43多項(xiàng)式方法求特征值問題

1、43多項(xiàng)式方法求特征值問題4. 3多項(xiàng)式方法求特征值問題4.3.1 F-L方法求多項(xiàng)式系數(shù)我們知道,求n階方陣A的特征值就是求 代數(shù)方程()|A I | 0(4.3.(1)的根.()稱為A的特征多項(xiàng)式.上式展開為 nn()Pl n 1 p2 n 2 Pn(4.3.(2)其中Pl, P2,Pn為多項(xiàng)式()的系數(shù).從理論上講,求A的特征值可分為兩步：第一步 直接展開行列式|A I|求出多項(xiàng)式 ();第二步 求代數(shù)方程(x) 0的根,即特征值.對(duì)于低階矩陣,這種方法是可行的.但對(duì)于 高階矩陣,計(jì)算量那么很大,這種方法是不適用的. 這里我們介紹用F-L ( Faddeev-Leverrier )方法

2、求特征方程(4.3.2)中多項(xiàng)式()的系數(shù).由于 代數(shù)方程求根問題在第2章中已經(jīng)介紹,所以本 節(jié)中解決特征值問題的關(guān)鍵是確定矩陣A的特征多項(xiàng)式(),所以稱這種方法為多項(xiàng)式方法求 特征值問題.記矩陣A=).n的對(duì)角線元素之和為trA % a22ann(4.3.(3)利用遞歸的概念定義以下n個(gè)矩陣Bk(k便."Bi A,B2A(Bipil),B3A(B2 P2I),Bk A(Bk1 Pk1l),Bn A(Bn1 Pn1l),P1 trB 1 1 - p2trB 22 1P3rB 3(4.3.4)1 , c Pk -trBk k 1 Pn -trBn n可以證實(shí),(4.3.4)式中Pk,k

3、 1,2,.,n,即是所求A的特 征多項(xiàng)式()的各系數(shù).用(4.3.4)式求矩陣的 特征多項(xiàng)式系數(shù)的方法稱為F-L方法.相應(yīng)特征方程為：/ /、n , nn 1n 2(1) (P1P2.Pn) 0(4.3.(5)而且可證矩陣A的逆矩陣可表示為A 11 ,A(Bn 1 Pn 1l)Pn(4.3.(6)例1求矩陣3 2 4A 2 0 24 2 3的特征值與A1.解用F-L方法求得3 2 4B1A 2 0 24 2 3p1 trB 16112 4B2 A(B1 p1I ) 2 8 24 2 111 -,p2 一 trB 2 15 28 0 0B3 A(B2 p2I) 0 8 00 0 81 -p3

4、.trB 38所以A的特征方程為332(1) (6158) 0此方程的根,即特征值為18, 21, 31111242A 1 (B2 p2l)1-p348 4111242從例1中的計(jì)算結(jié)果可知 B3 p3l.Faddeev曾經(jīng)證實(shí)：對(duì)n階矩陣A,按(4.3.4) 式計(jì)算出的Bn總有Bn pnl(4.3.7)4.3.2特征向量求法當(dāng)矩陣A的特征向量確定以后,將這些特征 值逐個(gè)代入齊次線性程組(A 1 )x=0中,由于系數(shù) 矩陣a 的秩小于矩陣a i的階數(shù)n,因此雖然有 n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù),但實(shí)際上是解有n個(gè)未知數(shù) 的相互獨(dú)立的r個(gè)方程(r<n).當(dāng)矩陣A的所有特 征值互不相同時(shí),這樣的問題中

5、要解的齊次方程 組中有n-1個(gè)獨(dú)立方程 淇中含有n個(gè)特征向量 分量,因此特征向量分量中至少有一個(gè)需要任意 假設(shè)其值,才能求出其他特征分量.在計(jì)算機(jī)中解這樣的齊次線性程組,可用高 斯-假設(shè)當(dāng)消去法,以便把一組n個(gè)方程簡(jiǎn)化為等價(jià) 的一組n-1個(gè)方程的方程組.然而,用高斯-假設(shè)當(dāng)消 去法簡(jiǎn)化一個(gè)齊次線性程組時(shí),方程之間不都是 獨(dú)立的,在消去過程中系數(shù)為零的情況較多.必需 交換方程中未知數(shù)的次序,以防止主元素位置上 為零的情況.因此,為了提升精度和防止零元素的 可能性,我們總是用主元素舉措把絕對(duì)值最大的 系數(shù)放于主元素位置.例如,假設(shè)矩陣A為422A 5 322 41其特征方程為4 225 326 4

6、 1 =0展開后為(1)(2)(5) 0故特征值分別為2, 3卜面求特征向量,將1代入方程組(A I)x.中,得3xi 2x2 2x305xi 2x2 2x302x1 4x2 0x3 0(4.3.(8)以-5為主元素,交換上式第一與第二個(gè)方程得5x1 2x2 2x303x1 2x2 2x302x1 4x2 0x3 0(4.3.(9)用高斯-假設(shè)當(dāng)消去法消去-5所在列中的x1,并把主 元素所在行調(diào)到最后,得0x1 16x2 葭 0551640x1 x2 - x3055x1葭葭0 55(4.3.(10)再以16/5為主元素,消去它所在列中的乂2,并把主 元素所在的行調(diào)到最后得0x1 0x2 0x3

7、0x1 0x2 - x300x1 x2 1 x304(4.3.(11)這就是用高斯假設(shè)當(dāng)消去法實(shí)現(xiàn)把一組三個(gè)方程簡(jiǎn)化為等價(jià)的一組兩個(gè)獨(dú)立方程的情形.由于這 個(gè)等價(jià)的方程組包含兩個(gè)獨(dú)立的方程 ,而有三個(gè) 未知數(shù),所以只要假定其中一個(gè)值,那么其它兩個(gè) 值就可以通過兩個(gè)獨(dú)立方程解出 .比方,令*3 1,那么得到矩陣A的對(duì)應(yīng)于1 1的一個(gè)特征向量為1 2 1 4 1對(duì)另外兩個(gè)特征值的對(duì)應(yīng)特征向量求法與上述 對(duì)1 1的推導(dǎo)過程相同.計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)求解這樣的齊次線性方程組 的消去步驟是,用第3章討論過的高斯-假設(shè)當(dāng)消去 法的公式,方程組(4.3.9)的系數(shù)矩陣經(jīng)過第一次 消去后的矩陣B為4545251651

8、6B525(4.3.(12)以矩陣為方程組(4.3.10)的系數(shù)矩陣,其中省略了 有0和1元素的第一列.在進(jìn)行第二次消元之前,要應(yīng)用完全主元素 舉措對(duì)前兩行進(jìn)行最大主元素選擇,然后再進(jìn)行 必要的行或列交換.每完成一次消元過程,總省略 只有0和1元素的第一列,并且計(jì)算機(jī)僅尋找矩 陣的前n-k行中的最大主元素,其中k是消元過 程應(yīng)用的次數(shù).對(duì)(4.3.12)式再進(jìn)行一次消元過程 那么得到列矩陣B1 1 B 21 4(4.3.(13)此矩陣是對(duì)應(yīng)于方程組4.3.11的系數(shù)矩陣,不過 省略了含0和1元素的前兩列.一般來(lái)說(shuō),最后矩 陣列的數(shù)目等于矩陣a i的階數(shù)和秩的差值.由于方程組4.3.8有三個(gè)未知

9、數(shù),兩個(gè)獨(dú)立 方程,所以計(jì)算機(jī)必須任意給定一個(gè)未知數(shù)的值： 以便可以從其他兩個(gè)獨(dú)立方程中解出另外兩個(gè) 未知數(shù).為方便,在計(jì)算機(jī)決定特征向量時(shí),要恰 當(dāng)?shù)卦O(shè)定任意選取的未知數(shù)的值.例如,令X3 1 ：由方程組4.3.11知道,其他兩個(gè)分量的值正好能 從含X3的非零系數(shù)項(xiàng)得出.為此,從計(jì)算機(jī)所存儲(chǔ) 的最終矩陣中,令b1最上面的0元素為-1,并把它 順次調(diào)到最下面第三行的位置上,就得到所求的/ 11 T特征向量21 41 .在工程問題中,從特征方程所求出的特征值： 少數(shù)情形也有相同的.一般地,當(dāng)一個(gè)特征方程有 k重根時(shí),矩陣A I的秩可能比其階數(shù)少1,或2 或3,或k,當(dāng)然對(duì)應(yīng)于 的線性無(wú)關(guān)的特征向

10、量 的個(gè)數(shù)也就是1,或2,或3,或k,下面通過一個(gè) 特征值對(duì)應(yīng)兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量的例子進(jìn)一 步說(shuō)明計(jì)算機(jī)求特征向量的方法.設(shè)矩陣A為其特征方程為32422423展開后得2_(1) (8) 0所以特征值為121, 381代入方程組為了決定 1的特征向量,將(A l)x=0,得424x1212x20424X3(4.3.(14)應(yīng)用一次高斯-假設(shè)當(dāng)消去法 得000X1000X2011/21x3(4.3.(15)寫成矩陣形式,(4.3.15)式的系數(shù)矩陣為00B 001/2 1(4.3.(16)由于方程組(4.3.15)的系數(shù)矩陣的秩為1,它比矩陣階數(shù)少2,因此對(duì)應(yīng)于1有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,必須

11、給兩個(gè)未知數(shù)任意規(guī)定值,才能確定這兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,由(4.3.15)式可看 出,一般總是選擇X2小3.求一個(gè)特征向量；選擇 X2 0,X3 1求另一個(gè)特征向量；這樣有兩個(gè)線性無(wú) 關(guān)的特征向量1/211001,計(jì)算機(jī)中求兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量的辦 法是,在(4.3.16)式的B中,把第一列中第一個(gè)0元 素用-1代替,第二列中第二個(gè)0元素也用-1代替 然后把第一、第二行順次調(diào)到最下面一行的位置 上,第三行自然就成了第一行,如此調(diào)換后矩陣 的第一列和第二列就是所求的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的 特征向量.對(duì)應(yīng)于 1的全部特征向量為1/21k11 k2 001其中匕與k2是任意常數(shù),且不同時(shí)為零.為了說(shuō)明列

12、交換的必要性,防止主元素為零,再舉一個(gè)例子,設(shè)矩陣 A為2812A 144001其特征方程為(2) (1) 0特征值為12, 20, 31對(duì)應(yīng)于2的特征向量可由解以下方程組而求得(4.3.(17)用一次高斯-假設(shè)當(dāng)消去法,得0 0 1 x10 0 1 x2 01 23 x3(4.3.(18)假設(shè)不進(jìn)行列交換,那么下一個(gè)消元過程只能在第一 行的第二個(gè)元素與第二行的第二個(gè)元素中找最 大主元素,而它們都是零,我們不得不對(duì)(4.3.17) 式進(jìn)行列交換,即交換未知數(shù)之間的次序,之后 再進(jìn)行消去過程.對(duì)(4.3.17)式進(jìn)行列交換,即把絕對(duì)值最大系 數(shù)放在主元素位置,顯然是第一列與第三列的交 換)交換后成為1284 x34 2 1 x2 01 0 0 x1(4.3.(19)其中未知數(shù)列矩陣中x1與x3也進(jìn)行了交換,這樣 才能保證(4.3.17)式與(4.3.19)式等價(jià),對(duì)(4.3.19) 式進(jìn)行一次高斯-假設(shè)當(dāng)消去法,得02/31/3x302/31/3x2012/31/3x1(4.3.(20)再進(jìn)行一次消去過程,得(4.3.(21)在計(jì)算機(jī)中計(jì)算,剩下一個(gè)最終的列矩陣0B 01/2(