等邊三角形專題

1、環(huán)球雅思學科教師輔導教案學員編號：年級：八年級課時數(shù)：3 課時學員姓名：輔導科目：數(shù)學學科教師：授課題目等邊三角形專題星級教學內容等邊三角形練習題1. （2012?深圳）如圖，已知：/ MON=30，點 A、A、A 在射線ON 上，點 8、B、&在射線 OM, A1B1A、 ABA、 AB3A4均為等邊三角形，若 OA=1,則厶AB6A的邊長為（ ）A6B.12C. 32D.642. （2012?涼山州）如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個 角后得到一個四邊形，則圖中/a+/B的度數(shù)是（）A. 180B.220C. 240D.3003. （2012?荊門）如圖， ABC 是等邊三角形，P

2、 是/ ABC 的平分線 BD 上一點，PE 丄 AB 于點 E,線段 BP 的垂直平分線交BC 于點 F,垂足為點 Q.若 BF=2,則 PE 的長為（）A. 2B.2 岳C.D.34. （2011?南平）邊長為 4 的正三角形的高為（）A. 2B.4C.D.5.（ 2010?隨州）如圖，過邊長為 1 的等邊 ABC 的邊 AB 上 一點 P,作 PEI AC 于 E, Q 為BC 延長線上一點，當 PA=CQ 寸， 連 PQ 交 AC 邊于 D,貝 U DE 的長為（）A.丄B.丄C.D.不能確定6.（ 2009?攀枝花）如圖所示，在等邊厶 ABC 中,點 D、 E 分 別在邊 BC AB

3、 上， 且 BD=AE AD 與 CE 交于點 F,則/ DFC的度數(shù)為（）A .60B.45C.40D. 307.（2007?綿陽）如圖，在正方形 ABCD 的外側，作等邊厶ADE BE CE 分別交 AD 于 G 巴設厶 CDH GHE 的面積分別為 S、2,則（）A. 3S=2SB. 2S=3SC. 2SpSD.逅 Si=2S& （2007?婁底）如圖， ABC 是邊長為 6cm 的等邊三角形， 被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，則圖中陰影 部分的面積為（）A. 4cm2B.2 亦C.3 亦吊D.3cm9. （2006?天津） 如圖，AC、 B 三點在同一條直線上

4、， DACn EBC都是等邊三角形，AE BD 分別與 CD CE 交于點M N,有如下結論： 厶 ACEADCBCM=CNAC=DN 其 中，正確結論的個數(shù)是（）A. 3 個B.2 個C.1 個0個10. （2006?南寧）如圖是一個等邊三角形木框，甲蟲 P 在 邊框 AC上爬行（A, C 端點除外），設甲蟲 P 到另外兩邊的距 離之和為 d,等邊三角形 ABC 的高為 h,則 d 與 h 的大小關系是（)A. dhB.dvhC. d=hD.無法確定11. （2007?南充）一艘輪船由海平面上 A 地出發(fā)向南偏西 40的方向行駛 40 海里到達 B 地，再由 B 地向北偏西 20 的方向行駛

5、 40海里到達 C 地，貝 U A、C 兩地相距（ ）A. 30 海里B. 40 海里C. 50 海里D. 60 海里12. （2006?曲靖）如圖，CD 是 Rt ABC 斜邊 AB 上的高，將 BCD 沿 CD 折疊，B 點恰好落在 AB 的中點 E 處，則/ A 等于（ ）A. 25B.30C.45D. 6013. （2011?茂名）如圖，已知 ABC 是等邊三角形，點 B、C、D、E 在同一直線上，且 CG=CDDF=DE 則/ E _度.14. （2008?日照）如圖，C 為線段 AE 上一動點（不與點 A, E 重合），在 AE 同側分別作正三角形 ABC 和正三角形 CDEAD

6、與 BE 交于點 Q AD 與 BC 交于點 P, BE 與 CD 交于點 Q,連接PQ 以下五個結論： AD=BEPQ/ AEAP=BQ DE=DP/AOB=60 度.恒成立的結論有 _ .（把你認為正確的序號都填上）15. （2005?揚州）如圖，將邊長為 4 的等邊 ABC 沿 x 軸 向左平移 2 個單位后，得到AB C,則點 A的坐標為16. （2004?茂名）如圖，正三角形 ABiG 的邊長為 1, AiBiCi的三條中位線組成 ABG, A2B2C2的三條中線又組成 A3B3C3,，如此類推，得到 ABnG.貝（） A3B3C3的邊長 as=_;（2） ABnG 的邊長 an=_

7、 （其中 n 為正整數(shù)）.17. （2006?嘉峪關） ABC 為等邊三角D、E、F 分別在邊 BC CA AB 上，且AE=CD=BF 貝仏 DEF 為三角形.21.（2009?遼陽）如圖， ABC 為正三角形，D 為邊 BA 延 長線上一點，連接 CD 以 CD 為一邊作正三角形 CDE 連接AE,判斷 AE 與 BC 的位置關系，并說明理由.18.（1999?廣州）如圖，以A, B 兩點為其中兩 個頂點作位置不同的等邊三角形，最多可以作出_ 個.占19.如圖所示，P 是等邊三角形 ABC 內一點，將 ABP 繞點 B順時針方向旋轉 60，得到 CBP，若 PB=3 貝 U PP=20.（

8、2009?浙江）如圖，在邊長為 4 的正三角形 ABC 中,AD 丄 BC 于點 D,以 AD 為一邊向右作正三角形 ADE22.（2008?紹興）附加題，學完“幾何的回顧”一章后，老師布置了一道思考題：如圖，點 M N 分別在正三角形 ABC 的 BC, CA 邊上，且 BM=CNAM BN 交于點 Q.求證：/ BQM=6（度.（1 ）請你完成這道思考題；（2）做完（1）后，同學們在老師的啟發(fā)下進行了反思，提 出了許多問題，如：1若將題中“ BM=CN 與“/ BQM=60 ”的位置交換，得到 的是否仍是真命題？2若將題中的點 M N 分別移動到 BC CA 的延長線上，是否 仍能得到/

9、BQM=60 ?3若將題中的條件“點 M N 分別在正三角形 ABC 的 BC CA 邊上”改為“點 M N 分別在正方形 ABCD 勺 BC CD 邊上”, 是否仍能得到/ BQM=60 ?請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：_:_ :_ .并對，的判斷，選擇一個給出證明.23.（2007?河北）在厶 ABC 中，AB=AC CGL BA 交 BA 的延 長線于點 G. 等腰直角三角尺按如圖1 所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為 F，條直角邊與 AC 邊在一條直線上， 另一條直角邊恰好經過點 B.（1）在圖 1 中請你通過觀察、測量 BF 與 CG 的長度，猜想 并寫出 BF 與

10、 CG 滿足的數(shù)量關系，然后證明你的猜想；（2）當三角尺沿 AC 方向平移到圖 2 所示的位置時，一條直 角邊仍與 AC 邊在同一直線上，另一條直角邊交 BC 邊于點 D, 過點 D作DELBA 于點 E.此時請你通過觀察、測量 DE DF 與 CG 的長度，猜想并寫出 DE+DF 與 CG 之間滿足的數(shù)量關系， 然后證明你的猜想；（3） 當三角尺在（2）的基礎上沿 AC 方向繼續(xù)平移到圖 3 所示的位置（點 F 在線段 AC 上,且點 F 與點 C 不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立（不用說明理由）.24.（2004?蘇州）已知：如圖，正 ABC 的邊長為 a, D 為AC 邊上的一個動

11、點，延長 AB至E,使 BE=CD 連接 DE 交BC 于點 P.（1）求證：DP=PE（2）若 D 為 AC 的中點，求 BP 的長.25.（ 2002?黑龍江）已知等邊厶 ABC 和點 P，設點 P 到厶 AB（ 三邊 AB AC BC 的距離分別為 hi、h2、h3, ABC 的高為 h “若 點 P在一邊 BC 上 （如圖 1）,此時 h3=0,可得結論 hi+h2+h3=h” 請直接應用上述信息解決下列問題：（1）當點 P 在厶 ABC 內（如圖 2）,（2）點 P 在厶 ABC 外（如 圖GGC5.fll.0243）這兩種情況時，上述結論是否還成立？若成立，請給你的猜想，不需證明.

12、河南)如圖，點 C、D 在線段 PCD 是等AB上，26. (2000?邊三角形.(1)當 AC CD DB 滿足怎樣的關系時， ACPAPDB的度數(shù).(2)當厶 AC3APDB 時，求/予證明；若不成立，hi、h2、h3與 h 之間的關系如何？請寫出28. (2005?臨沂)如圖，已知 AD 和 BC 交于點 Q 且厶 OAB和厶 QCD 勻為等邊三角形，以 QD 和 QB 為邊作平行四邊形QDEB 連接 AC AE 和 CE CE 和 AD 相交于點 F.求證： ACE 為等邊三角形.29.已知：如圖， ABC CDE 都是等邊三角形， AD BE相交于點 Q,點 M N 分別是線段AD

13、BE 的中點.(1)求證：AD=BE (2)求/ DQE度數(shù);(3)求證： MNC 是等邊三角形.的B30.如圖，等邊 ABC 的邊長為 10,點 P 是邊 AB 的中點，Q 為 BC延長線上一點，CQ BC=1: 2,過 P 作PEAC 于 E,連 PQ 交 AC 邊于D,求 DE 的長？試題解析1. C 2. C 3. C 4. D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13./E= 15 度.14.15. | （-占 23）.16 . a3=; AKG 的邊長 an=（或4嚴21n）17.等邊三角形.18.2 個.19 PP = 3 .20 解：（1）在正 ABC 中，AD=4X

14、 ;；：-；, （2 分）全等三角形 練習參考答案與. S 電 BCXAD=X4X礦=4扭.（3 分）2 2（2） AC DE 的位置關系：AC 丄 DE （1 分）在 CDF 中，I/CDE=90-ZADE=30 , （2 分）/CFD=180-ZC-ZCDE=180-60 -30=90 AC 丄 DE （3 分）（注：其它方法酌情給分）.21 解：AE/ BC 理由如下：.CDE 為正三角形， BC=AC CD=CEZACB=/ DCE=60, ZACB+ZACDZDCEZACD即ZBCD/ACEBCDAACE ZB=ZEACZB=ZACB ZEAC 玄 ACBAE/ BC.22.請你作出

15、判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：是：是：否.并對,的判斷，選擇一個 給出證明.（1）證明：在厶 ABMffiABCN 中,rBJI=NCtAB=BCABMm BCN/ BAM=/ CBN/ BQMhBAQ+ZABQ=/ MBQABQ=60.(2)是；是；否.2的證明：如圖，在厶 ACMfnBAN 中，6 二AN厶口二ZB蜩二 3,tAC=AB ACM BAN/ AMCZBNA/ NQAZNBC+ZBMQZNBCZBNA=180-60=120,/ BQM=60 .3的證明：如圖，在 Rt ABM 和 Rt BCN 中,丫BM=CNAB-BC Rt AB 昨 Rt BCN/ AMBZBNC又

16、/ NBMZBNC=90 ,/ QBMZQMB=90,/ BQM=90，即/ BQ 將 60.23解：(1) BF=CG證明：在厶 ABF 和厶 ACG 中/F=ZG=90，/FAB=ZGAC AB=ACABFA ACG( AAS BF=CG圖L圖2圈耳(2) DE+DF=CG證明：過點 D 作 DHLCG 于點 H (如圖 2)vDEI BA 于點 E,ZG=90, DHLCG四邊形 EDHG矩形 DE=HG DH/ BG/GBCdHDC/AB=AC/FCD 玄 GBCdHDC又/ F=Z DHC=90 , CD=DCFDCAHCD(AAS DF=CH GH+CH=DE+DF=C卩 DE+D

17、F=CG(3)仍然成立.證明：過點 D 作 DHLCG 于點 H (如圖 3)vDELBA于點 E,ZG=90, DHL CG四邊形 EDHG矩形， DE=HG DH/ BQ/GBCdHDCvAB=AC/FCD 玄 GBCdHDC又v/F=ZDHC=90,CD=DCFDCAHCD(AAS DF=CH.GH+CH=DE+DF=CG即 DE+DF=CG24.(1)證明：過點 D 作 DF/ AB,交 BC 于 F. ABC 為正三角形，/ CDF 玄 A=60. CDF 為正三角形.DF=CD又 BE=CD.BE=DF又 DF/ AB,/ PEB=/ PDF.在 DFP 和厶 EBP 中，rZBP

18、E=ZFPDZPEB 二 ZPDF ,LBE=PD.DFPA EBP( AAS.DP=PE(2)解：由(1)得厶 DFPAEBP,可得 FP=BPD 為 AC 中點，DF/ AB BF=BC=a.2 2BP=BF=a.i 425.解：(1)當點 P 在厶 ABC 內時，結論 hi+h2+h3=h 仍然成立. 理由如下：過點 P 作 BC 的平行線，交 AB 于 G,交 AC 于H 交 AM 于 N,則可得結論 hi+h2=AN四邊形 MNPF 是矩形， PF=MN 即 h3=MN hi+h2+h3=AN+MN=AM=h即 hi+h2+h3=h.(2)當點 P 在厶 ABC 外時，結論 h 計

19、h2+h3=h 不成立.此 時，它們的關系是 hi+h2- h3=h.理由如下：過點 P 作 BC 的平行線，與 AB AC AM 分別相交于 G H、N,則可得結論 hi+h2=AN四邊形 MNPF 是矩形， PF=MN 即 h3=MN hi+h2- h3=AN MN=AM=h即 hi+h2- h3=h.26. 解：(1) 當 CD=AC? DB 時， ACPAPDB PCD 是等邊三角形，/PCD 藝 PDC=60 ,/ ACP=/ PDB=120 ,若 CD=AC? DB 由 PC=PD=C0I 得：PC? PD=AC DB 即 =2,BD 盡則根據相似三角形的判定定理得ACPAPDB(

20、2)當厶 ACPAPDB 時，/ APC 玄 PBD/PDB=120/ DPB+/ DBP=60/APC+ZBPD=60/ APB=/ CPD+Z APC+Z BPD=120即可得/ APB 的度數(shù)為 120 .27. 證明：(1)TAACDH BCE 是等邊三角形， AC=DC CE=CBZDCA=60，/ECB=60,/DCAZECB=60,/DCA+ZDCEZECB+ZDCEZACE/DCB在厶 ACE DCB 中,AC二DCT*ZACE；二ZDCB,LCE=CBACEA DCB AE=BD(2)T由(1)得， ACEADCB/ CAMMCDN/ ACDMECB=60，而AC、B 三點共

21、線，/ DCN=60 , ACM 與 DCN 中,rZMAC=ZNDCTT QDC,IZACF=ZDCN=6OCACMA DCN MC=NC/ MCN=60 , MCN 為等邊三角形，/ NMCMDCN=60,/ NMCMDCA MN/ AB.28.證明： OABH OCD 為等邊三角形， CD=OD OB=ABMADCMABO=60.四邊形 ODEB 是平行四邊形， OD=BE OB=DEMCBE 玄 EDO CD=BE AB=DE / ABE=/ CDEABEA EDC AE=CE / AEB=/ ECD BE/ AD/ AEB=/ EAD/ EAD 玄 ECD在厶 AFE 和厶 CFD 中又/ AFE=/ CFD/ AEC=/ ADC=60 . ACE 為等邊三角形.29.解：(1)vABCCDE 都是等邊三角形， AC=BC CD=CE/ ACB=/ DCE=60 ,/ AC