北京市東城區(qū)2018-2019學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(含答案)

1、北京市東城區(qū)2018-2019學(xué)年下學(xué)期高一年級(jí)期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷本試卷共20個(gè)題目，滿分100分.考tO寸間120分鐘.第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的 一項(xiàng).(1)直線y =J3x+1的傾斜角為()(A) 30，(B) 60，(C) 120，(D) 150，(2)某校有高一學(xué)生400人，高二學(xué)生380人，高三學(xué)生220人，現(xiàn)教育局督導(dǎo)組欲用分層抽樣的方法抽取50名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則下列判斷正確的是()(A)高一學(xué)生被抽到的可能性最大(B)高二學(xué)生被抽到的可能性最大(C)高三學(xué)生被抽到的可能性最大(D)

2、每位學(xué)生被抽到的可能性相等(3)如圖,正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1 ,那么四棱錐 D1 ABCD的體積是()(A)(B)(C)D)7 (D)-81413121(4)已知向量a =(1,1), b =(2,x),若a + b與4b-2a平行，則實(shí)數(shù) x的值為()(D)(A) -2(B) 0(C) 1(5)先后拋擲3枚均勻的硬幣，至少出現(xiàn)一次反面的概率是()1 35(A) -(B) -(C)-888(6)在 ABC 中，若 acosB = bcosA,則 ABC 為(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰或直角三 角形(D)等腰直角三角形(7)若直線3x y +a =0過(guò)圓x2

3、+ y2 +2x4y = 0的圓心，則a的值為()(A) 5(B) 3(C) 1(D) -1)(8)如圖，向量 AB =a, AC = b, CD = c,則向量BD可以表示為(A) a +b-c(B) a -b+c(C) ba+c(D) bac(9)設(shè)m,n是兩條不同的直線，ot, P是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()(A)若 a_LP,mUa,nuP, 則m_Ln(B)若(x/B,m/(x,n/B ,則 m/n(C)若 m/%n/ot ,則 m/n(D)若m_L豆，m/n,n/P ,則豆 _LP(10)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)

4、大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”，如10 = 7+3.在不超過(guò)30的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于 30的概率是()(D)18，、1， 、 11(A)(B) (C)121415第二部分(非選擇題 共60分)二、填空題共5小題，每小題4分，共20分.(11)在 ABC 中，a =V3, b = 1, c = 1,則 A =.(12)某住宅小區(qū)有居民 2萬(wàn)戶，從中隨機(jī)抽取200戶，調(diào)查是否安裝寬帶， 調(diào)查結(jié)果如下表所示:則該小區(qū)已安裝寬帶的居民jW租戶業(yè)主已安裝6042未安裝3662估計(jì)有尸.uuruur(13)已知點(diǎn)A(2,5) , B(3,2),則向量AB=,與向量AB同向的單位向

5、量為 .(14)已知直線l : x + Qy 6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,B分別作l的垂線與x軸 交于C, D兩點(diǎn)，則| CD卜.(15)下列五個(gè)正方體圖形中，l是正方體的一條對(duì)角線，點(diǎn)M ,N, P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出l _L平面MNP的圖形的序號(hào)是 .(寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào))50電I1由I三、解答題共5小題，共40分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.(16)(本小題7分)已知向量 a, b 滿足：| a |=2, | b |=1 , (a+b)(2 ab)=8.(i)求a與b的夾角6 ；(n )求 |a +b |.(17)(本小題7分)在 ABC

6、中，若 bsin A = asin( B +-). 3(I)求角B的大??；(n)若 a = 2, b=J3,求 ABC 的面積.(18)(本小題9分)2018年北京市進(jìn)行人口抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了某區(qū)居民13289人，記錄他們的年齡，將數(shù)據(jù)分成10組：0,10).，10,20) , 20,30),90,100,并整理得到如下頻率分布直方圖：演軍，組距(I)從該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其年齡不小于60的概率；(n)估計(jì)該區(qū)居民年齡的中位數(shù)(精確到,0.1)；(出)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)該區(qū)居民的平均年齡(19)(本小題9分)如圖，在四棱錐 PABCD中，底面ABCD為正方形

7、，PA_L平面ABCD, PA= AB, AC 與BD交于點(diǎn)O , E , F分別為AB , PC的中點(diǎn).(I)求證：平面 PAD _L平面PCD ;(n)求證：EF /平面PAD ；(出)求證：AF_L平面POD.(20)(本小題8分)已知圓C滿足下列條件：圓心C位于x軸正半軸上，圓C與直線3x_4y + 7 = 0相切，且被y 軸截得的弦長(zhǎng)為 2事,圓C的面積小于13.(I)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)設(shè)過(guò)點(diǎn) M (0,3)的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn) A, B ,以O(shè)A, OB為鄰邊作平行四邊形 OADB .是否存在這樣的直線 l ,使得直線 OD與MC恰好平行？如果存在，求出 l的方程；如

8、果 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案所以c=1 .、選擇題（共10小題,每小題4分，共40分）(1) B(2) D(3) B(4) D(5) D(6) A(7) A(8) C(9) D(10) C二、填空題（共5小題,每小題4分，共20分）(11) 120(12) 10200(13) (1-7)/ 27 2.10 ,一 10(14) 4(15)三、解答題（共5小題,共40分）(16)(共 7 分)解：（I）因?yàn)椋╝+b）（2ab）=8,所以7+2cos9=8 . ,1所以cosi2山川3分因?yàn)?0 <6 <1800,所以 6=60C .一,222_2(n)因?yàn)?|a+b| =(a+b)

9、 =a +2a b + b ,所以 |a+b|2 = 4+2+1 =7 .(17)(共 7 分)解：（1）在 ABC中，由正弦定理可知，bsinA = asinB,所以 a sin B =asin( B +二).3所以B +B +三=冗.3冗即 B =.3(11)在4 ABC中，由余弦定理可知,222b =a +c 2accosB.-2.所以3=4+c -2c.所以 ABC 的面積 S =，acsin B =3-.I III 117分（18）（共 9 分）解：（I ）設(shè)從該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其年齡不小于60為事件A ,P（A） =0.125 0.065 0.04 0.005 =0.235所

10、以該區(qū)中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其年齡不小于60的概率0.235 .|H|3分（n）年齡在0,40）的累計(jì)頻率為 0.075 十0.035+0.16 +0.18 = 0.45,0.05 - 0.014 3.6,所以估計(jì)中位數(shù)為 40+3.6 =43.6.IIIIII6分（出）平均年齡為5 0.075+15 0.035+25 0.16+35 0.18+45 0.14+55x0.175+6 5x0.125+7 5 父 0.065+8 5 M 0.04+95 父 0.00511II119 分=44（19）（共 9 分）證明：（I）因?yàn)镻A_L平面ABCD ,所以PA_CD .因?yàn)?CD _L AD , A

11、DI PA=A ,所以CD _L平面PAD .因?yàn)镃D仁平面PCD ,所以平面PAD _L平面PCD .HHII3 分(n)取PD中點(diǎn)G ,連結(jié)FG, AG ,因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)一1所以 FG/CD，且 FG= 1CD .2因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，底面 ABCD為正方形,1 所以 AE/CD ,且 AE= CD .2所以 FG/AE ,且 FG=AE .所以四邊形AEFG為平行四邊形.所以 EF/AG .因?yàn)镋F遼平面PAD且AG u平面PAD ,所以EF/平面PAD .（出）在正方形 ABCD中，OD_LAC,因?yàn)镻A_L平面ABCD,所以PA_OD .因?yàn)?AC。PA = A,所以O(shè)D _L平

12、面PAC .所以O(shè)D _ AF .在 PAC中，設(shè)PO交AF于H .因?yàn)?PA_L AC ,且O,F分別為AC,PC的中點(diǎn)，所以AF =FC .所以FAC=NFCA.設(shè)PA = 1 ,由已知PA = AB,所以 AC = J2.所以 tan/APO =tan/ACP = 2所以 APO =/ACP .所以/ APO = NACP ,且ZAOP為公共角，所以 APOA HAO.所以 AHO =90：.所以AF _ PO.因?yàn)?POI OD=O ,所以AF _L平面POD .（20）（共 8 分）解：（I）設(shè)圓心C為（a,0）（ a >0）,半徑為r .因?yàn)閳AC與直線3x 4y+7=0相切,_13a 7|所以 1一r,即 3a 7=5r .5又因?yàn)閳AC被y軸截得的弦長(zhǎng)為2卮所以a2 +3 = r2 13 a = a T8由，得/ 或«8 .r=2 r 19 8因?yàn)閳AC的面積小于13, 所以 a =1 , r = 2 .所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2+y2=4.11川|4分(n)由 M (0,3), C(1,0)得 MC =(1,-3).所以O(shè)D =(九,3K)，即D (九