2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)備考講練專題04圓與方程導(dǎo)學(xué)案文

1、專題 04 圓與方程、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過(guò)復(fù)習(xí)幫助同學(xué)們系統(tǒng)掌握本章知識(shí)；2、通過(guò)習(xí)題幫助同學(xué)們熟悉相關(guān)知識(shí)在解題中的應(yīng)用。二、知識(shí)梳理1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（xaf十（yb f = r2，圓心（a, b ），半徑為r；（2 ）一般方程 X亠寸亠Dx亠Ey亠F=0當(dāng)D+E4FAO時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為i_D _.，半徑為=1DE4F（2 2丿22 2 2 2當(dāng)D - E -4F =0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)D - E - 4F : 0時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求

2、。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出 a，b，r ;若利用一般方程，需要求出D, E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設(shè)直線l : Ax By C =0，圓 C : x-a2y -b2=r2，圓心C a,b到I的距離為d =Aa_Bb_C，則有JA2+B2d r= I 與 C 相離；d =r 二 I 與 C 相切；d : r 二 I 與 C 相交（2）設(shè)直線I : Ax By，C=0，圓C : x-a2y-b2二r2，先將方程

3、聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后令其中的判別式為 厶，則有：0= I 與 C 相離；卜：=0二I 與 C 相切；0=I 與 C 相交注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式xxo yy二r去解直線與圓相切的問(wèn)題，其中x,yo表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r 表示半徑。（3）過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：1圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為（xo， yo），則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為xx0 yy0二r2（課本命題）. . 2 2 2. 22圓（x-a） +（y-b） =r，圓上一點(diǎn)為（xo，yo），則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為（xo-a）（x-a）+（yo-b）（y-b）= r（課本命題的推廣）.4、 圓與圓的位置關(guān)系：通過(guò)兩圓半徑的和（

4、差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓G:（x-玄丄j +（y2=r2，C2: （x - a2f + （y b2f = R2兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。當(dāng)d R r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng)d = Rr時(shí)兩圓外切，連心線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)R - r：d：R r時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；三、典型例題. 2 2 2 2例 1.求圓心在直線 3x+ 4y 1 = 0 上，且經(jīng)過(guò)兩圓x+y-x+y 2= 0 與x+y= 5 的交點(diǎn)的圓的方程.【解析】法一：設(shè)所求Hl為*+護(hù)-JC+F-2+弘沖+

5、護(hù)-刀=0,化為一般式，得日+護(hù)-由十七廠掛磁圓沁標(biāo)為帶訝岸韻代入育線3x+4j- 1=0,得廠一亍再把2代入所設(shè)方稈，得2+護(hù)+-即一11=0,故所求圓的方程為嚴(yán)+2r-2K-11-0設(shè)所求圓的方程為0+尸十處+理十40一力=2,解得=-2；二所求圓的方程是+jP+2x-2y-ll=0.片-LL【方法規(guī)律】 用待定系數(shù)法設(shè)圓的方程(圓系方程或一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程)， 根據(jù)條件求系數(shù)。變式練習(xí) 1 .圓心在直線 5x 3y=8 上，且圓與兩坐標(biāo)軸均相切，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2 2 2【答案】(x 4) + (y 4) = 16 或(x 1) + (y+ 1) = 1.當(dāng)d = R -r時(shí)，兩圓

6、內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線;時(shí)，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)d = 0時(shí)，為同心圓。5、空間直角坐標(biāo)系(1)定義：如圖，OBCD DABC是單位正方體.以 A 為原點(diǎn),分別以 OD,OA ,OB 的方向?yàn)檎较颍⑷龡l數(shù)軸x軸.y軸.z軸。 這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)O 叫做坐標(biāo)原點(diǎn) 2 ) x 軸，y 軸，z 軸叫做坐標(biāo)軸.3 )過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。(2)右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤 軸正方向，食指指向?yàn)?y 軸正向，中指指向則為(3)任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)z 軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。M 的坐標(biāo)可

7、以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示，有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)叫做點(diǎn) M 在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M (x, y, z)( x 叫做點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)，y 叫做點(diǎn) M 的縱坐標(biāo),z 叫做點(diǎn) M 的(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式:df 譏2- Xi)2-)2億2 zj2法二：解方程組:;F，得兩圓的交點(diǎn)為如-2映 f1=0上，二-1-0.-1-0.丹在圓上,+斗3【解析】設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為広-研+0網(wǎng)因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)和對(duì)砌，故圓心坐標(biāo)滿足口-網(wǎng)=0或rs4-p) )= 0一又81心在直線5r3p=8上?所以5和抽=&所以圓心坐標(biāo)為(龜4)或(1, -1),相應(yīng)的半徑為曠=4或Q1,故

8、所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(兀-4)卻 3裁=1(5或仗好+ +甲=1-例 2.已知圓M(x 1)2+ (y 1)2= 4，直線I過(guò)點(diǎn) R2,3)且與圓M交于A,B兩點(diǎn)，且|AB= 2擊，求直線I的方I存在斜率時(shí)，設(shè)直線I的方程為y 3 =k(x 2),即kxy+ 3 2k= 0.示意圖如圖，作MCLAB于C.12 2在 RtMBC中, |BC=目AB=l3, |MB= 2, 故 |MC= ；|MB? |BQ2=1,由點(diǎn)到直線的距離公式得|k細(xì)=1,pk2+ 13解得k= 4.故直線I的方程為 3x 4y+ 6 = 0.當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，其方程為x= 2,且|AB= 2 3，所以符合題意.綜上所

9、述，直線I的方程為 3x 4y+ 6= 0 或x= 2.【方法規(guī)律】解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，注意幾何意義的運(yùn)用。變式練習(xí) 2 .已知圓C與圓x2+y2 2x= 0 相外切，并且與直線x+Q3y= 0 相切于點(diǎn)Q3，羽)，求圓 C 的方程. 【答案】(x4)2+y2= 4 或x2+ (y+ 4 3)2= 36.【解析】設(shè)所求圓C的方程為(xa)2+ (yb)2=r2,圓心C(a,b)與 Q3 , 3)的連線垂直于直線x+ 3y= 0,且斜率為3.a12+b2=r+ 1,a=4,a=0,解得b= 0, 或b= 4 3,r= 2r= 6.所求圓的方程為(x 4)2+y2= 4 或x2+ (y+ 4 3)

10、2= 36.由，勒_內(nèi)=0,3yo=S得，xo=4,3=4,由題意得工o+yb= Oj百功_3艸=8,例 3.如圖，圓O與圓Q的半徑都是 1, |OQ| = 4,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓0、圓Q的切線PM PN(M N分別為切點(diǎn))， 使得|PM= ,2|PN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.()Lrp含- 一w W *【解析】如團(tuán)似 6, 6 所在直線為時(shí)乩線段 Q 冋的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系：則6(-2卩嘰 設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(在RtAPMR中，冋押二阿卡一1,在RtZUWGi中削|工=円為卩L又因?yàn)檎讯呄魉鵤ipjwp=2w.即g 卩-1 = 2(|P6F-1),即0OiF+l

11、=2l所臥(工+紓+護(hù) +1二2(耳一紓+護(hù),整理得聲十屮12x+冬=0,即為所求點(diǎn)尸的軌跡方程.變式練習(xí) 3 等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2)，底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5)，求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡【解析】設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y).依題意，得|AQ= |AE|.由兩點(diǎn)間距離公式，得，X 2+y?乞 1 一訃2+ 22,整理得(x 4)2+ (y 2 廣=10.這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，以.10 為半徑的圓，如圖所示，又因?yàn)锳 B、C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以AE、C三點(diǎn)不共線即點(diǎn)B、C不能重合且E、C不能為圓A的一直徑的兩個(gè)端點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)B C不能重合，所以點(diǎn)C不能為(3,5

12、) x+3y-k5又因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能為一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以才 工 4.且 才 工 2,即點(diǎn)C不能為(5 , 1) 故端點(diǎn)C的軌跡方程是(X 4)2+ (y 2)2= 10(除去點(diǎn)(3,5)和(5 , 1) 綜上，它的軌跡是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，.10 為半徑的圓，但除去(3,5)和(5 , 1)兩點(diǎn).例 4.已知實(shí)數(shù) x、y 滿足方程 x2+y2-4x+仁 0.求：(1)y的最大值和最小值；(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.x5【解析】煤方程可化為&切幻乜表示以。)為圓心心為半徑的圓.(D上的幾何青義罡圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)上4,即尸heX

13、XX X當(dāng)直線尸皿與圓相切時(shí)，斜率取最大值和最小值，此時(shí)真巴二禺解得k二士擊,Jx +1所以的最犬值是& ,最小值是-書(shū)-X X廠X可看作是直線尸也在Y軸上的截距，當(dāng)直線尸0b與圓相切時(shí)，縱載距取得最大:值和最小值 此時(shí)卩莒創(chuàng)=季t解得b=-2b=-2石*所臥y-x的最大值是-2十J6J6卜最小值是-2屁表示SLt的一點(diǎn)與原點(diǎn)的距禽的平方，由平面幾何知識(shí)如在原點(diǎn)與圓心的連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值，又圓心到原點(diǎn)的距離為2 0/ +(0-0)2,2,所以真W的最犬值是的)J*4的，孑+y的最小值是(2-5)-7-46 【方法規(guī)律】求 丄 y-x、x2+y2的最值，聯(lián)想其幾何意義

14、。x、變式練習(xí) 4.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+ 8x 6y+ 16= 0，求x+y的最小值.【答案】一 3 2 1.【解析】原方程化為(x+ 4)2+ (y 3)2= 9,設(shè)x+y=b,貝 Uy= x+b,可見(jiàn)x+y的最小值就是過(guò)圓(x+ 4)2+ (y 3)2= 9 上的點(diǎn)作斜率為一 1 的平行線中，縱截距b的最小值，此時(shí)，直 線與圓相切，由點(diǎn)到直線的距離公式得|迄| 3.解得b= 3 謔1 或b= 3 謔1,所以x+y的最小值為一3 .2 1.1.圓x2y22y =1的半徑為（）A.1B.2C.2D.4【答案】B【解析】由圓x2y22y =1,通過(guò)配方可得x2(y 1)2.所以圓的半徑為

15、2.故選 B.7【解析】原點(diǎn)。到直線的距離3，設(shè)圓的半徑為宀冷宀25圓的方程是&y2=25.32 24.一直線過(guò)點(diǎn)P（-3，-），被圓x+y=25截得的弦長(zhǎng)為8,求此弦所在的直線方程?！窘馕觥?當(dāng)斜率k不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的直線方程為 a 乜代入壬十于=2工得yi = +ry2=-4./.弦長(zhǎng)|yi-y2|=8f符合題竜.2 2 2 2（2）當(dāng)斜率k存在時(shí)設(shè)所求方程為y y + + - - = = iikiikX X-y+3k-y+3k- = = 0.0.由已知弦心距|OM|r臚存=3二“3|上00+號(hào)|彳-=3.解得疋=_.JC1433所兒 此直線方程為，+ = 一一（兀+3）汀即3x+

16、4y15=0.24所漢所求直線方程為3或SxMy+15-O.五、課后練習(xí)1.圓心在y軸上，半徑為 1，且過(guò)點(diǎn)（1, 2）的圓的方程為x2(y 2)22直線y =x十1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為A.相切B.相交但不過(guò)圓心C.直線過(guò)圓心D.相離【答案】B2 20 0 +1J2【解析】圓x +y=1 的圓心（0,0）, r=1，圓心到直線的距離d=422過(guò)圓心。故選 B。:1，所以直線與圓相交但不3.以原點(diǎn)O為圓心且截直線 3x+ 4y+ 15= 0 所得弦長(zhǎng)為 8 的圓的方程是【答案】x2+y2= 25【答案】（1）x y =0(2) 2x y 2 = 0【答案】A【解析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，因

17、為圓心在y軸上，排除 C;又經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,2，代入剩余選項(xiàng)得只有 A 正確。另解：設(shè)圓的方程為x2y -a2=1，將點(diǎn)代入得a二2,所以方程為x2（2 ）2= 1。故選 A。2 2C .(x -1) (y -3) -129x (y 3)92.經(jīng)過(guò)圓x2+y2= 10 上一點(diǎn)M2 , 6)的切線方程是()A.x+ 6y 10= 0B. 6x 2y+10= 0C.x 6y+ 10= 0D. 2x+ 6y 10= 0【答案】D【解析】點(diǎn)M2 , ,6)在圓x2+y2= 10 上，k。匸 f,.過(guò)點(diǎn)M的切線的斜率為k= 故切線方程為y .6=（x2）.即 2x+ 6y10= 0.故選 03 .過(guò)點(diǎn)（2,1

18、）的直線中，被圓x2+y2 2x+ 4y= 0 截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程為（）A. 3xy 5= 0C.x+ 3y 5 = 0【答案】A4.已知圓G： (x+ 2)2+ (y 2)2= 2,圓C2與圓C關(guān)于直線xy 1= 0 對(duì)稱，則圓C2的方程為()22A. (x+ 3) + (y 3) = 222B. (x 1) + (y+ 1) = 2C. (x 2)2+ (y+ 2)2= 22 2D. (x 3) + (y+ 3) = 2【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)（-礬朕于直線才-的對(duì)稱點(diǎn)為Q（叫 心貝K所以圓G的圓心坐標(biāo)為G、-3）,所以圓G的方程為-叩+ &+3/=2?故選D.5. 已知圓x

19、2y2= m與圓x2y26x -8y-11_ = 0相內(nèi)切，則實(shí)數(shù)m 的值為 .【答案】1 或 121【解析】圓x2+y2=m的圓心為（0,0 ）,半徑為Vm,圓x2+y2+6x-8y-11=0的圓心為（一3,4 ）,半徑為 6, 由兩圓外切可知 J（一3f+42=|丿懇一6二m=1或m=1216. 若x,y R,且x=/1 y2，則 空的取值范圍是 _ .【答案】|, 31【解析】x= ,1 y2?x2+y2= 1（x0），此方程表示半圓，如圖，設(shè)P（x,y）是半圓上的點(diǎn)，貝 U H 表示過(guò)點(diǎn)Rx,xI-1B. 3x+y 7 = 0D.x 3y+ 1 = 0【解析】 依題意知所求直線通過(guò)圓心（1 , 2），由直線的兩點(diǎn)式方程，y