 1 ( D) -122、若x、y均為非負(fù)數(shù)，則方程 6x=-7y的解的情況是()(A)無解(B)有唯一

10、一個(gè)解(C)有無數(shù)多個(gè)解(D)不能確定23、 若 |3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，貝U 2x2-3xy 的值是()(A) 14 (B) -4 (C) -12 (D) 1224、已知與都是方程 y=kx+b的解，則k與b的值為()(A), b=-4 (B), b=4(C), b=4 ( D) , b=-4三、填空：x=25、在方程 3x+4y=16 中，當(dāng) x=3 時(shí)，y=，當(dāng) y=-2 時(shí)，若x、y都是正整數(shù)，那么這個(gè)方程的解為 ;26、方程 2x+3y=10 中，當(dāng) 3x-6=0 時(shí)，y=;27、 如果0.4x-0.5y=1.2，那么用含有y的代數(shù)式表示的代數(shù)式是28、若是方程組的

11、解，則；29、 方程|a|+|b|=2的自然數(shù)解是;30、 如果x=1 , y=2滿足方程，那么 a=;31、 已知方程組有無數(shù)多解，則a=, m=32、若方程 x-2y+3z=0，且當(dāng) x=1 時(shí)，y=2，則 z=;33、若 4x+3y+5=0，貝U 3(8y-x)-5(x+6y-2) 的值等于;34、 若x+y=a , x-y=1同時(shí)成立，且x、y都是正整數(shù)，則 a的值為;35、 從方程組中可以知道，x:z= ; y:z= ;36、已知 a-3b=2a+b-15=1，則代數(shù)式 a2-4ab+b2+3 的值為；四、解方程組37、； 38、；39、； 40、；41、； 42、；43、； 44、

12、；45、； 46、；五、解答題：47、 甲、乙兩人在解方程組時(shí)，甲看錯(cuò)了式中的x的系數(shù)，解得；乙看錯(cuò)了方程中的y的系數(shù)，解得，若兩人的計(jì)算都準(zhǔn)確無誤，請(qǐng)寫出這個(gè)方程組，并求出此方程組的解；48、使 x+4y=|a| 成立的 x、y 的值，滿足(2x+y-1)2+|3y-x|=0 ，又 |a|+a=0，求 a 的值；49、代數(shù)式ax2+bx+c中，當(dāng)x=1時(shí)的值是0，在x=2時(shí)的值是3，在x=3時(shí)的值是28, 試求出這個(gè)代數(shù)式；50、要使下列三個(gè)方程組成的方程組有解，求常數(shù) a的值。2x+3y=6-6a， 3x+7y=6-15a， 4x+4y=9a+951、 當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，方程(2b2

13、-18)x=3與方程組都無解；52、 a、b、c 取什么數(shù)值時(shí)，x3-ax2+bx+c 程(x-1)(x-2)(x-3) 恒等？53、m取什么整數(shù)值時(shí)，方程組的解：(1)是正數(shù);（2）是正整數(shù)？并求它的所有正整數(shù)解。54、試求方程組的解。六、列方程（組）解應(yīng)用題55、 汽車從甲地到乙地，若每小時(shí)行駛45千米，就要延誤30分鐘到達(dá)；若每小時(shí)行駛 50千米，那就可以提前 30分鐘到達(dá)，求甲、乙兩地之間的距離及原計(jì)劃行駛的時(shí)間？56、 某班學(xué)生到農(nóng)村勞動(dòng)，一名男生因病不能參加，另有三名男生體質(zhì)較弱， 教師安排他們與女生一起抬土，兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔(dān)，兩只筐），這樣安排 勞動(dòng)時(shí)恰需

14、筐68個(gè)，扁擔(dān)40根，問這個(gè)班的男女生各有多少人？57、 甲、乙兩人練習(xí)賽跑，如果甲讓乙先跑10米，那么甲跑5秒鐘就可以追上乙；如 果甲讓乙先跑2秒鐘，那么甲跑 4秒鐘就能追上乙，求兩人每秒鐘各跑多少米？58、甲桶裝水49升，乙桶裝水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶裝滿后，乙桶剩 下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶裝滿后則甲桶剩下的水恰 好是甲桶容量的，求這兩個(gè)水桶的容量。59、甲、乙兩人在 A地，丙在B地，他們?nèi)送瑫r(shí)出發(fā)，甲與乙同向而行，丙與甲、乙相向而行，甲每分鐘走 100米，乙每分鐘走110米，丙每分鐘走125米，若丙遇到乙后10 分鐘又遇到甲，求 A B兩

15、地之間的距離。60、 有兩個(gè)比50大的兩位數(shù)，它們的差是 10，大數(shù)的10倍與小數(shù)的5倍的和的是11 的倍數(shù)，且也是一個(gè)兩位數(shù)，求原來的這兩個(gè)兩位數(shù)?！緟⒖即鸢浮恳?、1>V；2> V；3、X；4、X；5、X；6、X；7、2; &V； 9、X; 10、X； 11、X； 12、X;二、13、D;14、B；15、C；16、A；17、C; 18、A;19、C; 20、A； 21、A； 22、B； 23、B; 24、 A;三、25、，8, ； 26、2； 27、；2&a=3, b=1;29、30、； 31、3，-432、1； 33、20；34、a為大于或等于 3的奇數(shù)；35、

16、4:3 , 7:936、0;四、37、；38、；39、； 40、；41、；42、；43、-44、；45、；46、；五、47、，；4&a=-149、11x2-30x+19 ；50、；51、,b=±352、a=6,b=11,c=-6 ；53、（ 1） m是大于-4 的整數(shù)，（2） m=-3, -2 , 0,;54、或；六、55、A、B距離為450千米，原計(jì)劃行駛 9.5小時(shí)；56、設(shè)女生x人，男生y人，57、設(shè)甲速x米/秒，乙速y米/秒58、 甲的容量為63升，乙水桶的容量為 84 升;59、A B兩地之間的距離為 52875米；60、所求的兩位數(shù)為 52和62。二元一次方程組練

17、習(xí)題100道（卷二）一、選擇題：1. 下列方程中，是二元一次方程的是（）A. 3x 2y=4zB. 6xy+9=0C. +4y=6D. 4x=2. 下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A.3. 二 元一次方程 5a 11b=21 （）A.有且只有一解 B.有無數(shù)解C.無解D.有且只有兩解4 .方程y=1 x與3x+2y=5的公共解是（）A.5. 若 |x 2 | + （3y+2） 2=0,則的值是（）A. 1B. 2C. 3D.6. 方程組的解與x與y的值相等，貝U k等于（）7. 下列各式，屬于二元一次方程的個(gè)數(shù)有（） xy+2x y=7 : 4x+1=x y : +y=5 : x=y :

18、 x2 y2=2 6x 2y x+y+z=1 y （y 1） =2y2 y2+xA. 1B. 2C. 3D. 4&某年級(jí)學(xué)生共有246人，其中男生人數(shù)y比女生人數(shù)x的2倍少2人，？則下面所列的方程組中符合題意的有（）A.二、填空題9. 已知方程2x+3y 4=0,用含x的代數(shù)式表示y為：y=;用含y的代數(shù)式表示x為：x=.10. 在二元一次方程一 x+3y=2中，當(dāng)x=4時(shí)，y=;當(dāng)y= 1時(shí)，x=.11. 若 x3m 3 2yn 1=5 是二元一次方程，則 m=, n=.12. 已知是方程x ky=1的解，那么k=.13 .已知 |x 1 | + （ 2y+1） 2=0,且 2x k

19、y=4，貝U k=.14 . 二元一次方程 x+y=5的正整數(shù)解有 .15 .以為解的一個(gè)二元一次方程是16. 已知的解，貝U m=, n=.三、解答題17. 當(dāng)y= 3時(shí)，二元一次方程 3x+5y= 3和3y 2ax=a+2 (關(guān)于x, y的方程)？有相 同的解，求a的值.18. 如果(a 2) x+ (b+1) y=13是關(guān)于x, y的二元一次方程，則a, b滿足什么條件？19. 二元一次方程組的解 x, y的值相等，求k.20. 已知x, y是有理數(shù)，且(|x | 1) 2+ (2y+1) 2=0,則x y的值是多少？21. 已知方程x+3y=5，請(qǐng)你寫出一個(gè)二元一次方程，？使它與已知方

20、程所組成的方程組 的解為.22. 根據(jù)題意列出方程組：(1) 明明到郵局買0.8元與2元的郵票共13枚，共花去20元錢，？問明明兩種郵票各 買了多少枚？(2) 將若干只雞放入若干籠中，若每個(gè)籠中放4只，則有一雞無籠可放；？若每個(gè)籠里 放5只，則有一籠無雞可放，問有多少只雞，多少個(gè)籠？23. 方程組的解是否滿足 2x y=8 ?滿足2x y=8的一對(duì)x, y的值是否是方程組的解？24. (開放題)是否存在整數(shù)m使關(guān)于x的方程2x+9=2( m- 2) x在整數(shù)范圍內(nèi)有 解，你能找到幾個(gè) m的值？你能求出相應(yīng)的 x的解嗎？答案：一、選擇題1. D解析：掌握判斷二元一次方程的三個(gè)必需條件：含有兩個(gè)未

21、知數(shù)；含有未知 數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1;等式兩邊都是整式.2. A解析：二元一次方程組的三個(gè)必需條件：含有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)含未知數(shù)的 項(xiàng)次數(shù)為1;每個(gè)方程都是整式方程.3. B解析：不加限制條件時(shí)，一個(gè)二元一次方程有無數(shù)個(gè)解.4. C解析：用排除法，逐個(gè)代入驗(yàn)證.5. C解析：利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì).6. B7. C解析：根據(jù)二元一次方程的定義來判定，？含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)不超過 1次的整式方程叫二元一次方程，注意整理后是二元一次方程.8. B二、填空題9. 10. 1011., 2 解析：令 3m 3=1, n仁 1,. m= n=2.12. 1 解析：把代入方程 x ky=1 中，得2 3k=

22、1,. k= 1.13. 4解析：由已知得 x 仁0, 2y+仁0,二 x=1, y=,把代入方程 2x ky=4 中，2+k=4,. k=1.14. 解：解析：T x+y=5，二y=5 x，又t x, y均為正整數(shù)， x為小于5的正整數(shù).當(dāng) x=1時(shí)，y=4;當(dāng)x=2時(shí)，y=3;當(dāng) x=3, y=2 ;當(dāng) x=4 時(shí)，y=1 . x+y=5的正整數(shù)解為15. x+y=12解析：以x與y的數(shù)量關(guān)系組建方程，如 2x+y=17 , 2x y=3等，此題答案不唯一.16. 14解析：將中進(jìn)行求解.三、解答題17. 解：T y= 3 時(shí)，3x+5y= 3, 3x+5 X( 3) = 3,二 x=4,

23、方程 3x+5y=? ?3?和 3x 2ax=a+2 有相同的解,-3x( 3) 2ax 4=a+2, a=.18解：( a 2) x+ (b+1) y=13 是關(guān)于 x, y 的二元一次方程， a 2工 0,b+10,? a豐 2, bz 1解析：此題中，若要滿足含有兩個(gè)未知數(shù)，需使未知數(shù)的系數(shù)不為0.(?若系數(shù)為0,則該項(xiàng)就是0)19 .解：由題意可知 x=y, 4x+3y=7可化為4x+3x=7 , x=1, y=1 .將 x=1 , y=?1?代入 kx+ (k 1) y=3 中得 k+k 仁3, k=2解析：由兩個(gè)未知數(shù)的特殊關(guān)系，可將一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式代 替，化“二

24、元”為“一元”，從而求得兩未知數(shù)的值.20. 解：由(|x | 1) 2+ (2y+1) 2=0,可得 |x | 1=0且 2y+1=0, x= ± 1, y=. 當(dāng) x=1, y=時(shí)，x y=1+=;當(dāng) x= 1, y=時(shí)，x y= 1+=.解析：任何有理數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，且題中兩非負(fù)數(shù)之和為0,則這兩非負(fù)數(shù)(|x | 1) 2與(2y+1 ) 2都等于0,從而得到|x | 仁0, 2y+仁0.21. 解：經(jīng)驗(yàn)算是方程 x+3y=5的解，再寫一個(gè)方程，如x y=3.22. ( 1)解：設(shè)0. 8元的郵票買了 x枚，2元的郵票買了 y枚，根據(jù)題意得.(2)解：設(shè)有x只雞，y個(gè)籠，根

25、據(jù)題意得.23. 解：滿足，不一定.解析：t的解既是方程 x+y=25的解，也滿足2x y=8, ?方程組的解一定滿足其中的任一個(gè)方程，但方程 2x y=8的解有無數(shù)組，如x=10, y=12，不滿足方程組.24. 解：存在，四組原方程可變形為一mx=7,當(dāng) m=1 時(shí)，x= 7; m=- 1 時(shí)，x=7; m=?7時(shí)，x= 1; m=- 7 時(shí) x=1 .二元一次方程應(yīng)用題題型一：配套問題1某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝（不考慮布料的損耗），應(yīng)分別用多少布料 才能使做的衣身和衣袖恰好配套？題型二：年齡問題2甲對(duì)乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲” 乙對(duì)甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲”.請(qǐng)你算一算，甲、乙現(xiàn)在各多少歲？題型三：百分比問題3有甲乙兩種銅和銀的合金，甲種合金含銀25%乙種合金含銀37.5%，現(xiàn)在要熔制含銀30%勺合金100千克，甲、乙兩種合金各應(yīng)取多少？題型四：數(shù)字問題4. 有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大5,如果把這兩個(gè)數(shù)字的位置對(duì)換，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是143,求這個(gè)兩位數(shù).題型五：古算術(shù)問題5. 巍巍古寺在山林，不知寺內(nèi)幾多僧。364只碗，看看用盡不差爭(zhēng)。三人共食一碗飯，四人共吃一