歐拉公式的證明方法和應(yīng)用

1、歐拉公式e = cos9 + isine的證明方法和應(yīng)用摘要：在復數(shù)域內(nèi)用幾種不同的方法證明歐拉公式eie=cose +isine ,舉例說明歐拉公式在數(shù)學中的幾類應(yīng)用，通過總結(jié)多種方法看問題的思想來解決問題，通過幾種不 同種類的問題的解決方案讓讀者更加明白歐拉公式在學習中的多方面思想和數(shù)學中的 重要性。關(guān)鍵詞：歐拉公式、微分中值定理、證明、應(yīng)用、三角函數(shù)1 .歐拉公式意義簡說在我們所學過的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在實數(shù)域中幾乎沒有什么聯(lián)系，在復數(shù)域中 卻可以相互轉(zhuǎn)換，被 gencosO+isinB這簡單的關(guān)系聯(lián)系在一起，這個一直盤踞在許 多研究家心里的歐拉公式，有著很多很多的疑問，特別是當e=n時

2、，有ein = 1,即4冗+1=0,這個等式將數(shù)學中的最富有特色的五個數(shù)0、1、i、e、n聯(lián)系在一起，e0, 1是實數(shù)中特殊的數(shù)字，i是一個很重要的虛數(shù)單位，e是無理數(shù)它取自瑞士數(shù)學 家歐拉(Euler,1707-1783)的英文開頭5,冗是圓周率在公園前就被定義為“周長與 直徑的比”。它們在數(shù)學中各自都有發(fā)展的方面。因此37r+1=0公式充分揭示了數(shù)學的統(tǒng)一性、簡潔性和奇異性。了解這些內(nèi)容對于學習高等數(shù)學，對于我們在研究較深 的數(shù)學問題上有很大幫助。2 .歐拉公式的證明簡述在這里，我把幾種證明歐拉公式的方法總結(jié)在一起，對學者學習歐拉公式提供多 方面的題材，并作出知識的一種綜合理解。2.1 幕

3、級數(shù)展開式的證明法引用三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)“幕級數(shù)展開式”證明歐拉公式eie = cose +isine ,2.2 復指數(shù)定義法用復指數(shù)定義ez =exw =ex(cosy+i siny),證明歐拉公&"=8$日+isinH 2.3類比法求導法通過實函數(shù)的性質(zhì)來對復函數(shù)進行求導運算(附件)，通過構(gòu)造 ixf(x)=e, f'(x) = 0用lagrange微分中值定理推論3,從而證明f(x) = 1,cosx i sin xix使得 e = cosx i sin x2.4分離變量積分法彳貿(mào)設(shè) z = cosx +i sin x , 求導得 dzdxeLnz = z =

4、cosx i sinx = gx, 所以ixe=cosx +i sinx。(證完)= iz,通過分離變量得dz = idx,然后兩邊取積zix分得 Lnz=ix,所以得 e = cosx+i sin x.3 .歐拉公式的證明方法3.1 幕級數(shù)展開式的證明方法：3.1.1 三角函數(shù)的“麥克勞林級數(shù)”1:3.1.2 指數(shù)函數(shù)的“麥克勞林級數(shù)”：1 當用iz代替z時，那么當 z=8 時，得至1J e*=cos6+i sin日。(證完)3.2 復指數(shù)定義法：對于任何復數(shù) z = x+iy (x, ywR)，有 ez =、'=ex(cosy 十 isin y) 2,當 x=0 時，另y=e,有e

5、ie= cosH + i sin 日(證完)3.3 類比求導法： ix3.3.1 構(gòu)造函數(shù)f(x)=e xWR,i為虛數(shù)cosx i sinx3.3.2 計算導數(shù)3.3.31 agrangeW分中值定理的推論若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導，且f(x)的導數(shù)恒等于0, x屬于I,則f(x)為I上的一個常量函數(shù)3。根據(jù)這推論，所以有 f(x)=c,c為常量，又因為f(0)=1,所以,ixf(x)=1, 有 e = cosx+i sinx . (附 件 )(證完)3.4 分離變量積分法dz彳貿(mào)設(shè) z = cox + i sinx ,難么 一 =i cosx-sinx = i(cosx + isin x

6、) = iz ,分離變量 dx得：dz = idx,所以兩邊同時積分得-dz = i Jdx ,即1nz = ix + c ,當取x=0時， zzz =co0+i sin0 =1 , Lnz = 1 n1 =i0 + c = 0 , 所以 c = 0 ,所以 Lnz = ix ,4 .歐拉公式在數(shù)學中的應(yīng)用在對一些較難以證明和計算的題上，直接使用歐拉公式很容易就證明了，在高等 數(shù)學中很廣泛的應(yīng)用，比如棣莫弗公式的證明，復變函數(shù)的求解等。4.1 公式證明和應(yīng)用4.1.1 證明棣莫弗(de Moivre)公式4 cosnx+i sin nx = (cos x+i sin x)；ix證明：由歐拉公式

7、e = cosx+ i sin x可知：Qix)=(cosx+ i sin x)即inxne = cosnx+i sin nx , 所以有 cosnx+isin nx = (cosx+i sin x)4.2.2用歐拉公式和棣弗公式證明4:nqQxcosa' ' 丫a cos(xsina)=" xcosna;en=0 n!nxcosa . z .、. Y .s sin(xsina) = " xsinnaen=o n!證明：令z =cosa =isin a,由歐拉公式可知xz x(cosa H sin a) xcosa ixsin a x cosa /、 /、e

8、 =ee e e (cos(xsina) isin(xsina)又由于：比較實部和虛部的到4.2定義證明和應(yīng)用4.2.1 證明復數(shù)z的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)iz-izizsin z = e e , cosz = e-2i2i-ize-.2證明：由歐拉公式gx = cosx+i sin x可得,ixa = cosx+ i sin x(e，q .e = cosx - i sin xix-ixcosx 二 ee-2ix x sinx u e e.對于任意的實數(shù)x成立，這兩個公式中的x代以任意復數(shù)z2i后，由ez = exHy =ex(cosy+isiny),右端有意義，而左端尚無意義，因而有:4.2.2

9、 求 sin(1 +2i)的值2:解：此式為復數(shù)解正弦函數(shù)(附件)5 .綜合總結(jié) ix對于歐拉公式 e =cosx+isinx,在這里用了四種不同的方法證明其的成立，也舉了幾個列子說明了歐拉公式在高等數(shù)學中的重要性，在這里，主要是提供給學生一 種多方面學習和看問題的思想，比如在證明歐拉公式的方法中，都還有許多不同的證 明方法，我所列舉的這幾種方法中，類比求導法是一種很好的證明方法，其的構(gòu)造思 想很巧妙，對于幕級數(shù)的展開證明方法，較容易弄懂，并且在實際的題目中，幕級數(shù) 的展開用得比較多。我在下面所舉的兩類應(yīng)用中，都是用到歐拉公式，且歐拉定理在 這當中就像橋梁一樣，如果不用到歐拉公式，這類問題也能

10、求，但不是那么容易了。通過對歐拉公式的證明和應(yīng)用的了解，我們對于 公立:-1也就不那么陌生了。e6 .考文獻1數(shù)學分析下冊第三版華東師范大學數(shù)學系 編第十四章幕級數(shù)20012復變函數(shù)論第三版鐘玉泉編第二章解析函數(shù)20043數(shù)學分析上冊第三版華東師范大學數(shù)學系編第六章微分中值定理及應(yīng)用20014數(shù)學分析下冊華東師大第三版同步輔導及習題全解20065生活與科學文庫e的奧秘19917 .附件ax7.1附件因為對于實函數(shù)de_ dxax=ae ,d(cosx asin x)=-sin x + a cosx a 為吊dxix數(shù)，所以對于復函數(shù)有 de t ieix,d(cosx isinx) . i(cosx isinx) dx e dxix7.2附件對于構(gòu)造的函數(shù)f(x)=e是有意義的，因為cosx isinx22|cosx+isinx |=、*cos x+sin x=1 所以 cosx+isin x# 0。因此，函數(shù)ixf (x) =