上海市靜安區(qū)2019屆高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測(二模)數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、上海市靜安區(qū)2019屆高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測（二模） 數(shù)學(xué)試題（解析版）一、填空題（本大題共12小題，共54.0分）1 .不等式6x2+17x+12<0的解集是.2 .已知復(fù)數(shù) （其中i是虛數(shù)單位），則|z|= .3 .已知點A （1, -2, -7） , B （3, 10, 9） , C為線段AB的中點，則向量 的坐標(biāo) 為.4 .若變量x,y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最大值為 .5 .若圓柱的軸截面為正方形，且此正方形面積為4,則該圓柱的體積為 .6 .已知，則 tan a =.7 .已知雙曲線C與橢圓一 一的焦點相同，且雙曲線 C的一條漸近線方程為-,則雙曲線C的方程為.

2、8 . 函數(shù) y=sin x+cosx-|sin x-cos x| 的值域是 .9 .已知甲盒中有紅、黑、白三種顏色的球各 3個，乙盒中有黃、黑、白三種顏色的球 各2個（兩盒中每個球除顏色外都相同）.從兩個盒子中各取1個球，則取出的2個球顏色不同的概率是（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.10 .若等比數(shù)列an（nCN）滿足a1+a3=30, a+24=10,則a?a?？an的最大值為 .11 .設(shè) ABC勺內(nèi)角 A B, C的對邊為a, b, c.已知a, b, c依次成等比數(shù)列，且-，延長邊BC到D,若BD=4,則 ACD0積的最大值為 .12 .已知函數(shù)-，若，貝U實數(shù)a=.二、選擇題（本大題共4小

3、題，共20.0分）13 .為客觀了解上海市民家庭存書量，上海市統(tǒng)計局社情民意調(diào)查中心通過電話調(diào)查系統(tǒng)開展專項調(diào)查，成功訪問了2007位市民.在這項調(diào)查中，總體、樣本及樣本的容量分別是（）A.總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是2007位市民家庭的存書量，樣本的容量是2007B.總體是上海市民家庭的存書量，樣本是2007位市民家庭的存書量，樣本的容量是 2007C.總體是上海市民家庭的存書量，樣本是 2007位市民，樣本的容量是 2007D.總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是2007位市民，樣本的容量是 2007.14 .若，均為單位向量，則“”是“ ”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充

4、分必要條件D.既不充分又不必要條件15 .函數(shù)f （x） =sin 2x+bcosx+c的最小正周期（）A.與b有關(guān)，且與c有關(guān)B.與b有關(guān)，但與c無關(guān)C.與b無關(guān)，且與c無關(guān)D.與b無關(guān)，但與c有關(guān)16 .設(shè)f (x)是定義在 R上恒不為零的函數(shù)，對任意實數(shù)x、y,都有f (x+y) =f (x)*f (y),若 -，an=f (n) ( nC N),數(shù)列an的前n項和S組成數(shù)列 S,則有()A.數(shù)列遞增，最大值為1B.數(shù)列遞減，最小值為-C.數(shù)列遞增，最小值為-D.數(shù)列遞減，最大值為1三、解答題(本大題共 5小題，共76.0分)17 .如圖所示，在直角梯形 ABCDL已知 BC/ AD A

5、BL AD BGBAAD=mi VA1平面ABCD(1)求證：CDL平面VAC(2)若VA= -m求CV與平面VAD所成角的大小.BC18 .已知函數(shù) (a為實常數(shù)).(1)若 的定義域是-或 > ，求a的值；(2)若 是奇函數(shù)，解關(guān)于 x的不等式>19 .某文化創(chuàng)意公司開發(fā)出一種玩具(單位：套)進(jìn)行生產(chǎn)和銷售.根據(jù)以往經(jīng)驗，每 月生產(chǎn)x套玩具白成本p由兩部分費用(單位：元)構(gòu)成：a.固定成本(與生產(chǎn)玩具套數(shù)x無關(guān))，總計一百萬元；b.生產(chǎn)所需的直接總成本(1)問：該公司每月生產(chǎn)玩具多少套時，可使得平均每套所需成本費用最少？此時每套玩具的成本費用是多少？(2)假設(shè)每月生產(chǎn)出的玩具能

6、全部售出，但隨著x的增大，生產(chǎn)所需的直接總成本在急劇增加，因此售價也需隨著x的增大而適當(dāng)增加.設(shè)每套玩具的售價為 q元,-(a, bC RR .若當(dāng)產(chǎn)量為15000套時利潤最大，此時每套售價為300元,試求a、b的值.(利潤=銷售收入-成本費用)20 .已知拋物線 C: x2=2py (p>0)上一點T (t, 4)到其焦點F的距離為5.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)直線l與拋物線C交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若，求證：直線l必過一定點，并求出該定點的坐標(biāo)；(3)過點(2, 0)的直線m與拋物線C交于不同的兩點 M N,若，求直線m的斜率的取值范圍.21 .設(shè)數(shù)列an的前n項和為對任

7、意正整數(shù)n,皆滿足S+an=2a (實常數(shù)a>0).在 等差數(shù)bn (nCN*)中，b1=a1, b2=2S2.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)試判斷數(shù)列an+1能否成等比數(shù)列，并說明理由；(3)若Cn=an?bn,求數(shù)列Cn的前n項和Tn,并計算：(已知).1【答案】(-,-)【解析】解：不等式 6x2+17x+12<0 可化為(2x+3) (3x+4) < 0,解得-"vxv- 1 ,23，所求不等式的解集是 故答案為：(-：，-).把不等式化為(2x+3) (3x+4) v 0,求出解集即可.本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.2【答案】一【

8、解析】 解:利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.3【答案】(1, 6, 8)【解析】 解：依題意，點 A (1, -2, -7) , B (3, 10, 9) , C為線段AB的中點，所以C點坐標(biāo)4t / 1 + X 2 + 10/十！I、 Rri - z o x為(, 口 ， 口 )，即 C (2, 4, 1),所以向量 產(chǎn)斤的坐標(biāo)為 方T=(3-1, 10-4 , 9-1) = (1, 6, 8)故填：(1, 6, 8).依題意，點A (1, -2, -7) , B (3, 10, 9) , C為線段AB的中

9、點，所以C點坐標(biāo)為(2,屬于基礎(chǔ)題.4, 1),所以向量不右的坐標(biāo)為(1, 6, 8) 本題考查了空間向量的中點坐標(biāo)公式，空間向量的坐標(biāo). 4【答案】2【解析】(工+#-2之0, 解：由變量x,y滿足約束條件I .r -I 0 < / < 2 .作出可行域如圖， r 4=2聯(lián)立 11/ 2 = 11，解得 A (0, 2),化目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y為y=2x+z ,由圖可知，當(dāng)直 線y=2x+z過A時，直線在y軸上的截距最大，為 2.故答案為：2.由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程 的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)， 代入目標(biāo)函數(shù)得答案.本題考查簡單

10、的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.5【答案】2兀解：:圓柱的軸截面是正方形，且面積為4,，圓柱的底面半徑 r=1 ,高h(yuǎn)=2,圓柱的體積 V=tt r2h=Tt XI 2X2=2 兀.故答案為：2兀.根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征可知底面半徑和高，代入體積公式計算即可. 本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征和體積的計算，屬于基礎(chǔ)題.【解析】解： hmtc）, 7F7T1 + fulH。 1 j + I 3則 tan a =tan （ n - - ） + = ：=： = -=,44I "“Hn - I 1 2故答案為：.2TT 7T由tan a =tan（仆- ；）+ ,利用兩角和的正切公式

11、展開即可求解.44本題主要考查了兩角和的正切公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.7.【答案】一一【解析】解：雙曲線C與橢圓/+專=|的焦點相同，即（± 3, 0）,直線*，為雙曲線C的一條漸近線，k 、, r可得 一 二_1,又 a2+b2=9,可知 a2=4, b2=5.a 2則雙曲線C的方程是：/0故答案為：L -L = i.求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，利用雙曲線的漸近線方程，轉(zhuǎn)化求解即可.本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線法方程的求法， 考查計 算能力.8【答案】；時,【解析】cosx > simx, y=sinx+cosx+sinx-cosx=2sinx“/

12、丁 放，- .一.c一 .77 X當(dāng) xC (,時，sin > cosx, y=sonx+cosx-sinx+cosx=2cosx £ -2 ,)；當(dāng)xC ； , 2兀時,cosx >sinx , y=2sinx £ -2 , 0,.xC0, 2兀時，y -2. VJ,根據(jù)正余弦函數(shù)的周期性可知，ye-2,內(nèi).故答案為:-2 ,近.分3段討論后，根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)可得.本題考查了三角函數(shù)的最值，屬中檔題.第5頁，共13頁9【答案】【解析】解：甲盒中有紅、黑、白三種顏色的球各3個，乙盒中有黃、黑、白三種顏色的球各2個(兩盒中每個球除顏色外都相同).從兩個盒子中各

13、取 1個球，基本事件總數(shù) n=9X 6=54,取出的2個球顏色不同包含的基本事件個數(shù)m+=42,則取出的2個球顏色不同的概率是 P= = - = 1 .ii 54 9故答案為：7 .從兩個盒子中各取 1個球，基本事件總數(shù) n=9X 6=54,取出的2個球顏色不同包含的基本事件個數(shù) m*母+/或4C獷=42, 由此能求出取出的 2個球顏色不同的概率.本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基 礎(chǔ)題.10.【答案】729【解析】解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q, / ai+a3=30, a2+a4=10,2、 . ai+a3=30=ai (1+q ) , a2+a4=

14、10=q (ai+a) =30q,聯(lián)立解得qJ , ai=27.3an=27X廠 i=34-n.|-Ttrr c c c -3+2+ + ( 4-n )- 1 - J Jb|G貝U ai?a2?？an=3=3 f = r ,可得n=3或4時，ai?a2?？an的最大值為729.故答案為：729.設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q,由 ai+a3=30, a2+a4=i0,可得 ai+a3=30=ai (i+q2) , a2+a4=i0=q (ai+a3)=30q,聯(lián)立解得q, ai.利用通項公式與求和公式及其二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考

15、查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.ii【答案】一【解析】解：-一值小=:,cos A A-C) +cos A A+0 =2cosAcosC=：,“八I不 . cosAcosC= , 1a, b, c依次成等比數(shù)列，b2=ac,由正弦定理可得， sin 2B=sinAsinC-可得，'-岫;盯f =仃嗎in爐一河”小入;二cos (A+C =-cosBcotrB + couB - - = 0C I . cosB=,2仃刈，-C) 一 ms/?=:, " cos A A-C) =1,即 A-C=0ABC為正三角形，設(shè)邊長 a,1 1sAACD=. Ci I 如二：k w 父“一

16、碼 x = j h(4 - m)v 3/，+ 4 (1.9二丁 5 =:當(dāng)且僅當(dāng)a=4-a即a=2時取等號故答案為：，由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式可得cos (A-C) +cos (A+Q =2cosAcosC,可求cosAcosC,然后由等比數(shù)列的性質(zhì)及正弦定理可得，sin 2B=sinAsinC ,結(jié)合兩式可求 B二 ,進(jìn)而可判斷3出 ABC為正三角形，結(jié)合三角形的面積公式及基本不等式即可求解面積的最大值本題主要考查了正弦定理，兩角和與差的三角公式在求解三角形中的應(yīng)用，三角的面積公式，基本不等式的應(yīng)用是求解面積最值的關(guān)鍵12 .【答案】-【解析】I I斛：,函數(shù) /(1)= + M川(1 -),f

17、(x)關(guān)于點(1,a)成中心對稱，貝U f (x) +f (1-x ) =2a, ?nil 7則由 /U +f， +f +.- + /)+ / 二蘭 +川-H1W，八'J 21119' 2(119' 2(319 J 21119 八'g比贊_得 f J) +f ()+ - +f ( 0) =101O,兩式相加得 2020f (0) +f (1) =2020 ,即 f (0) +f (1) =1,即 2a=1,得 a=：,故答案為：根據(jù)函數(shù)f (x)的性質(zhì)，得到f (x)關(guān)于點(:，a)成中心對稱，利用對稱性進(jìn)行求解即可.本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的對稱

18、性建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.13 .【答案】B【解析】解：因為了解的是上海市民家庭存書量，所以總體是上海市民家庭的存書量不是家庭數(shù)；樣本是2007位市民家庭的存書量不是市民；樣本的容量是 2007.故選：B.要了解的是上海市民家庭存書量，因此總體是存書量，樣本也是存書量，樣本容量是2007.本題考查了用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，屬基礎(chǔ)題.14 .【答案】C【解析】解：1T, 了均為單位向量，“ |2 丁-7|=| 萬+2卻”？ 4+1-4 1一石=1+4+41.1；?萬一了 =0? “1,石”. “|2 0*-石|二|工+2|”是“不，匚”的充要條件.故選：C石* , 7)均為單位

19、向量，"|2 7T - f |=| 7T +2 層 | ” ? 4+1-4 儲一 了 =1+4+41 一 了 ?Q 一石=0? “丁，石” .即可判斷出結(jié)論.本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力， 屬于基礎(chǔ)題.15【答案】C【解析】解：函數(shù) f (x) =sin 2x+bcosx+c ,=1-cos 2x+bcosx+c ,所以函數(shù)的關(guān)系式，是以 cosx為自變量的二次函數(shù)，所以：函數(shù)的周期與 b無關(guān)，函數(shù)的值域與c有關(guān).故選：C.直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用，把函數(shù)的關(guān)系式變形成二次函數(shù)的形式，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期的影響變量和值域的影

20、響變量.本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，二次函數(shù)的形式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型.16【答案】C【解析】解：- a-：,故 f (1)=1,a2=f (2) =f2 (1)=,a3=f (3) =f (1) f (2) =f3 (1) =1 ,0. .當(dāng) n C N時，an=1pii ,n又 S=1- ( I)v 1,1故Sn遞增，當(dāng)n=1時，$取得最小值 S=aq .故選：C.計算f (n)的值，得出an的通項公式，從而可得Sn的通項公式，根據(jù)其通項公式進(jìn) 行判斷.本題考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，等比數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題.17.【答案】(1)證明

21、：連結(jié) AC AB=BC /ABG90 , ./ CA=/ACE=45 , 取AD中點G連CG因為BC AD所以四邊形 ABC正方形.所以 CG=GD / CGD90 ,，/ DCG45 , / DCA90。(4 分)所以CDL CA又VAL平面 ABCD所以CDL 7ACDL平面 VAC ( 6 分)(2)解：法1:連VG 由 CGL AD CGL VA? CGL面VADCVG CV與平面VAD所成的角(11分)VC=2m CGrn . ./CVG30CV與平面VAD所成角為30。( 14分)法2：以A為原點，射線 AB AD AV所在直線為x, v, z軸正半軸，建立空間直角坐 標(biāo)系，則平

22、面VAD法向量 =(0,0),又， 一，設(shè)向量 與 夾角為0 ,則cos 0 = 0，CV與平面VA所成的角為(1)證明連結(jié)AC,取AD中點G,連CG證明四邊形 ABCG；正方形.推出CDL CA CDL VA 即可證明CDL平面VAC(2)連VG說明CG1面VAD ZCVG CV與平面VAD所成的角，通過求解三角形得到 CV與平面VAD所成角為30° .法2:以A為原點，射線 AR AD, AV所在直線為x, y, z軸正半軸，建立空間直角坐 標(biāo)系，平面VAD法向量工方=(m 0, 0),又= (hph. vWih),利用空間向量的 數(shù)量積求解即可.本題考查直線與平面垂直判定定理的

23、應(yīng)用，直線與平面所成角的求解，考查空間想象能力以及計算能力.18 .【答案】解法1: (1)函數(shù) 的定義域是-或 ,即 的解集是一或 ,(2分)也即 的解集是一或 ,所以令解得a=3; ( 6分)(2)如果是奇函數(shù)，則定義域即 的解集關(guān)于原點對稱，所以,解得a=1; ( 8分)當(dāng)a=1時， 一 一,所以一是奇函數(shù),（10 分）關(guān)于x的不等式即>，化為> ,解得X>1;所以所求不等式的解集為x!x>1. (14分)解法2： (1)的定義域是-或，當(dāng) -時，解得 ；檢驗，a=3 時，y=lg (+3) =lg,令> 0,解得 xv-或 x>1,所以函數(shù)y的定義域

24、為x|x<x>1,所以a=3；(2)因為 一 是奇函數(shù)，所以 ，即(2- a) 2- a2x2=1-x2,由 ，解得a=1,檢驗a=1時，函數(shù)y的定義域為(-°°, 一1)u (1, +°°),關(guān)于原點對稱，滿足題意;又不等式化為lg>lg1 ,即>1,即>0,解得x>1,所以所求不等式的解集為x! x> 1.【解析】解法1： (1)根據(jù)函數(shù)的定義域得出不等式的解集，列出關(guān)于a的方程求得a的值；(2)根據(jù)函數(shù)y是奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，列出關(guān)于 a的方程求得a的值，再 求對應(yīng)不等式的解集.解法2： (1)根據(jù)

25、函數(shù)的定義域求出a的值，再檢驗所求的 a是否滿足題意；(2)根據(jù)奇函數(shù)的定義列方程求得a的值，并檢驗所求的 a是否滿足題意，再求對應(yīng)不等式的解集.本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的奇偶性應(yīng)用問題，是中檔題. O19 .【答案】解：(1)由題意知,生產(chǎn)成本為 p=1000000+50x+x , （3分）-=一+502 +50=250, （5 分）當(dāng)且僅當(dāng) 一=時，即 x2=100000000,解得 x=10000; （6 分）答：該公司生產(chǎn)1萬套玩具時，使得每套平均所需成本費用最少, 且每套的成本費用為 250元；(7分)(2)利潤 qx- p=x (a+-) - (100

26、0000+50x+x2)10分）=（一）x2+ （a-50 ） x-1000000 ;根據(jù)題意，有-< 0, a+=300,且-二15000,解得 a=250, b=300.【解析】（14 分）(1)由題意寫出生產(chǎn)成本 p,利用基本不等式計算的最小值，并且求出對應(yīng)的x值;(2)利用利潤函數(shù)qx-p ,結(jié)合題意列方程求得 a、b的值.本題考查了根據(jù)實際函數(shù)模型求成本與利潤的應(yīng)用問題，是中檔題.20 .【答案】解：(1)解法1:由題意，根據(jù)拋物線的定義，有 -，解得p=2,所以拋物線 C的方程為x2=4y； (4分)解法 2：將 T (t, 4)代入 x2=2py 得，t2=8p,又點T (

27、t, 4)到其焦點F的距離為5,焦點坐標(biāo)為，-，所以-將t2=8p代入整理得p2+16p-36=0,解得p=2,故拋物線C的方程為x2=4y； ( 4分)(2)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y=kx+b,由得 x2-4 kx-4 b=0, ( 6 分)設(shè) A (xi, y。, B (x2, y2),則 x1+x2=4k, xiX2=-4 b,所以=令b2-4 b=-4,得b=2,所以直線l過定點(0, 2) . (10分)(3)依題意，直線 m的斜率k存在且kw0,設(shè)m的方程為y=k (x-2),由消去 y,得 x2-4kx+8k=0, (12 分)由4> 0,即 k2-2 k&

28、gt;0,解得 k<0 或 k>2.設(shè) M(Xi, yO , N(X2, y2),則 X1+x2=4k, XiX2=8K 且 一， 一， 所以因為v ,所以12k+1v0,解得v ；所以，直線 m的斜率的取值范圍是， 一 (16分)【解析】(1)解法1：根據(jù)拋物線的定義列方程 1 + = 5,求得p的值，寫出拋物線方程；解法2:將T (t, 4)代入x2=2py,再由點T到其焦點F的距離，列出方程組求得 p的值，再寫出拋物線方程；(2)可直線l的方程為y=kx+b,與拋物線方程聯(lián)立，消去 v,利用根與系數(shù)的關(guān)系計算 瓦1?而，從而證明直線l過定點(0, 2);(3)依題意設(shè)直線 m的方程為y=k (x-2 ),與拋物線方程聯(lián)立，消去y,