2007年高考.湖南卷.文科數(shù)學(xué)試題及解答

1、如07年湖南高考試卷數(shù)學(xué)(文史類)(試題卷)注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫(xiě)在答題卡和該試題卷的 封面上，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和科目。2 .考生作答時(shí)，選擇題和非選擇題均須作在答題卡上，在草稿紙和本試卷上答題無(wú)效?？忌诖痤}卡上按如下要求答題：(1)選擇題部分請(qǐng)用2 B鉛筆把應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)所在方框涂黑，修 改時(shí)用橡皮擦干凈，不留痕跡。(2)非選擇題部分(包括填空題和解答題)請(qǐng)按題號(hào)用 0.5毫米黑色 墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)，否則作答無(wú)效。(3)保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔、不折疊。3 .考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。4 .本試卷共5頁(yè)。如缺頁(yè)，考生

2、須聲明，否則后果自負(fù)。絕密啟用前數(shù)學(xué)(文史類)一.選擇題：本大題共 10小題，每小題 5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的.1 .不等式x2 A X的解集是A. (-°0,0) B, (0,1) C,(1,y) D. (-00,0卜(1,依)2 .若O、T、工不紹的任意三點(diǎn)，則以各式成立是A.空=OF +OE_lB， EF =OF lOE lT _ TT _ rC. EF =-OF OE D. EF =-OF -OE3 .設(shè) p:b24ac >0(a #0 ), q:關(guān)于X勺方程ax2+bx + c = 0(a =0)有實(shí)根，則 p是q 的A .

3、充分不必要條件B,必要不充分條件C,充分必要條件D,既不充分也不必要條件14 .在等比數(shù)列an nN 中，若a1 =1,a4=,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為 8“ 八1八1八 1八 1, 2 -28B. 22。 C, 2一21° D, 2 - 211n55 .在(1+x)(n=N )的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若只有x的系數(shù)最大，則n =圖1A. 8 B. 9 C. 10D.116 .如圖1,在正四棱柱 ABCD ABC1D1中，E、F 分別是ABBG的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是A. EF與BB1垂直B. EF與BD垂直C. EF與CDt面D. EF與A1G異面2),從圖中可以7.根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的

4、歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某條河流水位的頻率分布直方圖(如圖 看出，該水文觀測(cè)點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是A. 1B.2C.3 D. 42x9.設(shè)F1、F2分別是橢圓二十 a2y，=1 ab >0的左、右焦點(diǎn), bP是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為半焦距)的點(diǎn)，且,3 -1A. 2F1F2I = F2P， 則橢圓的離心率是B. 1 C.- 5 -1210.設(shè)集合M =1,2,3,4,5,6 , S1、&、|、Sk都是M的含兩個(gè)元素的子集，且滿 足：對(duì)任意的 S =l,b,Sj =aj,bj(i #j,i、產(chǎn)1,2,3,川,k),都有min亙, >¥ min4'

5、,“min x, y表示兩個(gè)數(shù)x、y中的較小者 卜則k的最大值是b aibj ajA. 10B.11 C. 12D. 13二.填空題：本大題共 5小題，每小題5分，共25分，把答案填在橫線上.11 .圓心為(1,1 )且與直線x + y =4相切的圓的方程是 .12 .在 MBC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、B c,若a=1,c = 6C =三，則A=3一# 一 24 213 .右 a >0,a3 =一，則 log2 a =9314 .設(shè)集合 A = (x, y)|y 耳 x2|,x 之0, B=(x,y)|yMx + b,AcB#0 ,(1) b的取值范圍是.(2)若(x, y產(chǎn)A

6、C B,且x +2y的最大值為9,則b的值是.15 .棱長(zhǎng)為1的正方形 ABCD -ABiCiDi的8個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，則球。的表面積是 設(shè)E、F分別是該正方形的棱 AA1、DD的中點(diǎn)，則直線EF被王O截得的線段長(zhǎng)為三.解答題：本大題共6小題，共 75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟16.(本小題滿分1 2分)已知函數(shù)(I)函數(shù)f(X )的最小正周期；2f（x） = 12sin x+f + 2sinI 8J，冗）fx + cos I XI 8J Iji+ 8.求:(n)函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間17 .(本小題滿分1 2分)某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員

7、的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn).已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有 75%.假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之 間沒(méi)有影響.(I )任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；(II )任選3名下崗人員，求這 3人中至少有2人參加過(guò)培訓(xùn)的概率.18 .（本小題滿分1 4分）如圖3,已知直二面角a -PQ-P, AWPQ, Bwa, CwP, / BAP = 45 ,直線CA和平面3所成的角為30c.(I )證明 BC _LPQ ;(n)求二面角B-AC-P的大小.2219 .(本小題滿分13分)已知雙曲線x -y =

8、2的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的3I 1,0).(I)證明CA CB為常辟 1(n)若動(dòng)點(diǎn) M滿足CM =CA+CB+CO (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)M的軌跡方程20 .(本小題滿分13分)設(shè) & 是數(shù)列ankn曰N* )的前 n 項(xiàng)和，a, =a,且&2 =3n21+&ja ¥ 0 , n=2,3,4,|.(i)證明數(shù)列 Qn -an)(n之2)是常數(shù)數(shù)列；(n)試找出一個(gè)奇數(shù) a,使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列bj(nw N沖)中的所有項(xiàng)都是數(shù)列 %中的項(xiàng)，并指出bn是數(shù)列4中的第幾項(xiàng).1 31221.(本小題滿分13分)

9、已知函數(shù)f(x)= x + ax +bx在區(qū)間-1,1),(1,3內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).32(I)求a2 _4b的最大值；(n)當(dāng)a2 4b =8時(shí)，設(shè)函數(shù)y = f (x)在點(diǎn)A(1, f (1)處的切線為l,若在點(diǎn)A處穿過(guò)y = f ( x) 的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y = f (x)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù)f (x) 的表達(dá)式.2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(xué)(文史類)參考答案一、選擇題：本大題共 10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. D 2. B 3. A 4. B 5. C 6. D 7

10、. C 8. C 9. D 10. B二、填空題：本大題共 5小題，每小題5分，共25分.把答案填在橫線上.22_11. (x -1) (y -1) =2_ 冗12. 613. 3914. (1) 2,十0°) (2) _215. 3兀，72三、解答題：本大題共 6小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16. 解：f(x) =cos(2x ) sin(2x )44= &sin(2x +)=/2sin(2x +)=/2cos2x .4 42(I)函數(shù)f(x)的最小正周期是T =Z=町2(II)當(dāng) 2kL 2x < 2k九，即 kx <k 冗(k w

11、 Z )時(shí)，函數(shù) f (x) = J2cos2x是增函數(shù), 2故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是kTt，k4 (kw Z).217.解：任選1名下崗人員，記“該人參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件 A, “該人參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件B,由題設(shè)知，事件 A與B相互獨(dú)立，且 P(A)=0.6, P(B)=0.75.(I)解法一：任選1名下崗人員，該人沒(méi)有參加過(guò)培訓(xùn)的概率是P =P(aLB) =P(A)_P(B)=0.4M0.25 = 0.1所以該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是1 - R = 1 0.1 = 0.9 .解法二：任由1名工崗人員，該人只參加過(guò)一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是B = P(aLB) P(AB) = 0.6 0.2

12、5 0.4 0.75 = 0.45該人參加過(guò)兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是P3 =P（ALB） =0.6 M 0.75 = 0.45 .所以該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是P2 +P, = 0.45 + 0.45 =0.9 .（II）解法一：任選 3名下崗人員，3人中只有2人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是 P4 =C2 M 0.92M0.1 =0.243.33人都參加過(guò)培訓(xùn)的概率是P3 =0.9 =0.729.所以3人中至少有2人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是 P4 +P5 =0.243 + 0.729 =0.972 .解法二：任選3名下崗人員，3人中只有1人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是C3 x0.9 x0.12 =0.027 .33人都沒(méi)有參加過(guò)培

13、訓(xùn)的概率是 0.1 =0.001.所以3人中至少有2人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是 10.027 0.001 = 0.972.18 .解：（I）在平面P內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CO，PQ于點(diǎn)O ,連結(jié)OB .rFC C因?yàn)?u，P ,=PQ ,所以 COa ,H又因?yàn)?CA =CB，所以 OA =OB .P而 / BAO =45 ,所以 /ABO =45 , ZAOB =90，從而 BO，PQyTCOOPQ2 Q所以PQ，平面OBC .因?yàn)锽Cu平面OBC,故PQ，BC . 乂 /（II）解法一：由（I）知，BOL PQ ,又a，P , ctpiP =PQ , BOu a，所以 BO ± P .過(guò)點(diǎn)O作OH

14、，AC于點(diǎn)H ,連結(jié)BH ,由三垂線定理知， BH ± AC .故.BHO是二面角B-AC-P的平面角.由（I）知，CO La ,所以/CAO是CA和平面汽所成的角，則/CAO=30,，不妨設(shè) AC=2,則AO=J3, OH = AOsin30C.2在 RtzXOAB 中，/ABO =/BAO =45 ,所以 BO = AO=V3,于是在 RtzXBOH 中，tanNBHO=_BO =里=2.OH 322故二面角BACP的大小為arctan2.解法二：由（I）知，OC,OA, OCOB, OALOB ,故可以O(shè)為原點(diǎn)，分別以直線OB, OA, OC 為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

15、系（如圖） 因?yàn)镃O La,所以/CAO是CA和平面”所成的角，則 /CAO = 30匚不妨設(shè) AC=2,則AO=J3, CO =1.QTTn =< n1 ,n2A.在 RtzXOAB 中，/ABO =NBAO =45 ,所以 BO =AO =J3.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是。（0,空），B（73,0,0）, 鈾出,0） , 0（0,01）.所以 AB=（5/3,丘,0） , AC=（0,石1）.T設(shè)R =x, y, z是平面ABC的一個(gè)法向量，由取 x 1，得 n1 = （1,1, J3） .易知n2 =（1,0,0）是平面P的一個(gè)法向量.設(shè)二面角B-AC-P的平面角為日，由圖可知，所以c

16、osi =15- 54kk2 -1故二面角B AC P的大小為arccosYS -519 .解：由條件知 F(2Q),設(shè) A(X1,火)，B(x2,(I)當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn) A, B的坐標(biāo)分別為(2,J2) , (2,-72), 此時(shí) CACb=(1,展)41,展)=1 .當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線 AB的方程是y = k(x2)(k#±1).代入 x2 -y2 =2 ,有(1 -k2)x2 +4k2x-(4k2 +2) =0 .則Xi, X2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以4k24k2 2是 CACBx1 + X2 = T-2-，x1x2 = -2-k -1k -12_-= (

17、X1 -1)(X2 -1) V1V2 =(X1 -1)(X2 -1) k (K -2)(X2 -2)2_ 22= (k2 1)X1X2 -(2k2 1)(X1 X2) 4k2 1(k2 1)(4k2 2) 4k2(2k2 1)k2 -1二(Yk2綜上所述,k2 -1+1 =_1.24k 1B為常數(shù)一1.(II)解法一：設(shè)M£y)，則CM 二= (xj, y) , qA =(X11, y1),CB=(x2i, y2), CO = (1,0),由 CM =CA+CB+CO 得:x -1 = x1x2 3112，即y = y1V2是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為X1 x2 = x 2,yy2 = y,2

18、2當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí),yi -y2x1 -x2x 2 x - 2_ 2，即二六(X1X2)2又因?yàn)锳, B兩點(diǎn)在雙曲線上，所以 x2 y2 = 2 , x2 y2 = 2 ,兩式相減得 (X1 X2)(X1 +X2) =(y1 一y2)(y1 +y2),即(x1 一X2)(x + 2) =(y1 一 y2)y .將 y1y2 =y(x1x2)代入上式，化簡(jiǎn)得 x2y2=4.x -2當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，X1 =X2 = 2 ,求得M (2,0),也滿足上述方程.所以點(diǎn)M的軌跡方程是x2 -y2 =4.,. 修X1 X2 = x 2,解法二：同解法一得 1Cy y2 = y4k2當(dāng) AB不與x軸

19、垂直時(shí)，由(I) 有x1 + x2 = 丁k2 -1yi y2 二k(Xi X2 -4)二k4k24 k -1口4k2由得x 2 = -2-k -14ky =k2 .1當(dāng)k 00時(shí),y #0 ,由得,將其代入有4y(x 2)L-22(x 2) -y,整理得x24必y =y(x 2)2121y當(dāng)k = 0時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(_2,0),滿足上述方程.當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，x1 =x2 = 2 ,求得M (2,0),也滿足上述方程.故點(diǎn)M的軌跡方程是x2 - y2 =4 .22220 .解：(I)當(dāng)n2時(shí)，由已知得 & Sn=3nan.因?yàn)?an =Sn Sn#0,所以 g +&-=3

20、門(mén)2 于是 Sn4+Sn =3(n+1)2 由一得： an.+an=6n+3.于是an出+an由=6n +9 由一得： an_2 an =6 即數(shù)列an電an (n> 2)是常數(shù)數(shù)列.(II)由有 S2 +S1 =12 ,所以 a2 =12 -2a .由有 a1 +a2 =15,所以 a3 =3+2a ,而表明：數(shù)列a2k和a2kQ分別是以a2, a3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列.所以 a2k =a2+(k1)M6=6k2a+6, a2k+ = a3+(k -1產(chǎn) 6 = 6k +2a-3 , k= N* .由題設(shè)知，bn =18父7nl.當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，a2k書(shū)為奇數(shù)，而bn為偶數(shù)，所以b

21、n不是數(shù)列a2k書(shū)中的 項(xiàng)，bn只可能是數(shù)列a2k中的項(xiàng).若b =18是數(shù)列a2k中的第kn項(xiàng)，由18 = 6k2a+6得a=3k0 -6,取k0=3,得a = 3,此時(shí)a2k =6k ,由 bn =a2k ,得 18 9 nf k , k=37ne N* ,從而 bn 是數(shù)列%中的第 6 M 7n/項(xiàng).n 1 2a(汪：考生取滿足a=3kn6, kn WN*的任一奇數(shù)，說(shuō)明bn是數(shù)列an中的第6M7 +2a2項(xiàng)3即可)-一， ，_1 31221 .解：(I)因?yàn)楹瘮?shù)f (x) =1x3+1ax2+bx在區(qū)間1,1), (1,3內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以32f '(x) =x2 +ax

22、+b =0在1,1) , (1,3內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為 x1, x2 ( x1 <x2)，則 x2 -x = 7a2 -4b ,且 0 < x2 -x1 w 4 .于是0 < Va2 -4b < 4 , 0 <a2 -4b w 16 ,且當(dāng) x1 = 1, x2 =3 ,即 a = 2 , b = -3時(shí)等號(hào)成立.故2. 一 -a 4b的最大值是16.(II)解法一：由f'(1) = 1+a+b知f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線l的方程是2 1y f (1) = f (1)(x 1),即 y = (1 +a +b)x 一一a ,3 2因?yàn)榍芯€l在點(diǎn)A(1, f(x)處空過(guò)y = f(x)的圖象，2 1所以g(x) = f(x) -(1 +a +b)x-a在x=1兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則3 2x =1不是g(x)