高三數(shù)學 《2.空間幾何體的表面積和體積（10）》 新人教A版

1、空間幾何體的表面積和體積空間幾何體的表面積和體積把柱把柱,錐錐,臺的側(cè)面沿著它們的一條臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱側(cè)棱(或母線或母線)剪開后展開在一個平剪開后展開在一個平面內(nèi)面內(nèi),展開圖的面積是它們的側(cè)面積展開圖的面積是它們的側(cè)面積.側(cè)面積與底面積的側(cè)面積與底面積的和和稱為全面積或稱為全面積或表面積表面積.一一.多面體的側(cè)面積與表面積多面體的側(cè)面積與表面積規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)名稱名稱側(cè)面展開圖側(cè)面展開圖幾何體與側(cè)面幾何體與側(cè)面展開圖的關(guān)系展開圖的關(guān)系棱柱棱柱展開圖是若干展開圖是若干個小平行四邊個小平行四邊形構(gòu)成的圖形形構(gòu)成的圖形(關(guān)系如圖關(guān)系如圖)chS直棱柱側(cè)其中其中c為底面周長，為底面周

2、長，h為高。為高。名稱名稱側(cè)面展開圖側(cè)面展開圖幾何體與側(cè)面幾何體與側(cè)面展開圖的關(guān)系展開圖的關(guān)系棱錐棱錐展開圖是共頂點展開圖是共頂點的三角形構(gòu)成的的三角形構(gòu)成的圖形圖形(關(guān)系如圖關(guān)系如圖)hcS21正棱錐側(cè)其中其中c為底面周長，為底面周長， 為斜高，即側(cè)面三角為斜高，即側(cè)面三角形的高。形的高。h正棱臺的側(cè)面展開圖正棱臺的側(cè)面展開圖如右圖：如右圖：/h/hhccS)(21正棱臺側(cè)c,c分別為上下底面周分別為上下底面周長，長， h為斜高，即側(cè)為斜高，即側(cè)面等腰梯形的高面等腰梯形的高。 一一.多面體的側(cè)面積多面體的側(cè)面積1.設直棱柱的底面周長為設直棱柱的底面周長為c，高，高是是h，側(cè)面積為，側(cè)面積為S

3、柱柱，則，則S柱柱=ch2.設正棱錐的底面周長為設正棱錐的底面周長為c，斜高，斜高是是h，側(cè)面積為，側(cè)面積為S，則，則S=1/2(ch)3.設正棱臺的上、下底面周長為設正棱臺的上、下底面周長為c、c，斜高是，斜高是h，側(cè)面積為，側(cè)面積為S，則，則S=1/2(c+c）h題型一題型一:柱、錐、臺體的表面積柱、錐、臺體的表面積 例例 正三棱錐正三棱錐P- -ABC，底面邊長為，底面邊長為6，側(cè)棱長為側(cè)棱長為5，求它的表面積和體積，求它的表面積和體積.例例:已知一個正三棱臺上底面邊長為已知一個正三棱臺上底面邊長為3cm，下底面，下底面邊長為邊長為6cm，高為，高為3/2cm.(1)求這個正三棱臺的斜高

4、求這個正三棱臺的斜高;(2)求這個正三棱臺的側(cè)面積與表面積求這個正三棱臺的側(cè)面積與表面積.A1C1B1ABCOD1DO1E圓柱圓柱展開圖是矩形，展開圖是矩形，矩形的長是底面矩形的長是底面圓周長，寬是圓圓周長，寬是圓柱的母線長柱的母線長圓錐圓錐展開圖是扇形，展開圖是扇形，扇形的半徑是圓扇形的半徑是圓錐的母線長，弧錐的母線長，弧長是圓錐的底面長是圓錐的底面圓周長圓周長rlS2圓柱側(cè)rlS圓錐側(cè)二、圓柱、圓錐、圓臺圓柱、圓錐、圓臺AOBSO圓臺可以看成是用平行于圓錐底面圓臺可以看成是用平行于圓錐底面的平面截這個圓錐而得到的。的平面截這個圓錐而得到的。它的側(cè)面展開圖通常叫作扇環(huán)，由它的側(cè)面展開圖通常叫

5、作扇環(huán)，由扇環(huán)可以求出圓臺的側(cè)面積。扇環(huán)可以求出圓臺的側(cè)面積。lrrS)(21圓臺側(cè)求解有關(guān)多面體表面積的問題，關(guān)求解有關(guān)多面體表面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形，棱臺中的直角梯形，棱錐中的直矩形，棱臺中的直角梯形，棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長等幾何元素間的橋梁，從而架起求側(cè)面等幾何元素間的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元積公式中的未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系素間的聯(lián)系二二.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積2Srl rl圓柱側(cè)（ 表示圓柱底半徑， 表示母線長）Srl

6、rl圓錐側(cè)（ 表示圓錐底半徑， 表示母線長）)Srr l r rl圓臺側(cè)（ 、表示圓臺上、下底半徑， 表示母線）表示球的半徑）（球面RRS24:(),3,.6.9CD例例 若若一一個個圓圓錐錐的的軸軸截截面面 過過圓圓錐錐定定點點和和底底面面直直徑徑的的截截面面 是是等等邊邊三三角角形形 其其面面積積為為則則這這個個圓圓錐錐的的全全面面積積為為( )( )A.3B.3 3A.3B.3 3A。180ACOO例例: 長方體長方體AC1中，中，AB=3，BC=2，BB1=1，由，由A到到C1在長方體表面上的最短在長方體表面上的最短距離是多少？距離是多少？AA1B1BC1D1CC1B1A1BADD1C

7、1A1AB1A1DACBD1B1C1題型三題型三:側(cè)面上兩點距離問題側(cè)面上兩點距離問題111:,?ABCA B C 1 1練練習習如如圖圖已已知知正正三三棱棱柱柱的的底底面面邊邊長長為為1,1,高高為為8,8,一一質(zhì)質(zhì)點點自自A A點點出出發(fā)發(fā), ,沿沿著著三三棱棱柱柱的的側(cè)側(cè)面面繞繞行行兩兩周周到到達達A A 點點的的最最短短路路線線的的長長為為多多少少ABCC1B1A1A1A 點評與警示點評與警示 求立體圖形表面上兩點的求立體圖形表面上兩點的最短距離問題，是立體幾何中的一個重要最短距離問題，是立體幾何中的一個重要題型這類題目的特點是：立體圖形的性題型這類題目的特點是：立體圖形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)

8、系分散在立體圖形的幾個平面質(zhì)和數(shù)量關(guān)系分散在立體圖形的幾個平面上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上為了便于發(fā)現(xiàn)它們上或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面上為了便于發(fā)現(xiàn)它們圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將圖形間性質(zhì)與數(shù)量上的相互關(guān)系，必須將圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者圖中的某些平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，或者將曲面展開為平面，使問題得到解決其將曲面展開為平面，使問題得到解決其基本步驟是：展開基本步驟是：展開( (有時全部展開，有時有時全部展開，有時部分展開部分展開) )為平面圖形，找出表示最短距為平面圖形，找出表示最短距離的線段，再計算此線段的長離的線段，再計算此線段的長21A1B1CABCP5 2C1CBA1解：連解：連A1B

9、，沿，沿BC1將將CBC1展開與展開與A1BC1在同一個平面內(nèi)，在同一個平面內(nèi)，如圖所示，如圖所示，連連A1C，則，則A1C的長度就是所的長度就是所求的最小值。求的最小值。通過計算可得通過計算可得 A1C1B90 又又 BC1C45 A1C1C135 由余弦定理由余弦定理可求得可求得A1C 三、空間幾何體的體積三、空間幾何體的體積表示柱體的高）表示柱體的底面積，（柱體hSShV表示錐體的高）表示錐體的底面積，（錐體hSShV31表示臺體的高）上、下底面積，表示臺體的、）（，臺體hSSSSSShV31表示球半徑）（球RRV334題型四題型四:柱、錐、臺體的體積柱、錐、臺體的體積公式法公式法B61

10、1111ABC D變式：（變式：（10北京）北京）如圖，正方體如圖，正方體ABCD-ABCD-的棱長為的棱長為2 2，動點，動點E E、F F在棱在棱A A1 1B B1 1上，動點上，動點P，Q分別在棱分別在棱ADAD，CDCD上，若上，若EF=1EF=1， A1E=x，DQ=y， D D（，大于零），則四（，大于零），則四面體面體PEPE的體積的體積（）與，都有關(guān)（）與，都有關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān) （）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)D1111ABCDABC DABCDEFGHMN435812ABCD EFGHV 1584 3

11、2 （）ABFEDCMNV 柱柱FGMEHNV 柱柱13 4 42 102 ABCDEFGH435812ABCDEFGH43581212ABCD EFGHABCD A B C DVV A B C D 13 4 172 12ABCDSAA 102 如圖所示，如圖所示，ABCD是邊長是邊長為為3的的正正面面ABCD的距離為的距離為2，則，則該多面體的該多面體的 體積為體積為()915.5.6.22ABCD【解析解析】法一：可利用排除法來解法一：可利用排除法來解法二：如圖所示，連結(jié)法二：如圖所示，連結(jié)EB、EC.四棱錐四棱錐E-ABCD的體積的體積法三：如圖所示，設法三：如圖所示，設G、H分別為分別

12、為AB、CD的中點，連結(jié)的中點，連結(jié)EG、EH、GH，則，則EGFB，EHFC，GHBC，得三棱，得三棱柱柱EGH-FBC.32655476求差法求差法應熟練掌握應熟練掌握規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié).16.20.24.32ABCD236 .64 .34 .6.DCBA 例例.P、A、B、C是球是球O面上的四點，面上的四點，PA、PB、PC兩兩垂直，且兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，求球，求球的體積與表面積的體積與表面積.補形法：補形法：32V 球球3S 球球面面正方體與球的關(guān)系正方體與球的關(guān)系1.相接：相接：棱長為棱長為a的正方體的外接球的半徑為的正方體的外接球的半徑為_.23a棱長為棱長為a的正方體的內(nèi)切球的半徑為的正方體的內(nèi)切球的半徑為_.2.相切：相切：2a變式：一個四面體的所有棱長都為變式：一個四面體的所有棱長都為 ，四個頂，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為點在同一球面上，則此球的表面積為 . .23 1.相接：相接：棱長為棱長為a的的正四面體正四面體的外接球的半徑為的外接球的半徑為_.棱長為棱長為a的的正四面體正四面體的內(nèi)切球的半徑為的內(nèi)切球的半徑為_.2.相切：相切：正四面體與球的關(guān)系正四面體與球的關(guān)系46a126a,111ABCABC12ABACAA120BAC（20092009全國卷全國卷理）直三棱柱理）直三棱柱的各頂點都在