復(fù)習(xí)：極限與連續(xù)

1、極限與連續(xù)知識(shí)點(diǎn)1極限1) 定義：lim a. =A =nsclim f (x) = A =x廠lim f(x)=A= JXo2) 存在性判定：左右極限：lim f(x)=Au夾逼TH : 單調(diào)有界TH : 3) 極限的性質(zhì)：唯一性：局部有界性：局部保號(hào)性：4) 極限的計(jì)算方法與技巧四則運(yùn)算：復(fù)合函數(shù)的極限：lim f(®(x) = f (lim ®(x)的條件： xoxo等價(jià)量替換：(記憶常用替換公式)L Hospital 法則：利用重要極限(記憶重要極限及變式)利用夾逼TH積分法一些技巧：通分、有理化、分子分母同除一個(gè)量、提因式、利用對(duì)數(shù)恒等式將指數(shù)拿下來(lái))5) 無(wú)窮小

2、量f(x )=o (1 芬 f( x)(g (x)牛 f (x)與 g(x)同階二 f(x)LI g(x)二 無(wú)窮小量的性質(zhì):2連續(xù)1) 定義f(X)在Xo處連續(xù)二2) 連續(xù)的判別左、右極限與f(Xo)的關(guān)系：初等函數(shù)的連續(xù)性：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性判別：反函數(shù)與原函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系： 3) 間斷點(diǎn)的判別：利用左、右極限與f(Xo)的關(guān)系4 )連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)f ( X戶C a, b匸最值TH : 介值TH : 零點(diǎn)存在TH : 題型1算法lim(n+耳n _ni1 2x 卜8) lim -) =n1 1 1nmu -尹1-評(píng)川(利二2x -1 X -2TX * X 1 X X、2x 7-3四仮-1二設(shè)

3、 n 為正整數(shù)，(lnx)n =： (cos ), (x > 1)；2(、一 x -1)x 50 3x 1 二： (ln x)n), (xr 1)，則 n =若:若:(2x)X2La(x-1) b(x-1)2, (x > 1)，則 a,b 為2x - x 亠 1lim( 2ax -b) = 0，則 a,b 為若:2x2 +ax +b limx z x 1=3，貝U a,b為；lim 1 xsin11 3x =X2判別極限存在性、連續(xù)性、間斷sin ax,x 0設(shè) f(x)= X，Xm0f(x)存在，則 a =x2,x 蘭0sin ax 小,x ： 0x設(shè) a,b 0,且 f (x)

4、=2, x=0 在R上連續(xù)，則a,b為1(1 bx)X,x 0XXa -b設(shè) a,b 0; a, b =1 , f (x)廠'X 0，判斷x = 0的類型i 0,x = 0找出間斷點(diǎn)，并判別類型t X. . Xe f(xrt .葉 x；t 八-e -ef (x)二 lim( x _1)arctann_sc3證明1 )設(shè) * 滿足：0 ：2，xn+=族+2，證：匹Xn存在，并求值2)已知:f (X)二2x門(mén)x式0X ' ，判別lim f (x)， lim f (x)的存在性 X 屮I 1, x = 0113 )設(shè) f (x) C0,1, f (0) = f(1)，證明:X。 0,

5、，使 f(x。)= f(X。 一)22練習(xí)判別下列極限的存在性1) l i m 1 1 ，zx011 ex1.1 sin , xx x2)lim4x 廠 1 2x:0求f(x)二1 -X, 0空x乞1的間斷點(diǎn)，并判別類型 I1 _ X ,X 1 ln x3計(jì)算：limn2 2n -2n4 2nsin x4 設(shè) f (x) =xe tanx，則 f (x)是(A無(wú)界函數(shù)，B單調(diào)函數(shù)，C在x >:下的無(wú)窮大量)25 設(shè) f (x) = sin x , f ( (x) = 1 -x，則(x)=，定義域?yàn)閒 (x)二xsin(x-1 2)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界 x(x -1)(x -2)A ( -1，

6、0) B ( 0，1) C(1, 2) D ( 0, 2)設(shè) f (x) =2x 3x -2，則當(dāng)設(shè)x 0 時(shí),f (x)與x的關(guān)系是(同階，高階，等價(jià)) 1l i mX 亠.討x2 x>x L :1ljmj x ex)xlim n 3 . n -n - . n =10下列各式正確的是1 xA lim(1) =1，B lim (1n八1 1YI YIV二 e， C ?m(1 - ) - -e， D ?m(1) 二 e'S,n為奇數(shù)11設(shè)xn = n，則當(dāng)nr '時(shí)，xn是1, n為偶數(shù)nA無(wú)窮大量， B無(wú)窮小量，C有界量，D 無(wú)界量12 lim f J1 +2 +H1 +

7、 n - J1 +2 +il 1 +(n -1) 二n_'13曲線f (x)1=e arctan1 x x2(X 1)(x_2)的漸進(jìn)線條數(shù)為14lim x -x2x廠ln(1 +丄)=x哩口一(衣一a2)ln(1 +ax)j=2(1 -16 lim |ntan=n'：、 n19 設(shè) a-，則 lim ln ' n 一2na2 F J n(1_2a) /1 1 120設(shè)f (x)=丄+ '一 -一'一，判別間斷點(diǎn)x = 1的類型兀x sin jtx 兀(1 x)221 lim h +1 n(1 +x) A =X jsin x22 若 lim (cosxb

8、)=5，貝V a,b=e az21 cos x23 lim -2xT ,sin x x2xl i mx s in 2x 廠 1 x224設(shè)f (x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 f (0)二b , F (x)(x) asin x,x = 0xA, x = 0在x = 0連續(xù)，貝y f(0) =； a=1亠X25設(shè)f(x) =lim 廠，判斷其間斷點(diǎn)的類型nY1 +x26設(shè)f (x) Ca,b，且f (a) 0, f (b) ： 0 ,則下列結(jié)論 錯(cuò)誤的是A至少存在一點(diǎn)x (a,b)，使得f(x0廠f (a)B至少存在一點(diǎn)x (a,b)，使得f(x0) f(b)C至少存在一點(diǎn)x (a,b)，使得f (x°) =0D至少存在一點(diǎn)x (a,b)，使得f %) =0練習(xí)答案均不存在；2x=1跳躍；3arcsin(1- x2) , 0, ,2；同階;2 8 e ,1 ；2 ； 10A ； 11 D； 12； 1321B ； 14 -215a216e3 ；17 lna ； 18 D；2；20可去間斷點(diǎn)；21 e2 ；1 -2a跳躍；26 D1922 a =1,b - -42324 0，b+a； 25 x