第2章 連續(xù)信號(hào)處理

1、測(cè)試信號(hào)分析與處理測(cè)試信號(hào)分析與處理課程課程 第二章第二章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析第三節(jié)第三節(jié) 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號(hào)分析采樣信號(hào)分析 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析v信號(hào)分析就是要研究信號(hào)如何表示為各分量的疊信號(hào)分析就是要研究信號(hào)如何表示為各分量的疊加，并從信號(hào)分量的組成情況去考察信號(hào)的特性。加，并從信號(hào)分量的組成情況去考察信號(hào)的特性。 v只要知道周期信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的特性，也就可只要知道周期信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的特性，也就可以了解到它所具有的

2、全部特性。所以，對(duì)周期信以了解到它所具有的全部特性。所以，對(duì)周期信號(hào)的研究往往是在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行。號(hào)的研究往往是在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行。 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析v一個(gè)信號(hào)也可以對(duì)于某一基函數(shù)集找出此信號(hào)在一個(gè)信號(hào)也可以對(duì)于某一基函數(shù)集找出此信號(hào)在各基函數(shù)中的分量；各基函數(shù)中的分量；v一個(gè)基函數(shù)集即可構(gòu)成一個(gè)信號(hào)空間，常用的則一個(gè)基函數(shù)集即可構(gòu)成一個(gè)信號(hào)空間，常用的則是是正交函數(shù)集正交函數(shù)集 。v從數(shù)學(xué)上可以證明，任何一個(gè)連續(xù)函數(shù)都可以在從數(shù)學(xué)上可以證明，任何一個(gè)連續(xù)函數(shù)都可以在定義域里用某個(gè)正交函數(shù)集來表示。定義域里用某個(gè)正交函數(shù)集來表示。v若此函數(shù)集不僅是若此函數(shù)集不僅是正交而且完

3、備正交而且完備，則用他來表示，則用他來表示信號(hào)時(shí)將沒有誤差。信號(hào)時(shí)將沒有誤差。 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析（一）用完備正交實(shí)變函數(shù)集來分解信號(hào)v函數(shù)f(t)與g(t)在區(qū)間 上正交的條件是v例例2-12-1在 內(nèi)， 與 是正交的。v兩個(gè)函數(shù)是否正交，必須指明在什么區(qū)間內(nèi)。21( ) ( )0ttf t g t dt 21tt，t1sint1cos/201 第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析（二）用完備正交復(fù)變函數(shù)集來分解信號(hào)復(fù)變函數(shù)集 ,r=1,2,.,n在區(qū)間 上是正交函數(shù)集的條件是v例例2-2若 ，在 內(nèi)，指數(shù)函數(shù)集 是正交函數(shù)集。證明：v三角函數(shù)集三角函數(shù)集和指數(shù)函數(shù)集指

4、數(shù)函數(shù)集是應(yīng)用最廣的完備正交集。21tt，)(tgrjikjidttgtgdttgtgttjittji，0)()()()(2121*111Ttt，112T2101，netjnmnmnTdteedteetjmTtttjntjmTtttjn，0)(1*第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析一、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)一、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 用完備正交函數(shù)集對(duì)周期信號(hào)分解，即可得到周期信號(hào)的傅里葉展開式。進(jìn)行傅立葉展開的周期函數(shù)進(jìn)行傅立葉展開的周期函數(shù)f(tf(t) )必須滿足必須滿足狄里赫利狄里赫利（DirichletDirichlet）條件）條件，即即在周期 內(nèi)，函數(shù)f(t)1）若有間斷點(diǎn)

5、存在，則間斷點(diǎn)數(shù)目必須有限； 2）極大值和極小值數(shù)目應(yīng)該是有限個(gè)； 3）應(yīng)是絕對(duì)可積的，即 在工程實(shí)踐中所遇到的周期信號(hào)一般都滿足狄里赫利條件。 , 3 , 2 , 1sincos111ntntn，111Ttt，dttfTtt111)(第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析周期信號(hào)f(t)的三角級(jí)數(shù)形式的傅立葉展開式其中，0112111210111( )coscos2sinsin2(cossin)nnnf taatatbtbtaantbnt1111111110111111( )2( )cos (1, 2, 3, , )2( )sin tTttTnttTntaf t dtTaf tntdtnTb

6、f tntdtT111T第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析例例2-3 2-3 周期矩形脈沖信號(hào)，如圖所示。他在區(qū)間內(nèi)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 1, /2( )0, /2/2Etf ttT11/2, /2TT第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析二、指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)二、指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)在在 內(nèi)可以用指數(shù)函數(shù)集來表示周期信號(hào)內(nèi)可以用指數(shù)函數(shù)集來表示周期信號(hào)f(tf(t) )。式中式中 111Ttt，11111( )() jntnf tF netttT 111111111111111( )1()( )tTjnttTtjnttTtjntjnttf t edtF nf t edtT第一節(jié)第一節(jié)

7、 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析例例2-4 2-4 周期對(duì)稱方波如圖所示。它在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為111, /4( ), /4/2EtTf tETtT第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析三、三、 周期信號(hào)的功率譜周期信號(hào)的功率譜信號(hào)能量信號(hào)能量能量有限信號(hào)能量有限信號(hào) ：平均功率：平均功率：功率有限信號(hào)：信號(hào)功率有限信號(hào)：信號(hào)f(tf(t) )在時(shí)間（在時(shí)間（-,+）上的平）上的平均功率均功率 2( )Ef tdt/22/21lim( )TTTPf tdtT2( )f tdt 212211( )TTPf tdtTT第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析v周期信號(hào)f(t)的平均功率與傅里葉系數(shù)有右示

8、關(guān)系 v這是周期信號(hào)的帕斯瓦爾（Parseval）公式。它說明周期信號(hào)的平均功率等于直流、基波和各次諧波分量有效值的平方和。v 與 的關(guān)系圖，稱為周期信號(hào)的功率譜,表示信號(hào)各次諧波分量的功率分布規(guī)律。 1112122201220121( )1()212tTtnnnnnnnPft dtTaabccF第一節(jié)第一節(jié) 周期信號(hào)分析周期信號(hào)分析四、周期信號(hào)頻譜的基本性質(zhì)四、周期信號(hào)頻譜的基本性質(zhì) v線性線性 v延時(shí)性延時(shí)性 v頻移特性頻移特性 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析一、信號(hào)的卷積一、信號(hào)的卷積v任意一個(gè)函數(shù)任意一個(gè)函數(shù)都可以分解為一系列矩形窄脈沖分量之和。v卷積積分 dt

9、ffdtfftftf)()()()()()(第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析卷積積分的圖解法卷積積分的圖解法 v變量置換、折疊、移位變量置換、折疊、移位 )(1tft0-11a)(2tft012)(tf)(tf0-2-11b)(2f)(第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析v相乘、積分相乘、積分第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析二、二、 非周期信號(hào)的傅里葉變換非周期信號(hào)的傅里葉變換v頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)v原函數(shù)原函數(shù) 111111/2/2( )limlim( )( )nTTjntTTj

10、tFT Ff t edtf t edt1110( )( )lim()21( )2jntnnjntnj tf tF eFdeF第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析v傅立葉正變換傅立葉正變換v傅立葉反變換傅立葉反變換 ( ) ( )( )j tFf tf t edtF1( ) ( )( )2j tf tFFed-1F第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析三、典型非周期函數(shù)的傅里葉變換三、典型非周期函數(shù)的傅里葉變換v單位沖激函數(shù)的傅里葉變換單位沖激函數(shù)的傅里葉變換 v單邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換單邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換 式中，式中， 0 ( )( )( )1j tjtt

11、 edtt edtF0, 0( ), 0attf tet02222() ( )1( )atj tjf teedtajajaaFe F221( )( )arctan()Faa 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析v單位階躍函數(shù)的傅里葉變換單位階躍函數(shù)的傅里葉變換 由于 時(shí)，u(t)不符合絕對(duì)可積條件，即不存在 ，不能直接進(jìn)行傅里葉變換。為了解決這問題，可以由單邊指數(shù)函數(shù)的極限狀態(tài)來逼近函數(shù)u(t)。 t ( )u t dt0lim1, 0( )0, 0ataetu 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析 222202 ( )lim1( )1( )ajau tja

12、aje F第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析v復(fù)指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換復(fù)指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換 該函數(shù)不符合絕對(duì)可積條件，可借助于沖激函數(shù)的傅里葉變換對(duì) 。 0( )jtf te0()002()2()jtedt 1( )12j tted-1F2( )j 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析 002()jte F000cos ()()t 000sin ()()tj 第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析四、傅里葉變換的性質(zhì)四、傅里葉變換的性質(zhì)（一）線性特性（一）線性特性若若則則（二）對(duì)稱特性（二）對(duì)稱特性若若有有（三）延時(shí)特性（三）延時(shí)特性若若有

13、有 ( )( ) 1, 2, 3,n iiiia f ta FiF 11( )( ) nniiiiiia f ta FF ( )( ) f tFF ( )2() F tfF( )( ) f tFF00()( )j tf tteF第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析（四）頻移特性（四）頻移特性若若有有（五）時(shí)間尺度變化（五）時(shí)間尺度變化若若有有( )( ) f tFF00( )()j tf t eF1010101 ( )cos=()()2f ttFFF ( )( ) f tFF1()()f atF第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析（六）奇偶虛實(shí)性（六）奇偶虛

14、實(shí)性當(dāng)當(dāng) 為實(shí)函數(shù)時(shí)為實(shí)函數(shù)時(shí)（七）微分特性（七）微分特性若若則則-( ) ( )( )cos( )sin( )( )j temFf t edtf ttdtjf ttdtRjI( )()( )()eemmRRII ( )f t ( ) ( )f tFF( ) (j )( )nnnd f tFdtF第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析（八）積分特性（八）積分特性若若 ，且滿足，且滿足 在在 處是有界處是有界的，或滿足的，或滿足 ，則，則否則否則（九）時(shí)域卷積定理（九）時(shí)域卷積定理 ( ) ( )f tFF( )/F(0)0F01( ) ( )tfdFjF1( ) (0) ( )

15、 ( )tfdFFj F1212 ( )( ) ( )( )f tf tFFF第二節(jié)第二節(jié) 非周期信號(hào)的頻域分析非周期信號(hào)的頻域分析（十）頻域卷積定理（十）頻域卷積定理（十一）相關(guān)定理（十一）相關(guān)定理12121 ( )( ) ( )( )2f t f tFFF1212()( )( )()f tfdFFF第三節(jié)第三節(jié) 周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)的傅立葉變換v周期信號(hào)是不滿足絕對(duì)可積條件的，為了解決這個(gè)周期信號(hào)是不滿足絕對(duì)可積條件的，為了解決這個(gè)問題，我們可同樣借助于復(fù)指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換問題，我們可同樣借助于復(fù)指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換對(duì)。對(duì)。 傅立葉級(jí)數(shù)展開式式中，兩邊傅立葉變換 1( )jntT

16、nnftF e111/2/211( )TjntnTTFft edtT11( )jntTnnjntnnftF eFeFFF1( )2()TnnftFn F第三節(jié)第三節(jié) 周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)的傅立葉變換v周期信號(hào)傅里葉變換所得到的是頻譜密度函數(shù)，在這里它是沖激函數(shù)，它表示在無窮小頻帶范圍內(nèi)（即諧頻點(diǎn)）取得了無限大的頻譜值，而不像傅里葉級(jí)數(shù)的相應(yīng)系數(shù)所表示的是諧頻分量的幅值。v例例2-52-5 求周期為 的周期單位沖激函數(shù) 的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。v討論周期為 的矩形脈沖信號(hào) 與它一個(gè)周期內(nèi)的信號(hào) 的傅里葉變換間的關(guān)系。 ( )Tt1T1T( )Tft0( )f 第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號(hào)分析

17、采樣信號(hào)分析 一、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣過程 第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號(hào)分析采樣信號(hào)分析v連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)理想采樣后，其理想采樣信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)理想采樣后，其理想采樣信號(hào) 的頻譜的頻譜 的幅值將是連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜的幅值將是連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜 的的 倍，并倍，并 從開始，沿頻率軸正、負(fù)方從開始，沿頻率軸正、負(fù)方向，每隔一個(gè)采樣頻率向，每隔一個(gè)采樣頻率 重復(fù)一次。重復(fù)一次。 )(tfa)(aF( )aF1/sT第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號(hào)分析采樣信號(hào)分析二、時(shí)域采樣定理（香農(nóng)采樣定理）二、時(shí)域采樣定理（香農(nóng)采樣定理） v“頻率混迭”現(xiàn)象 v香農(nóng)采樣定理 要使采樣信號(hào)的頻譜不出現(xiàn)頻率混迭就必須要求： 連續(xù)時(shí)間信號(hào)必須是帶限信號(hào)； 采樣器的采樣頻率必須滿足 v實(shí)際工程應(yīng)用中，采樣頻率一般大于連續(xù)時(shí)間信號(hào)中最高頻率的2倍，可選4倍10倍。 第四節(jié)第四節(jié) 采樣信號(hào)分析采樣信號(hào)分析三、采樣信號(hào)的恢復(fù)三、采樣信號(hào)的恢復(fù) 低通濾波器特性 v采樣信號(hào)頻譜經(jīng)過該理想濾波器后，就可以得到原連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜。再由 恢復(fù)的連續(xù)時(shí)間信號(hào) , 2( )0, 2sssTG)()()()(aaFGFY( )aF(