江蘇省南京市、鹽城市2015屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)

1、南京市、鹽城市2015屆高三年級(jí)第一次模擬考試一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.1設(shè)集合，集合，若，則 .答案：12若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù) .答案：13在一次射箭比賽中，某運(yùn)動(dòng)員次射箭的環(huán)數(shù)依次是，則該組數(shù)據(jù)的方差是 .答案：4甲、乙兩位同學(xué)下棋，若甲獲勝的概率為，甲、乙下和棋的概率為，則乙獲勝的概率為 .答案：解讀：為了體現(xiàn)新的考試說明，此題選擇了互斥事件，選材于課本中的習(xí)題。5若雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則 .i1S0While i8 ii + 3 S2i + SEnd WhilePrint SEND第6題圖答案：6運(yùn)行如圖所示的程序后，

2、輸出的結(jié)果為 .答案：42解讀：此題的答案容易錯(cuò)為22。7若變量滿足，則的最大值為 .答案：88若一個(gè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面積是底面積的倍，則該圓錐的體積為 .答案：9若函數(shù)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為，且該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則 .答案：10若實(shí)數(shù)滿足，且，則的最小值為 .答案：411設(shè)向量，則“”是“”成立的 條件 (選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .答案：必要不充分12在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)滿足，則 .答案：解讀：方法1：（平面向量數(shù)量積入手），即：，整理化簡(jiǎn)得：，過點(diǎn)作的垂線交于，則，得，又圓心到

3、直線的距離為，所以，所以，.方法2：（平面向量坐標(biāo)化入手）設(shè)，,由得，則由題意得，聯(lián)立直線與圓的方程，由韋達(dá)定理可解得：.方法3：（平面向量共線定理入手）由得，設(shè)與交于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線。由與互補(bǔ)結(jié)合余弦定理可求得，過點(diǎn)作的垂線交于，根據(jù)圓心到直線的距離為，得，解得，.13已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù). 如果對(duì)于，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .答案：14已知數(shù)列滿足，若數(shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .答案：（ 說明：本答案也可以寫成）二、解答題：15在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)銳角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，將射線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn). 記.

4、xyPQO第15題圖（1）求函數(shù)的值域；（2）設(shè)的角所對(duì)的邊分別為，若，且，求.解：（1）由題意，得， 4分所以， 6分因?yàn)?，所以，? 8分（2）因?yàn)?，又，所以?10分在中，由余弦定理得，即，解得. 14分（說明：第（2）小題用正弦定理處理的，類似給分）BACDB1A1C1D1E第16題圖O16(本小題滿分14分)如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）求證：平面平面.證明（1）：連接，設(shè)，連接， 2分因?yàn)镺，F(xiàn)分別是與的中點(diǎn)，所以，且，BACDB1A1C1D1EFO又E為AB中點(diǎn)，所以，且，從而，即四邊形OEBF是平行四邊形，所以， 6分又面，面，所以面. 8分（2）

5、因?yàn)槊?，面，所以?10分BACDB1A1C1D1E第16題圖又，且面，所以面，12分而，所以面，又面，所以面面. 14分17在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右xyOlABFP第17題圖·準(zhǔn)線方程為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它與橢圓相交于另一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，試確定直線的斜率.解：（1）由題意知，直線的方程為，即， 2分右焦點(diǎn)到直線的距離為， 4分又橢圓的右準(zhǔn)線為，即，所以，將此代入上式解得，橢圓的方程為； 6分（2）由（1）知， 直線的方程為， 8分聯(lián)立方程組，解得或（舍），即， 12分直線的斜率

6、. 14分其他方法：方法二: 由（1）知， 直線的方程為，由題，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，代入橢圓解得：或，又由題意知，得或，所以.方法三：由題，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，所以,，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有，即，解得或，又由題意知，得或，所以.第18題-甲xyOABCD第18題-乙E·F18某地?cái)M模仿圖甲建造一座大型體育館，其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓線如圖乙所示：曲線是以點(diǎn)為圓心的圓的一部分，其中（，單位：米）；曲線是拋物線的一部分；，且恰好等于圓的半徑. 假定擬建體育館的高米.（1）若要求米，米，求與的值；（2）若要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過

7、米，求的取值范圍；（3）若，求的最大值.（參考公式：若，則）解：（1）因?yàn)?，解? 2分 此時(shí)圓，令，得， 所以，將點(diǎn)代入中，解得. 4分（2）因?yàn)閳A的半徑為，所以，在中令，得，則由題意知對(duì)恒成立， 8分所以恒成立，而當(dāng)，即時(shí)，取最小值10，故，解得. 10分（3）當(dāng)時(shí)，又圓的方程為，令，得，所以，從而， 12分又因?yàn)?，令，得?14分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，從而當(dāng) 時(shí)，取最大值為25.答：當(dāng)米時(shí)，的最大值為25米. 16分（說明：本題還可以運(yùn)用三角換元，或線性規(guī)劃等方法解決，類似給分）19設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)于正整數(shù)（），

8、求證：“且”是“這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件；（3）設(shè)數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都有，且集合中有且僅有3個(gè)元素，試求的取值范圍.解：（1）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，又，； 4分（2）（）必要性：設(shè)這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，若，則， . 6分若，則，左邊為偶數(shù)，等式不成立，若，同理也不成立，綜合，得，所以必要性成立. 8分（）充分性：設(shè)，則這三項(xiàng)為，即，調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列，所以充分性也成立.綜合（）（），原命題成立. 10分（3）因?yàn)?，即，?）當(dāng)時(shí)，（*）則（*）式兩邊同乘以2，得，（*）（*）（*），得，即，又當(dāng)時(shí)，即，適合，.14分，時(shí)，即；時(shí)，此時(shí)單

9、調(diào)遞減，又，. 16分20已知函數(shù)，.（1）設(shè). 若函數(shù)在處的切線過點(diǎn)，求的值； 當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，且，求證：當(dāng)時(shí)，.解：（1）由題意，得，所以函數(shù)在處的切線斜率， 2分又，所以函數(shù)在處的切線方程，將點(diǎn)代入，得. 4分（2）方法一：當(dāng)，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以只需，解得，從而. 6分當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上有最小值為，令，解得，所以. 綜上所述，. 10分方法二：當(dāng)， 當(dāng)時(shí)，顯然不成立；當(dāng)且時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又，由題意知. （3）由題意，而等價(jià)于

10、， 令， 12分則，且，令，則，因， 所以， 14分所以導(dǎo)數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即. 16分CABDP第21-A題圖附加題答案21. A、（選修41：幾何證明選講）如圖，已知點(diǎn)為的斜邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且與的外接圓相切，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若，求線段的長(zhǎng).解：由切割線定理，得，解得，所以，即的外接圓半徑，5分記外接圓的圓心為，連，則，在中，由面積法得，解得. 10分B、（選修42：矩陣與變換）求直線在矩陣的變換下所得曲線的方程.解：設(shè)是所求曲線上的任一點(diǎn)，它在已知直線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則，解得， 5分代入中，得，化簡(jiǎn)可得所求曲線方程為. 10分C、（選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

11、）在極坐標(biāo)系中，求圓的圓心到直線的距離.解：將圓化為普通方程為，圓心為， 4分又，即，所以直線的普通方程為， 8分故所求的圓心到直線的距離. 10分D、解不等式.解：當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得； 3分當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得； 6分當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得； 9分所以原不等式的解集為. 10分CABPB1C1A1第22題圖22（本小題滿分10分）如圖，在直三棱柱中，動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)時(shí)，.（1）求棱的長(zhǎng)；（2）若二面角的大小為，求的值.解：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以， 2分當(dāng)時(shí)，有解得，即棱的長(zhǎng)為. 4分（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，6分又平面與軸垂直，所以平面的一個(gè)法向量為，因二面角的平面角的大小為，所以，結(jié)合，解得. 10分23設(shè)集合，是的兩個(gè)非空子集，且滿足集合中的最大數(shù)小于集合中的最小數(shù)，記滿足條件的集合對(duì)的個(gè)數(shù)為.（1）求的值；（2）求的表達(dá)式.解：（1）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)