線性代數(shù)答案趙樹嫄主編

1、(2) 口線性代數(shù)習(xí)題習(xí)題一(A)2, (3) 7(4) 0k 3 44,1 k 0 k2k 0,k 0或者k 1.3 1 x5,4 x 0 2x24x 0,x 0且x 2.10 x8, (1) 4(2) 7(3) 13(4) N( n(n-1) 21 ) =(n-1 ) +(n-2)+ +2+1-n(n 1210,列號為 3k42l,故 k、I 可以選 1 或 5;若 k=1,l=5,則 N(31425)=3,為負(fù)號; 故 k=1,l=5.12， (1)不等于零的項為a13a22a34a411(2)8民3日34.亠1,&( 1)N(234-n1)n!( 1)n1n！34215 352

2、1534215 10028092 2909228092 100(4)將各列加到第一列，17，(1)從第二行開始每行加上第一行，得(7)1t21t22tlogba1(1 t2)24t222(1 t2)213, (3)1, (6)2t1 t21 t21 t21lOgab1 11 11 11 11 11 11 11 11 10 20 00 01 12 22 20 2(3)各列之和相等，各行加到第一行18, (3)20, 第一行加到各行得到上三角形行列式，21,各行之和相等，將各列加到第一列并且提出公因式(n 1)xx xx xL L 從第二行開始各行減去第一行得到0 xx 0ai, a?,am再分別

3、加到第 1, 2,n-1 列得到上三角形行列式23, 按第一列展開24, 將第二列加第一列，然后第三列加第二列，.第 n 列加第 n-1 列，最后按 第一行展開。(1)n( n 1歸舊2an.們都是方程的根。11x0 x Lx L(n 1)x LLLL1xxL1xxL1123112312x222垐2垐？01 x200231523152319 x2000 4 x225, (1)2(1 x )(422,最后一列分別乘以(2)(3)各行之和相等與 22 題類似(4)當(dāng)x 0,1,2,3,.n2時, 代入行列式都會使行列式有兩行相同,所以它29,An A12A13A14104014 01402112(

4、6)21 2(6)030060011 111111111bbd其中 1, 3 兩行對應(yīng)成比例，所以為零.18132, 從第二行開始每一行乘以(1)加到上一行然后按第一列展開33, 按第一列展開34, 原方程化為2(X22)(x4)1 x111xx0011 x11r1211 x11111 y1r3r400yy1111 y1111 yX35,解得 x36,37,40,42,111112481111解(3)(6) D=20,13927(2 1)(1 1)(1D=63 D=63, D2=126,Di=60, D2=-80182)(31)(3Da=189D3=- 20,22k 11k 22043,令1

5、k13k 102 11211得 k1 或 k 4 ； 故當(dāng) k2)(31)D4=2048（范德蒙行列式）2183222)(k1)30k23k 40,4 時原齊次方程組有非零解。(k1 或 k原齊次方程組的系數(shù)行列式44,即當(dāng) k 1 且 k 2 時原齊次方程組僅有零解。原方程僅有零解。61習(xí)題二（A）-13152, (1)3A B 8282379 131100110011 x11xy0 x00001100111111 y000yxy0 或者y0 x2y2= 061123(3)2 4 6143 6 910511762915 =16153202(7)141387(2)2A+ 3B 25 2 521

6、653111(3)x B A 40401335(4)由(2AY)+2(B Y)=0 得 3Y=2 (A+B10 10553 322Y (A B) 020 233113 324323,因為 A 2B Cx2u 3 2v 40 得方程組x 2y 7 y v 4x 2u 3 0 x 2y 72v 40解得 x= 5,5, (2)104143 16111, (1)設(shè) X =2a 5b 4解得a 2a 3b 2b 02a 5b 2c 5da 3b c 3d，得到方程組1 1 1 1 1 1 1 121，2 A AT2mAr(2m)nAT2nmn 1223 X =0 854 2(2)X = 45 29 7

7、4x111 x2(3)設(shè) X=y,2 11 y3,z111 z6xy z2x112x y z 3，解得y 3于是X = 3x y z 6z 22aa a brb,ab解得從而 Xc c dc 00ad an16, (3)因為n1 1 1 1 1 1n 11 120， mA ( m)3Am3m m42c 5d c3d13設(shè)所有可交換的矩陣為 Xab 則1 1 ab cd 0 1 c d(4)因為11110 10 1用數(shù)學(xué)歸納法可以推得n1 11n0 101 2f111 11 1(5)因為111 11 11 12故可以推出1 1c 2328,因為(ATA)TAT(AT)TAA，所以 AAT為對稱矩

8、陣.因為(AAT)T(AT)TATAAT，所以AAT為對稱矩陣.31, (1)，原矩陣為A1A2A3A4B10B2B4A(B1AB2A2B4A3B1A3B2A4B412，其中2ABAB2A2B4A3B2A4B4記原矩陣為alI0bleldl則有a010ae0e bd0ae0bd33,A34A2A2A234, (2) 因為adbe0，所以1ad be(4) 因為 A1，故可逆.A*(6) 因為 Aa1a2.an0,故可逆.Aiiaa2 ajaj 1an(i 12.n),52,2(ATB1)12B(A1)T(2)3B A(8)3?12.&2&3.&0*AO,A10Oa2.a

9、n i1aiO40, (1)X11311 111(2 X 43221 0412511 111 32111X2 1111131642,由 AX I1an101132254232111452 )253119742235 4622312210 8111236A2X 得到 AX XA2I ,(A I)X (A I)(A I),44,兩邊同乘以(I A)(I A)1(I2A)(I A AAk1) I AkI.45,由A22A 4I0得到(A I)(A 3I)I,于是 A I 可逆并且(A I )1A 3I.51,因為 A12,1 *11(3A)12A -A12 A A353, (3),初等行變換得到(2

10、)3A1331627152,2(ATB1)12B(A1)T(2)3B A(8)3?12.1313(6),130054, (1)21051 0102r44r20 11010 01 1612 2 3所以1 1 01211357 10123 0(4),0012 00001 01000101000001000001011 3 5 710 1 2 30 0 1 20 0 0 11100141r2r31r1r3010154r300116143153.1640001002011000123001000120001000103343 11 01 0 00 1 00 0 13 11 201 2 1,0 1 20

11、 0 11 3 11 200 1 2 10 0 1 20 0 0 1d02.XA1B54.11111(2),02520101304 1 5 4 4 1 5 455, (1),6 1 5 8 2 0 0 41 0 0 90 0 1 60 1 0 141111012520011220121 0090 1014,0 0163621 23 4123457, (1)12 4 50411,秩為 2.1 101 2000011210112101121011210224200000000000030013061103041000400004003001030010300100000秩為 3.秩為 3.1111

12、1158,初等行變換得到1210 10,因為秩為 2 必有2310011 0, 1 .11 159,11 2a1 2 3當(dāng)a 1,r(A)2;當(dāng)a 1,r(A) 3.1 1 2 160,A 1 a 2131 b 1因為r(A) 2,所以第二第三兩行成比例從而得到X9A1B14.656,10130110111 011001101 2014001522B(A2I)1A43222330110052221101043222300122311210 a 14204 b 644b 64心解得 a 1, b 2a 142(1)2X1X23X333x1X25x304X1X2X33X13x213X36x1X2X

13、3X2X2X3X41（2）為2X2X3X41X12X2X35X4512 11 1121 1 11211 1解：（A,b） 12 11 1000 2 20002 212 15 5000640000 10系數(shù)矩陣的秩為 2, 而增廣矩陣的秩為 3；方程組無解.X1X2X3X41（3）X1X2X3& 0X1X22X32X411,習(xí)題三（A）用消元法解下列線性方程組21331313613136131363150315008341801534113411301353270135327131362133072915072915131361313613136015301530153回代，001212

14、00110011006600110000(Ab)1000310013510631010000100251033101000010000101210，方程組有唯一解:(1)2解：（A，b)=11 10 0 210 0 1 1 -20 0 0 0 011X2為 X2二2211X4X3X422X1，得到同解方程組X3（6）為X22X3X40丿4x12X26X33X44X52x14X22x34X47X5解：A=1 1 0311 00 1 11120 10 0 01130 00 0 0000 0設(shè)X2C1,X4C2，則得到一般解為為3x4卷 000X17 X3Xs36X110761056 ，得到同解的方

15、程組01130007X3X5365X2X45X3Xs613X5X2X45X3X561X53令X3C1,X5C2,X1X2得到X37C|C2651C26C1X4X5C22, 確定 a,b 的值使下列線性方程組有解，并求其解ax1X2X31(2)xax2X3aX2ax32ax1c1c2+1X2C1；X3C22x1x2x31當(dāng) a2 時，方程組為X1X12x2X2X32x342，其增廣矩陣為21112111(A,b)=12121212, r(A)=2,r(A , b)=3,方程組11240003無解.ax1bx22x31補充,(b 1)X2X30ax1bx2(1b)x33 2bab21ab2 1解:

16、方程的系數(shù)行列式D=(a1)2(a2)111a11D1aa12(a 1) (a 1),D21a12112aaaaD3(a1)2(a 1)2于是得X2X31aFa12 a1+2a+a22a1時,方程組為x1X2X31，X|= x2 x3+1，方程組有無窮多解，0,方程有唯一解2 且 a1時,Dxi(a 1)2，當(dāng) a解：（A,b）0b 1100b 11 0ab1 b32b001 b 2 2b當(dāng) a 0,b1 時有唯一解，此時，增廣矩陣為1cXiax2cX30X1c當(dāng)a0,且b=1有無窮多解,X21X30X1ca 0且b=-1有無窮多解，X213X303, (1)31225344(23,18,17

17、)(2)512234(12,12,11)4, (1)=-(1,5,2,0)(3,5,7,9)( 4,0, 5, 9),13511 27(2)=尹 5 )3(3,5,7,9) 2(1,520)(7, 5 三三)6,(1)(a)設(shè)k1 1k2 2k3 3,得k1(1,0,1) k2(1,1,1) k3(0, 1, 1) (3,5, 6)110k13化為方程組011k25,111k3611114293(b)對矩陣1TT2T3T進(jìn)行初等行變換:a b05 3ba1 + b0 b 1022b01+ b0 012+2b01+ b當(dāng)a 0,且 b=1 時,有無窮多解,005 bX15 b1 + ba1 +

18、b)102，解為X221+ b1+b012+2bX32+2b1+ b1+b110310 0 11(2)2125349,由題設(shè)得到11,由對應(yīng)向量構(gòu)成的矩陣的行列式等于an a22L a*n0,線性無關(guān).13032 1 11130,二1,2 3線性相關(guān).0 0 0ks)1(k2. ks)2. ks s0-0115111601014可得001911111111122,2111333即1121122,21221 101 11121212= 0111 112221 11311302211123,32123.1 2312310, (1)矩陣為0250251 020251 02501,可知20 0 013

19、21321120012(2)矩陣為3270020141013132013，線性無關(guān).00100012,由對應(yīng)向量構(gòu)成的矩陣2 1 011102,13,證明：令k2(2)3).ks(1s)0,整理得到(k1532122線性相關(guān).110310 0 11因為1,2,.,s線性無關(guān)，所以有k1k2ks0ks0解得K 00,從而向量組k2ks0線性無關(guān).14,k2k6 0, k=3,-216,3 且 k -2 時，線性無關(guān);T3當(dāng) k(1)對矩陣 A當(dāng) k=3 或 -2 時，線性相關(guān).施以初等行變換，得到17,100101010011213010000100001021302,3是極大線性無關(guān)組,(2)

20、對矩陣 A施以初等行變換，得到(1)3是極大線性無關(guān)組施以初等行變換，得到11311113528913171000122457714144857200327200是極大線性無關(guān)組；并且3_3_ 2 21111(2)12313354256315710001212121246363212100001002100130021001,2是極大線性無關(guān)組;并且20,( 1) 對系數(shù)矩陣進(jìn)行變換得4100715200得方程組1X1X1X2X42X30X2X42X30令X31,X1X2X3X402100210即為基礎(chǔ)解系.（Ab）123221251111121213221000254113411440155

21、0再令120100001110840010501 0 00 1 00 0 10 0 0171X12X48X5X12X21二X45X5.令X41得到X2128X502151X3-X4-X5X32 82X4X5Xi:得到X25于是基礎(chǔ)解系為87858得方程組5-805-801221210785858011112）x115c2x115x402x115x4x24cx212x40 x212x4，令x42c得到224cx34cx32x40 x32x4x42c1524基礎(chǔ)解系為v c24，其中 c 為任意常數(shù)421 1 0 1 1 70 0 0 0 0 00 1 0 2 6 235 4 3 3 1 1210

22、015160000000得方程組01026230010001211112111(3)2111105333(Ab)561755096631211055221011110 000011110 1 000得到方程組001110 0 100002110 0 011x1023，對系數(shù)或增廣矩陣進(jìn)行變換得21112 0472001521030 01201012（ 1）212得方程組01360 136001222250 000000032011 1 3 22 2 6 23x20令x51得x41，得到基礎(chǔ)解系為x30 x4x500011(3)x1x45x516x1x45x516x22x46x523x22x46

23、x523，x30 x30 x1x45x5x22x46x5x30對應(yīng)的齊次線性方程組為x116x223令x40，得特解x30，x50 x40 x50 x11Ax22再令x41得得x30 x50 x41x50 x15x26x40，/曰得x30 , 基礎(chǔ)解系為x51x40 x511623原方程組的通解為U0c100135401132211，（Ab）=121113141113121111得到方程組15260,0100115260c07/2，其中c1，c2為任意常數(shù)1001135401003212r2r1,r3r1r4r1,r5r1054312074512014312(3)討論如下：(1)當(dāng)二一 2 時

24、，方程組無解；(2)當(dāng) 一 2 且 _1 時有唯一解;(3)當(dāng)時有無窮多解：此時方程組為x1+ X2+X3_ 2.基礎(chǔ)解糸為_1_1_ 21%_尹011X2X5_1 2,特解=0X30110X4=X5_1210211于是全部解是0+c20110211 131124,(A,b)112 111211 1210 _11_000 02-_2(1)021,基礎(chǔ)解系=02_121(c R)2112120_11_01301_1_23312_11_00_(_ 1)(+ 2)3(1)1,0，特解為0，全部解為010_ 2_1 _10+ C11c20 (c1,c2為任意實數(shù))00 125, 將增廣矩陣化為 T 陣，得11000a111000a101100a201100a2001100a30110a3，可知0001100011a4a4i 510001a500000aii 1當(dāng)且僅當(dāng)i 5ai=0