七年級數(shù)學寒假講義

1、第一講 有理數(shù)的相關知識1 知識歸納：1.正數(shù)：大于0的數(shù)。負數(shù)：小于0的數(shù)（正數(shù)前面加“-”號的數(shù)）。 0：既不是正數(shù)也不是負數(shù)。 注意：不一定是負數(shù)，也不一定是正數(shù)。2.有理數(shù)的概念：正數(shù)、負數(shù)和0統(tǒng)稱有理數(shù)。 有理數(shù)的分類：3.數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。4.相反數(shù)的概念：如果兩個數(shù)只有符號不同，那么稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù)，也稱 這兩個數(shù)互為相反數(shù)。特別地，0的相反數(shù)是0。 注意：(1)只有符號不同的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)；0的相反數(shù)還是0； (2)的相反數(shù)是；的相反數(shù)是；的相反數(shù)是； (3)相反數(shù)的和為0。即若0則a、b互為相反數(shù)。5

2、.絕對值的概念：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點及原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值，數(shù)a的絕對值記作“”。6.絕對值的有關性質(zhì)： （1）對任意有理數(shù)a，都有0； （2）若0，則0； （3）若，則或b； （4）若（b>0），則±b； （5）若0，則0且0； （6）對任意有理數(shù)a，都有。7. 有理數(shù)大小的比較法則：（1）正數(shù)的絕對值越大，這個數(shù)越大；（2）正數(shù)永遠比0大， 負數(shù)永遠比0??；（3）正數(shù)大于一切負數(shù)；（4）兩個負數(shù)比大小，絕對值大的反而小； （5）軸上的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；（6）大數(shù)-小數(shù) 0，小數(shù)-大數(shù) 0。8.互為倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。 注意：0沒有倒數(shù)

3、；若a0，那么的倒數(shù)是；倒數(shù)是本身的數(shù)是±1；若1則a、 b互為倒數(shù)；若1則 a、b互為負倒數(shù)。2、 典型例題：例1、填空：兩個互為相反數(shù)的數(shù)的和是 ；兩個互為相反數(shù)的數(shù)的商是 ；(0除外) 的絕對值及它本身互為相反數(shù)； 的平方及它的立方互為相反數(shù)； 及它絕對值的差為0； 的倒數(shù)及它的平方相等； 的倒數(shù)等于它本身； 的平方是4， 的絕對值是4；如果a，則a是 ；如果3，則a是 ；如果，那么a是 ；如 果，那么a是 ； x是-8的相反數(shù)，5,則的值為： 。例2、當a0，b0，c0，d0時，用“”、“”或“=”填空。0； 0； 0；0； 0； 0； 0； 0； 時，a b.例3、計算：

4、(1) (2) （3）|0.32(-0.3)|例4、在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并按從小到大的順序用“ ”把這些數(shù)連結(jié)起來。35 ，3.5 ，0 ， 2 ，2 ， ， 0.5例5、有理數(shù)、在數(shù)軸上對應點如圖所示： 0 (1) 在數(shù)軸上表示、；(2)試把、0、這五個數(shù)從大到小用“”號連接起來例6、若 a 、b互為相反數(shù)，c 、d互為倒數(shù)，求（ab）20 （c d ）20 的值。例7、解方程3. 鞏固訓練：（一）填空題 1-(-)的倒數(shù)是，相反數(shù)是，絕對值是。2若0，則，。3若，則a及。4因為到點2和點6距離相等的點表示的數(shù)是4，有這樣的關系，那么到點100和到點999距離相等的數(shù)是；到點距離相等的點表

5、示的數(shù)是；到點m和點n距離相等的點表示的數(shù)是。5.如果2，那么.6到點3距離4個單位的點表示的有理數(shù)是 。7絕對值小于3的整數(shù)有 _.8觀察下面一列數(shù)，根據(jù)規(guī)律寫出橫線上的數(shù)，； ； ；第2003個數(shù)是 。9把下列各數(shù)填在相應的集合內(nèi)。 整數(shù)集合： 負數(shù)集合： 分數(shù)集合： 非負數(shù)集合： 正有理數(shù)集合： 負分數(shù)集合： 10.用“”、“”、“”號填空：（1） （2）（3） （4）（二）選擇題。11下列說法正確的是（   ）    A.絕對值較大的數(shù)較大；    B.絕對值較大的數(shù)較??；   

6、; C.絕對值相等的兩數(shù)相等；    D.相等兩數(shù)的絕對值相等。12兩個有理數(shù)相加，如果和比其中任何加數(shù)都小，那么這兩個加數(shù)（ ）A.都是正數(shù) B.都是負數(shù) C.互為相反數(shù) D.異號 13兩個非零有理數(shù)的和為正數(shù)，那么這兩個有理數(shù)為（ ）A.都是正數(shù) B.至少有一個為正數(shù) C.正數(shù)大于負數(shù) D.正數(shù)大于負數(shù)的絕對值，或都為正數(shù)14若a是有理數(shù)， 則4a及3a的大小關系是（ ） A4a3a B.4a3a C.4a3a D.不能確定15若 0 ，且ab0 ，那么（ ） 0，b0; 0，b 0; 0 0; 00 16.下列說法中不正確的是（ ） A. 只有符號

7、不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)； B. 在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩數(shù)到原點的距離相等； C. 互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為零； D. 零沒有相反數(shù)。（三）解答題。17（1）將下列各數(shù)填入相應的圈內(nèi)： 2 ，5 ， 0 ，1.5 ，2 ，3 。 正數(shù)集合 整數(shù)集合 （2 ）說出這兩個圈的重疊部分表示的是什么數(shù)的集合： 。18如圖是一個正方體紙盒的兩個表面展開圖，請把 8 ，5 ，8 ，2 ，5 ，2 分別填入六個正方形中，使得折成正方體后，相對面上的兩數(shù)互為相反數(shù)。19出租車司機小李某天下午的營運全是在東西走向的人民大街上進行的，如果規(guī)定向東為正，向西為負，他這天下午行車里程（單位：千米）如下：+15，2，+5

8、，1，+10，3，2，+12，+4，5，+6（1） 小李下午出發(fā)地記為0，他將最后一名乘客送抵目的地時，小李距下午出車時的出 發(fā)地有多遠？ （2）若汽車耗油量為0.41升/千米，這天下午小李共耗油多少升？四.自我檢測：1. 在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)中， 的數(shù)總比 的數(shù)大。2. 在數(shù)軸上，表示+2的點在原點的 側(cè)，距原點 個單位；表示7的點在原點的 側(cè)，距原點 個單位；兩點之間的距離為 個單位長度。到原點距離 為5的數(shù)有 個，它們是 。3. 在數(shù)軸上，把表示3的點沿著數(shù)軸向負方向移動5個單位，則及此位置相對應的數(shù)是 。4. 最小的正整數(shù)是；絕對值最小的有理數(shù)是。絕對值等于3的數(shù)是。 絕對值等于本身的

9、數(shù)是 5. 到原點的距離不大于3的整數(shù)有 個，它們是： 。6. 下列說法錯誤的是（ ） A.沒有最大的正數(shù)，卻有最大的負數(shù) B.數(shù)軸上離原點越遠，表示數(shù)越大C.0大于一切非負數(shù) D.在原點左邊離原點越遠，數(shù)就越小7. 下列結(jié)論正確的有（ ）個： 規(guī)定了原點，正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸 最小的整數(shù)是0 正數(shù)，負數(shù)和零統(tǒng)稱有理數(shù) 數(shù)軸上的點都表示有理數(shù) A.0 B.1 C.2 D.38. 在數(shù)軸上，A點和B點所表示的數(shù)分別為2和1，若使A點表示的數(shù)是B點表示的數(shù) 3倍，應把A點 （ ）A.向左移動5個單位 B.向右移動5個單位C.向右移動4個單位 D.向左移動1個單位或向右移動5個單位9. 一個

10、數(shù)的相反數(shù)大于它本身，這個數(shù)是 （） 正數(shù) 負數(shù) 非負數(shù)10. 以下關系一定成立的是 （） 若,則 .若, 則0 . 若0,則 .若 >, 則b.11. 的相反數(shù)是 ( ) A B C D212. 在數(shù)軸上畫出下列各點，它們分別表示：+3， 0， ， 1，1.25 并把它們用“>”連接起來。13.某電訊養(yǎng)護小組乘車沿南北向公路巡視維護。某天早晨從A地出發(fā)，晚上最后到達B地。約定向北為正方向，當天的行駛記錄如下（單位：千米）：，。問：（1）B地在A地的何方，相距多少千米？（2）若汽車行駛每千米耗油a升，求該天耗油多少升？第二講 有理數(shù)的運算一、知識點歸納1、 有理數(shù)加法法則 同號兩數(shù)

11、相加，取相同的符號，并把絕對值相加。 絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減 去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。 一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。2、 有理數(shù)加法符號確定 正數(shù)+正數(shù)=正數(shù) 負數(shù)+負數(shù)=負數(shù) 正數(shù)的絕對值大于負數(shù)的絕對值那么：正數(shù)+負數(shù)=正數(shù) 正數(shù)的絕對值小于負數(shù)的絕對值那么：正數(shù)+負數(shù)=負數(shù)3、有理數(shù)的加法運算定律： 加法交換律：兩個數(shù)相加，交換兩個加數(shù)的位置和不變。 加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變4、有理數(shù)減法法則：即減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。 有理數(shù)的減法可以轉(zhuǎn)化為加法來進行。5、 有理

12、數(shù)的乘法法則： 兩個數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。 任何數(shù)同零相乘都得零。 注：（1）兩個負數(shù)相乘積為正數(shù)。 （2）多個不是零的數(shù)相乘時，負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)；負因數(shù)的個數(shù) 是偶數(shù)時，積為正數(shù)。6、 有理數(shù)的乘法法運算定律： 乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。 乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先乘前兩個數(shù)，或者先兩個數(shù)相乘，積相等。乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別和這兩個數(shù)相乘，再把積相 加 。注：(1)可以寫成或。當用字母表示乘數(shù)時，“”可以寫成點“”或者省略。 (2)乘法分配律反過來也要求會靈活運用。（3）當括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后式子

13、各項的符號及原括號內(nèi)的相應各項的符號相反。7、有理數(shù)的除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。 除法可以轉(zhuǎn)化為乘法計算。分數(shù)可以理解為分子除以分母。8、乘方的概念：n個相同因數(shù)的積的運算。 理解：（1）n個相同因數(shù)a相乘記作，讀作的n次方。叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)， 乘方的結(jié)果叫做冪。 （2）一個數(shù)可以看做是本身的1次方。 （3）利用有理數(shù)的乘法運算來進行乘方運算。負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶 次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。0的任何正整數(shù)次冪是0。 （4）注意9、有理數(shù)混合運算順序：（1）先乘方，再乘除，最后加減（2） 同級運算，從左往右進行（

14、3） 如右括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行10、近似數(shù)：接近實際數(shù)字，但是及實際數(shù)字還是有差別，這個數(shù)是一個近似數(shù)11、科學計數(shù)法：把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有1位的數(shù)，n是正整數(shù)）12、有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一位非零數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字。 注意：0.30是兩個有效數(shù)字。1500是四個有效數(shù)字。2、 典型例題例1：計算例2：例3：例4：例5：計算：例6、下列說法正確的是（ ）. A.零除以任何數(shù)都等于零 B.兩數(shù)相除等于把它們顛倒相乘 C.一個不等于零的有理數(shù)除以它的相反數(shù)等于1 D.商一定小于被除數(shù)例7：例8

15、：如果a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，求的值。三、鞏固訓練1、 填空題：1已知3a是一個負數(shù)，則a是 數(shù).2； .3當n是奇數(shù)時，= ;當n是偶數(shù)時，.4絕對值不大于2005的所有整數(shù)的和是 ,積是 .5若=35，且異號，則 ；若互為倒數(shù)，互為相反數(shù)，則223 6-2的倒數(shù)是 ，-0.2的負倒數(shù)是 ；被除數(shù)是-5，除數(shù)是-的倒數(shù)，則商是 ; -1的絕對值及的和是 7（1）若<0<0,則a 0. （2）若<0>0,則b 0 8（1）若a>0,則= ；若a<0,則= .（2）如果>0,>0,那么 0.9. 在-,中,最大的數(shù)是 .10. 已知0，則

16、= .二、選擇題：11. 下列運算結(jié)果為負數(shù)的是（ ）。 11(-2) B.0(-1) C.(-6)÷4 D.(-7)+1812. 下列說法不正確的是（ ）。A.互為相反數(shù)的兩數(shù)絕對值相等 B.互為相反數(shù)的兩數(shù)和是0C.互為相反數(shù)的兩數(shù)如果有商，那么商一定是-1 D.互為相反數(shù)的兩數(shù)積是113. 的意義（n為正整數(shù)）是（ ）。 A.10個n相乘所得的積 B.表示一個1后面有n個0的數(shù) C.表示一個1后面有（1）個0的數(shù) D.表示一個1后面有（1）個0的數(shù)14若>0,則（） 都為正.都為負同號異號15下列運算錯誤的是（ ）。 A.(-3)=3(-3) 5(-)5（-2） C.8-

17、（-2）=8+2 D.2-7=（+2）+（-7）16下列說法正確的是（ ）。 A.有理數(shù)m的倒數(shù)是 B.任何正數(shù)都大于它的倒數(shù) C.小于1的數(shù)的倒數(shù)一定大于1 D.若兩數(shù)的商位正，則這兩數(shù)同號17如果四個有理數(shù)之和的是4，其中三個數(shù)是-12，-6,9，則第四個數(shù)是（ ）。 9 B.15 18 D.2118已知<,則有（ ）。 <0 <b<0 >0<0 <0<b19下列各數(shù)中及相等的是（ ）。 A. B. C. D.20下列運算結(jié)果不一定為負數(shù)的是（ ）。A.異號兩數(shù)相乘 B.異號兩數(shù)相除 C.異號兩數(shù)相加 D.奇數(shù)個負因數(shù)的乘積21. 關于0，下

18、列說法不正確的是（ ）。A.0有相反數(shù) B.0有絕對值 C.0有倒數(shù) D.0是絕對值和相反數(shù)相等的數(shù)22. 某數(shù)的平方是，則這個數(shù)的立方是（ ）。 A. B. C.或 8或-823計算的結(jié)果是（ ）。 A.1 2 D. 24n為正整數(shù)時，的值是（ ）。A.2 2 C.0 D.不能確定25. 如果兩個有理數(shù)的積小于零，和大于零，則這兩個有理數(shù)（ ）。 A.符號相反 B.符號相反且負數(shù)的絕對值大 C.符號相反且絕對值相等 D.符號相反且正數(shù)的絕對值大3、 計算題：26（1）0(-1000)； （2）（-3）（5）；（3）； (4)（-56）（-32）+（-44）32；（5）)(-; （6）12；（

19、7）； (8) (9) （10) (-8) (+3)(-)(-1);(11) (12) 4、 解答題：27已知=5，=2<0.求：（1）32b的值；（2）的值。 （1）解：=5， .=2, .<0, 當 時， ,當 時， .32 或32 .(2)解： .32b的值為 ，的值為 。28小亮的爸爸在一家合資企業(yè)工作，月工資2500元。按規(guī)定：其中800元是免稅的，其余部分要繳納個人所得稅，應納稅部分又要分為兩部分，并按不同稅率納稅，即不超過500元的部分按5%的稅率納稅，超過500元不超過2000元的部分則按10%的稅率納稅。你能算出小亮的爸爸每月要繳納個人所得稅多少元嗎？4、 自我檢

20、測一、選擇題 1若，那么下面正確的是（ ） A、B、C、D、 2若，則是（ ） A、正數(shù)B、負數(shù)C、整數(shù)D、任意有理數(shù) 3如果一個數(shù)的平方等于它的絕對值，那么這個數(shù)是（ ）A、1B、0C、1D、1，0，14下面四個命題中，正確的是（ ） A、若，則B、若，則 C、若，則D、若，則5下列運算中，正確的是（ ） A、155=10 B、 C、 D、二、計算題 134+191223. 4.第三講 整式的加減一知識歸納 1單項式：在代數(shù)式中，若只含有乘法（包括乘方）運算?；螂m含有除法運算，但除式中不含字母的一類代數(shù)式叫單項式.2單項式的系數(shù)及次數(shù)：單項式中不為零的數(shù)字因數(shù)，叫單項式的數(shù)字系數(shù)，簡稱單項式

21、的系數(shù)；系數(shù)不為零時，單項式中所有字母指數(shù)的和，叫單項式的次數(shù). 注：（1）單項式的系數(shù)包含符號。（2）1可以省略不寫。（3）單項式a的次數(shù)是1而不是0.（4）單項式的次數(shù)是3而不是2.3多項式：幾個單項式的和叫多項式.（所有多項式的項包括它前面的符號）4多項式的項數(shù)及次數(shù)：多項式中所含單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù)，每個單項式叫多項式的項；多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)； 注意：（若a、b、c、p、q是常數(shù)）和是常見的兩個二次三項式.5整式：凡不含有除法運算，或雖含有除法運算但除式中不含字母的代數(shù)式叫整式.整式分類為： .6、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的單項式是同

22、類項.（同類項及系數(shù) 無關，及字母的排列順序無關）7.合并同類項法則：系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)不變.8去（添）括號法則：去（添）括號時，若括號前邊是“+”號，括號里的各項都不變號；若括號前邊是“-”號，括號里的各項都要變號.9整式的加減：整式的加減，實際上是在去括號的基礎上，把多項式的同類項合并.10.多項式的升冪和降冪排列：把一個多項式的各項按某個字母的指數(shù)從小到大（或從大到 ?。┡帕衅饋?，叫做按這個字母的升冪排列（或降冪排列）. 注意：多項式計算的最后結(jié)果一般應該進行升冪（或降冪）排列.2、 典型例題例1： 已知當2時，代數(shù)式的值等于5，求當1時這個代數(shù)式的值. 補例練習 1、如果時，求

23、代數(shù)式的值. 2、已知3,求代數(shù)式3的值。例2 ： 1 和 統(tǒng)稱整式；2單項式 的系數(shù)是 ，次數(shù)是 ；-是 次單項，數(shù)是 ；的次數(shù)是 ，系數(shù)是 。 3當時，整式x2a1是單項式4多項式x3y2229是次項式，其中最高次項的系數(shù)是 ，二次項是 ，常數(shù)項是 5組成多項式1x2y23的單項式分別是 6的一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 ；7整式，3xy2,23x2y,a,1中 單項式有 ，多項式有 .8設某數(shù)為x，10減去某數(shù)的2倍的差是 ；9把代數(shù)式2a2b2c和a3b2的相同點填在橫線上：（1）都是 式；（2）都是 次10如果整式(m2n)x25是關于x和y的五次單項式，則 .例3：1、 試判斷下列各組單項式是否是同類項： 及 ；及； 及 2、下列各題合并同類項的結(jié)果是否正確？例4：求多項式及的和。例5：如果是同類項且m及n互為倒數(shù)，求的值。例6：化簡求值 1），其中 2），其中1為正整數(shù)。例7：當x>0<0時，化簡 1） 2）例8：已知，求得值。例9：證明的值及m無關。三、鞏固訓練1、用代數(shù)式表示a及-5的差的2倍是( ) A、(-5)×2 B、(-5)×2 C、2(5） D、2(5）2、用字母表示有理數(shù)的減法法則是（ ） A、 B、() C、 D、()3、某班共有學生x人，其中女生人數(shù)占35，那么男生人數(shù)是（ ） A、35x B、