高中數(shù)學知識點總結(jié)-選修2-3

1、第一章計數(shù)原理1.1 分類加法計數(shù)與分步乘法計數(shù) 分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第 1類方案中有m種不同 的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有 N=m+n種不 同的方法。分類要做到“不重不漏”。分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟。做第 1步有m種不同的方法， 做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=mxn種不同的方法。分步 要做到“步驟完整”。n元集合A=a, a2? , an的不同子集有2n個。1.2 排列與組合1.2.1 排列一般地，從n個不同元素中取出m(m&n)個元素，按照一定的順序排成一列， 叫做從n個不同元素中取出 m個元

2、素的一個 排歹!J (arrangement)。從n個不同元素中取出m(m&n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從 n個不同元 素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Amm表示。排列數(shù)公式:n!Am = = n(n - 1)( n - 2) ? (n - m + 1)(n - m)!n個元素的全排列數(shù)An = n!規(guī)定：0!=11.2.2 組合一般地，從n個不同元素中取出m(m&n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一個組合(combination)。從n個不同元素中取出m(m&n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同 元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號

3、Cm或(m)表示。組合數(shù)公式:m = rm m, An Cn - AmmAmn!n(n - 1)( n - 2) ? (n - m + 1)Cn -Am =m! (n - m)!m!規(guī)定：?= ?組合數(shù)的性質(zhì)：cm = cn-m("構(gòu)建組合意義”一一“殊途同歸”)c+i = cm + cm-1(楊輝三角)kC = nCk-1kv nm-k - nm v nkCn 入 Cn-kCn 人 Cm1.3二項式定理1.3.1 二項式定理(binomial theorem)(a + b)n =C0an+Cnan-1b + ? +Cnan-kbk+ ? +Cnbn(n玳*)其中各項的系數(shù) Ck (

4、kC0, 1, 2, ? , n)叫做二項式系數(shù)(binomial coefficient)；式中的Ckan-k bk叫做二項展開式的通項，用Tk+1表示通項展開式的第k+1項：Tk+1 = Ckan-k bk*注意二項展開式某一項的系數(shù)與這一項的二項式系數(shù)是兩個不同的概念。1.3.2 “楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)*表現(xiàn)形式的變化有時能幫助我們發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律！對稱性工+1,公(2)當n是偶數(shù)時，共有奇數(shù)項，中間的一項 C2取得最大值；n-1n+1當n是奇數(shù)時，共有偶數(shù)項，中間的兩項 鏟，彳同時取得最大值。(3)各二項式系數(shù)的和為2n = C0 + Cn + C2 + ? + Cn + ? +

5、Cn(4)二項式展開式中，奇數(shù)項二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)之和：C0 + C2+C4 + ? = Cn + C3+C5+?(5) 一般地,cr+cr+i+c+2+ ? +cn-i=c+1(n > ?)第二章隨機變量及其分布2.1 離散型隨機變量及其分布2.1.1 離散型隨機變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為 隨機變量(random variable)。隨機變量和函數(shù)都是一種映射，隨機變量把隨機試驗的結(jié)果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)。試驗結(jié)果的范圍相當于函數(shù)的定義域，隨機變量的取值范圍相當于函數(shù)的值域。所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量(discrete rand

6、omvariable)。概率分布列(probability distribution series),簡稱為分布列(distribution series)。XX1X2?Xi?XnPp1p2?pi?pn也可用等式表示：P(X = Xi) = pi , i = 1 , 2, ? , n根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量的分布列具有如下性質(zhì)：(1) pi>0, i=1, 2, ? , n； 41 pi = 1隨機變量X的均值(mean)或數(shù)學期望(mathematical expectation)： E(X) = X1p1 + X2p2 + ? + Xi pi + ? Xn pn它反映了離散型隨

7、機變量取值的平均水平。隨機變量X的方差(variance)刻畫了隨機變量X與其均值E(X)l勺平均偏離程度nD(X) = E(Xi - E(X)2pii=1其算術(shù)平方根vD(X)為隨機變量X的標準差(standard deviation)E(aX+ b) = aE(X) + bD(aX+ b) = a2D(X)若隨機變量 X的分布具有下表的形式,則稱 X服從兩點分布(two-point distribution),并稱p=P(X=1訥成功卞K率。(兩點分布又稱0-1分布。由于只有兩 個可能結(jié)果的隨機試驗叫伯努利試驗，所以兩點分布又叫伯努利分布)X01P1-pp若X服從兩點分布，則E(X) =

8、p, D(X) = p(1 - p)般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則k nk?= k) = MN-M，k=0, 1, 2, ? , m CNX01?mP000n-0CM CN-M010n-1CM CN-M?0n-m CM CN-MCNCNCn其中 m=minM , n,且 n&N, MKN , n, M, NCN*如果隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量X服從超幾何分布(hypergeometric distribution)。2.2 二項分布及其應用2.2.1 條件概率般地，設A, B為兩個事件，且P(A)>0,稱P(B|A)=P(AB

9、)P(A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生的條件概率(conditional probability) 如果B和C是兩個互斥事件,則P(B UC|A) = P(B|A) + P(C|A)2.2.2 事件的相互獨立性設A, B為兩個事件，若P(AB) = P(A)P(B)則稱事件A與事件B相互獨立(mutually independent)?？梢宰C明，如果事件A與B相互獨立，那么A與？ ？%B,?f ?也都相互獨立2.2.3 獨立重復試驗與二項分布一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗(independent and repeated trials)。P(AlA2? An)

10、 = P(Ai)P(A2)? P(An)其中Ai (i=1 , 2, ? , n)是第i次試驗的結(jié)果。一般地，在n次獨立重復試驗中，用 X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設每次試驗中 事件A發(fā)生的概率為p,則P(X= k) = Ckpk(1 - p)n-k , k= 0, 1 , 2, ? , n此時稱隨機變量 X服從二項分布(binomial distribution),記作XB(n , p),并稱p 為成功概率。若XB(n , p),則nnn-1E(X) = E kCk pk qn-k = E npCn-1 pk-1 qn-1-(k-1)= np E Cn-1 pkqn-1-kk=0k=1k=0=n

11、p(p + q)n-1 = npD(X) = np(1 - p)*隨機變量的均值是常數(shù)，而樣本的平均值是隨著樣本的不同而變化的，因此樣 本的平均值是隨機變量。隨機變量的方差是常數(shù)，而樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的， 因此樣本的 方差是隨機變量。2.4正態(tài)分布一般地，如果對于任何實數(shù)a, b （a<b）,隨機變量X滿足1（x-心）2鼠 b（x）= -e 21,x s （ - s, +8）v2 兀（T bP（a< ?< ?= /。僅）dxa '則稱隨機變量X服從正態(tài)分布（normal distribution）。正態(tài)分布完全由參數(shù) 仙和o-確定，記作N（必a2） o如

12、果隨機變量X服從正態(tài)分布，則記為XN（5 3）.6 Xx）的圖像稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。（參數(shù)小是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可用樣本的均值去估計；（7 是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可用樣本的標準差去估計。） 標準正態(tài)分布：XN（0 , 1）經(jīng)驗表明，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作 用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布。正態(tài)曲線的特點：（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關于直線x=p對稱；（3）曲線在x=仙處達到峰值 T；o/2 兀（4）曲線與x軸之間的面積為1。*«越小，曲線越“高瘦”，表示總體分布

13、越集中；越大，曲線越“矮胖”， 表示總體分布越分散；若XN口，a2）,則對于任何實數(shù)a>0 ,11 +aP（上 a< ?<?在？?= / 弧,Jx） dxi -a該面積隨著（T的減少而變大。這說明 b越小，X落在區(qū)間（p- a, p+a的概率越大，即X集中在以周圍概率越大。特別有P( H- o< ?< ?+ o) = 0.6826P( p- 2(r< ?< ?+ 2 & = 0.9544P( p- 3 X ?< ?+ 3 o) = 0.9974 在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布 N(j o2)的隨機變量X只取 (曠3 Z ?0?+ 3

14、 &之間的值，并簡稱之為？?？則。第三章統(tǒng)計案例3.1回歸分析的基本思想回歸分析(regression analysis)是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種 常用方法。對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(Xi, yi), (X2, y2), ? , (Xn, yn)? _ 卑1 (X i -X?)(y i-y?) _ 型i xiyi-nx?郊=1 (X i -X?)21=1 X2-nX?2?= ?- b?_11 一其中？ = 1浮1 Xi, ?= 1淳1 yi, ()?, ?)稱為樣本點的中心，回歸直線過樣本 nn點的中心?；貧w方程：? = ?X + ?線性回歸模型：y = bX

15、 + a + e2，E(e) = 0, D(e)= /其中a和b為模型的未知參數(shù)，e是y與bX+a之間的誤差。通常e為隨機變 量，稱為 隨機誤差(random error)。與函數(shù)關系不同，在回歸模型中，y的值由x和隨機因素e共同確定，即x 只能解釋部分y的變化，因此我們把x稱為解釋變量，把y稱為預報變量。隨機誤差e的方差懈越小，用bx+a預報真實值y的精度越高。隨機誤差是引起 預報值如真實值y之間存在誤差的原因之一,其大小取決于隨機誤差的方差。另一方面，？和？為斜率和截距的估計值，它們與真實值 a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預報值？與真實值y之間存在誤差的另一個原因。由于隨機誤差e =

16、 y- (bx + a),所以e=y- ?是6的估計量。對于樣本點(xi, yi),僅2, 丫2), ? , (xn, yn)它們的隨機誤差為ei = yi - bxi - a, i = 1, 2, ? , n其估計值為?i = yi - y? = yi - ?xi - ?, i = 1, 2, ? , n?i稱為相應于點(xi, yi)的殘差(residual)?？梢酝ㄟ^殘差發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果。以樣本編號為橫坐標，殘差為縱坐標，可作出 殘差圖。檢查殘差較大的樣本點，確認采集該樣本點過程中是否有人為錯誤，如有，應予 以糾正，再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如沒有

17、，則需尋找其它原因。另外，對于已經(jīng)獲取的樣本數(shù)據(jù)，R2_ 1 玨i M - ?2=- "i(yy)2中的理i(yi- ?)2為確定的數(shù)。因此R2越大，意味著殘差平方和 年i(yi- %)2越 小，即模型擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，即模型擬合效果越差。R2表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，R2越接近于1,表示回歸的效果越 好。一般地，建立回歸模型的基本步驟：(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量；畫出解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)(3)有經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸 方

18、程)(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計回歸方程中的參數(shù)；(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，殘差呈現(xiàn)不隨 機的規(guī)律性等)。若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。回歸模型的適用范圍：(1)回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；(2)我們所建立的回歸方程一般都有時間性；(3)樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍；不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值。一般地，比較兩個函數(shù)模型的擬合程度的步驟如下：(1)分別建立對應于兩個模型的回歸方程 yi = f(x, ?)與?2 = g(x,階，其中？和？分別是參數(shù)a和b的估計值(2)分別計算兩個模型的R2

19、值若R2 > R2,則模型1比模型2擬合效果更好；若R2 <后，則模型2比模型 1擬合效果更好。3.2獨立性檢驗的基本思想不同的“值”表示不同類別的變量叫做 分類變量。列出兩個分類變量的頻數(shù)表稱 為列聯(lián)表(contingency table)。常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征。利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為 獨立性檢驗(test of independence) o反證法原理與獨立性檢驗原理的比較反證法原理在假設H0下，如果推出一個矛盾，就證明了 H0不成立獨立性檢驗原理在假設H0下, 斷Ho不成立，如果出現(xiàn)一個與H0相矛盾的小概率事件，就推 且該推斷

20、犯錯誤的概率不超過這個小概率一般地，假設有兩個分類變量 X和Y,它們的取值分別為xi, X2和y1，y2,其 樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2X2列聯(lián)表)為：y1y2總計xiaba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d假設H0： X與Y沒有關系，即X與Y獨立 則有 P(XY尸P(X)P(Y)根據(jù)頻率近似于概率，故有aa + ba+ cyxa+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d化簡得ad =bc因此，|ad - bc|越小，兩者關系越弱；|ad - bc|越大，兩者關系越強; 基于以上分析，構(gòu)造隨機變量K2n(ad-bc) 2(a+b )(c+d )(a+c)(b+d)'其中n

21、= a + b + c + d為樣本容量K2的值越小則關系越小，K2的值越大則關系越大。(實際應用中通常要求a, b, c, d都不小于5)計算K2的觀測值k并與K2作比較。統(tǒng)計學研究發(fā)現(xiàn)，在Ho成立的情況下，P(K2 >6.635) = 0.01即在Ho成立的情況下，K2的觀測值超過6.635的概率非常小，近似為0.01,是 一個小概率事件。若觀測值k大于6.635,則有理由判定 力不成立，即“ X與Y有關系”。但這種判斷會犯錯誤，犯錯誤的概率不會超過 0.01.*(這里概率計算的前提是H0成立，即H。：兩個分類變量沒有關系)若要推斷的論述為Hi： “X與Y有關系”?？梢酝ㄟ^頻率直觀地判斷兩個條件概率P(Y=yX=X1)和P(Y=yX=X2)是否相等。如果判斷它們相等，就意味著X和Y沒有關系；否則就認為它們有關系。由上表可知，在X=xi的情況下，Y=yi的頻率為一 a+b，c,一 ，、一，、，在X=)e的情況下，Y=y的頻率為。因此，如果通過直接計算或等圖條形圖發(fā)c+d a c現(xiàn)和相差