圓錐曲線大題全攻略含答案詳解

1、圓錐曲線大題全攻略含答案詳解 圓錐曲線大題全攻略系列課程 1. 求軌跡方程問題 2. 圓錐曲線中的定點問題 3. 圓錐曲線中的定值問題 4. 圓錐曲線中的最值問題 5. 點差法解決中點弦問題 6. 常見幾何關(guān)系的代數(shù)化方法 7. 圓錐曲線中的非對稱"韋達定理'問題處理技巧 8. 圓錐曲線中的三點共線問題 9. 巧用曲線系方程解決圓錐曲線中的四點共圓問題 10. 拋物線中阿基米德三角形的常見性質(zhì)及應(yīng)用 11. 圓錐曲線中的雙切線題型 圓錐曲線 中的求軌跡方程問題 解題技巧 求動點的軌跡方程這類問題可難可易是高考中的高頻題型，求軌跡方程的主要方法有直譯法、相關(guān)點法、定義法、參數(shù)法

2、等。它們的解題步驟分別如下： 1. 直譯法求軌跡的步驟： （1）設(shè)求軌跡的點為 ); , ( y x p （2）由已知條件建立關(guān)于 y x, 的方程； （3）化簡整理。 2. 相關(guān)點法求軌跡的步驟： （1）設(shè)求軌跡的點為 ) , ( y x p ，相關(guān)點為 ) , (o oy x q ; （2）根據(jù)點的產(chǎn)生過程，找到 ) , ( y x 與 ) , (o oy x 的關(guān)系，并將o oy x , 用 x 和 y 表示； （3）將 ) , (o oy x 代入相關(guān)點的曲線，化簡即得所求軌跡方程。 3. 定義法求軌跡方程： （1）分析幾何關(guān)系； （2）由曲線的定義直接得出軌跡方程。 4. 參數(shù)法求軌

3、跡的步驟： （1）引入?yún)?shù)； （2）將求軌跡的點 ) , ( y x 用參數(shù)表示； （3）消去參數(shù)； （4）研究范圍。 【例 1.】已知平面上兩定點 ), , ( ), , ( 2 0 2 0 n m - 點 p 滿足 , mn pn mn mp · = · 求點 p 的軌跡方程。 【例 2.】已知點 p 在橢圓 1422= + yx上運動，過 p 作 y 軸的垂線，垂足為 q ，點 m 滿足, pq pm31= 求動點 m 的軌跡方程。 【例 3.】已知圓 ), , ( , ) ( : 0 2 36 22 2b y x a = + + 點 p 是圓 a 上的動點，線段 p

4、b 的中垂線交pa 于點 q ，求動點 q 的軌跡方程。 【例 4.】過點 ) , ( 1 0 的直線 l 與橢圓 1422= +yx 相交于 b a, 兩點，求 ab 中點 m 的軌跡方程。 專題練習(xí) 1. 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，點 ( ) ( ) , , , , 4 0 1 0 b a 若直線 0 2 + + - m y x 上存在點 p ,使得, pb pa21= 則實數(shù) m 的取值范圍為_. 2. 已知 ( ) q p , , 2 4 - 為圓 42 2= + y x o: 上任意一點，線段 pq 的中點為 , m 則 om 的取值范圍為_. 3. 拋物線 x y c 42:

5、的焦點為 , f 點 a 在拋物線上運動，點 p 滿足 , fa ap 2 - = 則動點 p 的軌跡方程為_. 4. 已知定圓 , ) ( : 100 42 2= + + y x m 定點 ), , ( 4 0 f 動圓 p 過定點 f 且與定圓 m 內(nèi)切，則動圓圓心 p 的軌跡方程為_. 5. 已知定直線 , : 2 - = x l 定圓 , ) ( : 4 42 2= + - y x a 動圓 h 與直線 l 相切，與定圓 a 外切，則動圓圓心 h 的軌跡方程為_. 6. 直線 0 3 3 = + - + t y tx l : 與拋物線 x y 42= 的斜率為 1 的平行弦的中點軌跡有

6、公共點，則實數(shù) t 的取值范圍為_. 7. 拋物線 y x 42= 的焦點為 , f 過點 ) , ( 1 0 - m 作直線 l 交拋物線于 b a, 兩點，以 bf af, 為鄰邊作平行四邊形 , farb 求頂點 r 的軌跡方程。 8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知直線 l 與橢圓 112 242 2= +y xc : 相交于 b a, 兩點，o 為坐標(biāo)原點。 （1）若直線 l 的方程為 , 0 6 2 = - + y x 求 ob oa· 的值； （2）若 , 12 - = ·ob oa 求線段 ab 的中點 m 的軌跡方程。 直線過定點問題 解題技巧

7、證明動直線在一定的條件下過定點是解析幾何中的一類重要題型,這類問題解題一般有兩 種解法. 【法 1】設(shè)直線，求解參數(shù)，一般的解題步驟為： (1).設(shè)出直線的方程 b kx y + = 或 t my x + = ； (2).通過題干所給的已知條件,進行正確的運算,找到 k 和 m b, 和 t 的關(guān)系，或者解出 t b, 的值； (3) 根據(jù)(2)中得出的結(jié)果,找出直線過的定點. 【法 2】求兩點，猜定點，證向量共線。一般的解題步驟為： (1) .通過題干條件，求出直線上的兩個點 b a, 的坐標(biāo)(含參)； (2).取兩個具體的參數(shù)值，求出對應(yīng)的直線 ab ，并求出它們的交點 p ，該點即為直線

8、過的 定點； (3)證明 pa 與 pb 共線，得出直線 ab 過定點 p 。 注：上面的兩個解法中，解法 2 的計算量通常要大一些，故一般首選解法 1.當(dāng)解法 1 失效 或處理起來較為復(fù)雜時再考慮解法 2. 【例一】已知橢圓 ( ) 0 12222> > = + b abyaxc : 的半焦距為 c ，離心率為21，左頂點 a 到直線cax2= 扥距離為 6，點 q p, 是橢圓上的兩個動點。 （1）求橢圓 c 的方程； （2）若直線 aq ap ,求證：直線 pq 過定點 r ，并求出 r 點的坐標(biāo)。 【例二.】已知一動圓經(jīng)過點 ( ) 0 2, m ,且在 y 軸上截得的弦長

9、為 4，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線 c 。 （1）求曲線 c 的方程； （2）過點 ( ) 0 1, n 任意作兩條互相垂直的直線2 1l l , ，分別交曲線 c 于不同的兩點 b a, 和e d, ,設(shè)線段 de ab, 的中點分別為 q p, . 求證：直線 pq 過定點 r ，并求出定點 r 的坐標(biāo)； 求 pq 的最小值。 專題練習(xí) 1. 設(shè)橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxe: 的右焦點到直線 0 2 2 = = + + - - y x 的距離為 3，且過點÷ ÷÷ ÷

10、48; øö öç çç çè èæ æ- - - -261, 。 （1）求 e 的方程； （2）設(shè)橢圓 e 的左頂點是 a ，直線 0 = = - - - - t my x l : 與橢圓 e 交于不同的兩點 n m, （均不與 a 重合），且以 mn 為直徑的圓過點 a 。試判斷直線 l 是否過定點，若是，求出定點坐標(biāo)；若否，說明理由。 2. 橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxc: 的上頂點為 b ，右焦點為

11、f ，點 f b, 都在直線0 3 3 = = - - + + y x 上。 （1）求橢圓 c 的標(biāo)準方程； （2） n m, 為橢圓 c 上的兩點，且直線 bn bm, 的斜率之積為41，證明：直線 mn 過定點，并求定點坐標(biāo)。 3. 拋物線 ( ( ) ) 0 22> > = = p px y c: 上一點 ( ( ) )( ( ) ) 0 10 0> > y y m , 滿足 2 = = mf ，其中 f 為拋物線的焦點。 （1）求拋物線 c 的方程； （2）設(shè)直線 ma 和 mb 分別與拋物線 c 交于不同于 m 點的 b a, 兩點，若 mb ma ，證明：直

12、線 ab 過定點，并求此定點的坐標(biāo)。 4. 已知直線 l 的方程為 2 + + = = x y ，點 p 是拋物線 x y 42= = 上距離直線 l 最近的點，點 a 是拋物線上異于點 p 的點，直線 ap 與直線 l 交于點 q ，過點 q 與 x 軸平行的直線與拋物線交于點 b 。 （1）求 p 點的坐標(biāo)； （2）證明：直線 ab 恒過定點，并求這個定點的坐標(biāo)。 圓錐曲線中的定值問題 解題技巧 1. 在圓錐曲線問題中,定值問題是?？碱}型,解題的一般步驟為: （1）設(shè)出直線的方程 b kx y + = 或 t my x + = 、點的坐標(biāo); （2）通過題干所給的已知條件,進行正確的運算,將

13、需要用到的所有中間結(jié)果(如弦長、距 離等)表示成直線方程中引入的變量，通過計算得出目標(biāo)變量為定值 2. 解析幾何大題計算過程中經(jīng)常用到弦長公式,下面給出常用的計算弦長的公式: (1)若直線 ab 的方程設(shè)為 ( ) , , ), , ( ,2 2 1 1y x b y x a m kx y + = 則 ( )ak x x x x k x x k abd· + = - + · + = - · + =22 122 122 121 4 1 1 (2)若直線 ab 的方程設(shè)為 ( ) , , ), , ( ,2 2 1 1y x b y x a t my x + = ,則

14、 ( )am y y y y m y y m abd· + = - + · + = - · + =22 122 122 121 4 1 1 注:其中 a 指的是將直線的方程代入圓錐曲線方程后,化簡得出的關(guān)于 x 或 y 的一元二 次方程的平方項系數(shù), d 指的是該方程的判別式.通常用ak abd· + =21 或 am abd· + =21 計算弦長較為簡便 【例 1.】設(shè)拋物線 , :2x y c = 直線 l 經(jīng)過點 ） （ 0 , 2 且與拋物線交于 a 、 b 兩點，證明： ob oa· 為定值。 【 例 2. 】 已 知 橢

15、 圓 ) 0 ( 1 :2222> > = + b abyaxc 的 離 心 率 為a o b o b b a a d ), 0 , 0 ( ), 0 ), 0 , (23， （ ， 的面積為 1. （1）求橢圓 c 的方程； （2） 設(shè) p 為 c 上一點，直線 pa 與 y 軸交于點 , m 直線 pb 與 x 軸交于點 . n 求證：bm an · 為定值。 專題練習(xí) 1. 已知橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxc: 的離心率為22，且過點 ( ( ) ) 1 2, 。 （1）求橢圓 c 的方程

16、； （2）設(shè) p 是橢圓 c 長軸上的動點，過 p 作斜率為22的直線 l 交橢圓 c 于 b a, 兩點，求證：2 2pb pa + + 為定值。 2. 已知點 ( ( ) ) 0 1, f ，直線 p x l , : 1 - - = = 為平面上的動點，過 p 作直線 l 的垂線，垂足為點 q ，且 fq fp qf qp × × = = × × 。 （1）求動點 p 的軌跡 c 的方程； （2）過點 f 的直線交軌跡 c 與 b a, 兩點，交 l 于點 m ，若 bf mb af ma2 1l l = = = = , ，求2 1l l + + 的

17、值。 3.已知拋物線 px y c 22= = : 經(jīng)過點 ( ( ) ) 2 1, p 過點 ( ( ) ) 1 0, q 的直線 l 與拋物線 c 有兩個不同的交點 b a, ，且直線 pa 交 y 軸于 m ，直線 pb 交 y 軸于 n 。 （1）求直線 l 的斜率的取值范圍； （2）設(shè) o 為原點， qo qn qo qm m l = = = = , ，求證：m l1 1+ + 為定值。 4.已知橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxe: 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的 3 個頂點，直線 3 + + - -

18、 = = x y l : 與橢圓 e 有且只有一個公共點 t 。 （1）求橢圓 e 的方程及點 t 的坐標(biāo)； （2）設(shè) o 為坐標(biāo)原點，直線l¢ ¢平行于 ot ，與橢圓 e 交于不同的兩點 b a, ，且與直線 l 交于點 p ，證明：存在常數(shù) l ，使得 pb pa pt × × = = l2，并求 l 的值。 5.在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxc: 過點 ÷ ÷ø øö öç

19、 çè èæ æ231, ，右焦點為 ( ( ) ) 0 1, f ，過焦點 f 且與 x 軸不重合的直線與橢圓 c 交于 b a, 兩點，點 b 關(guān)于原點的對稱點為 p ，直線 pb pa, 分別交直線 4 = = x 于 n m, 兩點。 （1）求橢圓 c 的方程； （2）若 b 的坐標(biāo)為÷ ÷÷ ÷ø øö öç çç çè èæ æ53 358, ，求直線 pa 的方程； （3）

20、記 n m, 兩點的縱坐標(biāo)分別為n my y , ，問：n m yy 是不是定值？ 6.過拋物線 x y 42= = 上一定點 ( ( ) ) 2 2 2, p 作兩條直線分別交拋物線于不與 p 重合的( ( ) ) ( ( ) )2 2 1 1y x b y x a , , , 兩點。 （1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為 1 的點到其焦點的距離 d ； （2）當(dāng) pa 與 pb 的傾斜角互補時，證明直線 ab 的斜率為非零的常數(shù)，并求出此常數(shù)。 圓錐曲線中的最值問題 解題技巧 求最值(范圍)問題是圓錐曲線常考題型,這類題解題的一般步驟是： (1)設(shè)出直線的方程 b kx y + = 或 t my x

21、 + = 、點的坐標(biāo)； (2)將直線的方程代入圓錐曲線中,計算弦長、點到直線的距離等中間量； (3)將求范圍的目標(biāo)量表示成直線中引入的參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式; (4)運用函數(shù)、均值不等式等基本方法求出最值(范圍). 【例 1.】已知點 ), 2 , 0 ( - a 橢圓 ) 0 ( 1 :2222> > = + b abyaxe 的離線率為 f ，23是橢圓的焦點，直線 af 的斜率為 o ，33 2為坐標(biāo)原點。 （1）求 e 方程； （2）設(shè)過點 a 的直線 l 與 e 相交于 q p, 兩點，當(dāng) opq d 的面積最大時，求 l 的方程。 專題練習(xí) 1. 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中

22、，已知點 ( ( ) ) b a , , 1 0 - - 點在直線 3 - - = = y 上， m 點滿足m ba mb ab ma oa mb , , / · · = = · · 點的軌跡為曲線 c 。 （1）求 c 的方程； （2） p 為 c 上的動點， l 為 c 在 p 點處的切線，求 o 點到 l 距離的最小值。 2. 已知橢圓 ( ( ) ) 0 13222> > = = + + ayaxm : 的一個焦點為 ( ( ) ) 0 1, - - f ，左、右頂點分別為 b a, 經(jīng)過點 f 的直線 l 與橢圓 m 交于 d c,

23、 兩點。 （1）求橢圓的方程； （2）記 abd d 與 abc d 的面積分別為1s 和2s ，求2 1s s - - 的最大值。 3. 已知拋物線 ( ( ) ) 0 22> > = = p py x c: ，過其焦點作斜率為 1 的直線 l 與 c 交于 n m, 兩點，16 = = mn 。 （1）求拋物線 c 的方程； （2）已知動圓 p 的圓心在 c 上，且過定點 ( ( ) ) 4 0, d ，若動圓 p 與 x 軸交于 b a, 兩點，db da < < ，求dbda的最小值。 4. 已知橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > >

24、> = = + + b abyaxc: 的左、右焦點分別為2 1f f , ，左頂點為 a ，離心率為22，點 b 是橢圓上的動點，1abf d 面積的最大值為21 2 - -。 （1）求橢圓 c 的方程； （2）設(shè)經(jīng)過點的直線1f 的直線 l 與橢圓 c 相交于不同的兩點 n m, ，線段 mn 的中垂線為l¢ ¢，若直線l¢ ¢與 l 相交于點 p ，與直線 2 = = x 相交于點 q ，求mnpq的最小值。 5. 設(shè)圓 0 15 22 2= = - - + + + + x y x 的圓心為 a ，直線 l 過點 ( ( ) ) 0 1, b

25、 且與 x 軸不重合， l 交圓 a于 d c, 兩點，過 b 作 ac 的平行線交 ad 于點 e 。 （1）證明 eb ea + + 為定值，并寫出點 e 的軌跡方程； （2）設(shè)點 e 的軌跡為曲線1c ，直線 l 交1c 于 n m, 兩點，過 b 且與 l 垂直的直線與圓 a交于 q p, 兩點，求四邊形 mpnq 面積的取值范圍。 6. 已知橢圓 1422= = + + yxg : ，過點 ( ( ) ) 0 , m 作圓 12 2= = + + y x 的切線 l 交橢圓 g 與 b a, 兩點。 （1）求橢圓 g 的焦點坐標(biāo)和離心率； （2）將 ab 表示為 m 的函數(shù)，并求 a

26、b 的最大值。 7. 如圖，已知點 ( ( ) ) 0 1, f 為拋物線 ( ( ) ) 0 22> > = = p py y 的焦點，過 f 的直線交拋物線與 b a, 兩點，點 c 在拋物線上，使得 abc d 的重心 g在 x 軸上，直線 ac 交 x 軸于點 q ，且 q 在點 f 右側(cè)，記cqg afgd d , 的面積分別為2 1s s , 。 （1）求 p 的值及拋物線的準線方程； （2）求21ss的最小值及此時點 g 的坐標(biāo)。 常見幾何關(guān)系的代數(shù)化方法 解題技巧 解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問題，因此，積累一些常見的幾何關(guān)系的代數(shù)化方法是有必要的，本專

27、題歸納了一些常見的幾何關(guān)系的處理方法： （1）以 ab 為直徑的圓過點 0 = · Û pb pa p ; （2）點 p 在以 ab 為直徑的圓內(nèi) 0 < · Û pb pa ; （3）點 p 在以 ab 為直徑的圓外 0 > · Û pb pa ; （4）四邊形 pqrs 為平行四邊形 Û 對角線 pr 與 qs 互相平分; （5）四邊形 pqrs 為菱形 Û 對角線 pr 與 qs 互相垂直平分； （6）四邊形 pqrs 為矩形 Û 對角線 pr 與 qs 互相平分且相等； （7） 0 =

28、 · Û = ab pm pb pa ,其中 m 為 ab 的中點； （8）直線 ab 與直線 mn 關(guān)于水平線或豎直線對稱 0 = + Ûmn abk k ; （9）f 為 pqm d 的垂心 0 = · Û qm pf、0 = ·pm qf且0 = ·pq mf. 【例一】已知圓 c： ( ) 12 122= + + y x 及點 f（1，0），點 p 在圓上，m,n 分別為 pf，pc 上的點，且滿足 0 = · = pf mn mf pm , . （1）求 n 的軌跡 w 的方程； （2）是否存在過點 f（

29、1，0）的直線 l 與曲線 w 相交于 a,b 兩點，并且與曲線 w上一點 q，使得四邊形 oaqb 為平行四邊形？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由。 【例二】在直角坐標(biāo)系 xoy 中，曲線42xy c = : 與直線 ) ( : 0 > + = a a kx y l 交于 m,n兩點。 （1）當(dāng) 0 = k 時，分別求 c 在點 m 和 n 處的切線方程； （2）在 y 軸上是否存在點 p，使得當(dāng) k 變動時，總有 ? opn opm Ð = Ð 說明理由。 專題練習(xí) 1. 已知 a,b,c 是橢圓 1422= + yxw : 上的三個點， o 是坐

30、標(biāo)原點。 （1）當(dāng)點 b 是 w 的右頂點，且四邊形 oabc 為菱形時，求此菱形的面積； （2）當(dāng)點 b 不是 w 的頂點，判斷四邊形 oabc 是否可能為菱形，并說明理由； 2. 已知橢圓 ( ) 0 12222> > = + b abyax的右焦點為 f ,上頂點為 o m, 為坐標(biāo)原點，若omf d 的面積為21，且橢圓的離心率為22。 （1）求橢圓的方程； （2）是否存在直線 l 交橢圓于 q p, 兩點，且 f 點恰為 pqm d 的垂心？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由。 3. 直 線 , : 0 8= + + y x l 圓 , : 362 2= +

31、 y x o 其 中 o 是 坐 標(biāo) 原 點 ， 橢 圓( ) 0 12222> > = + b abyax的離心率為 ,23= e 直線 l 被圓 o 截得的弦長與橢圓 c 的長軸長相等。 （1）求橢圓 c 的方程； （2）過點（3，0）的直線l¢與橢圓 c 交于 b a, 兩點，設(shè) . ob oa os + = 是否存在直線l¢，使 ? ab os = 若存在，求出直線l¢的方程；若不存在，說明理由。 4. 設(shè)2 1f f , 分別是橢圓 ( )0 12222> > = + b abyaxe : 的左、右焦點，過1f 作斜率為 1 的直

32、線 l 與 e 相交于 b a, 兩點，且2 2bf ab af , , 成等差數(shù)列。 （1）求橢圓 e 的離心率； （2）設(shè)點 ) , ( 1 0 - p 滿足 , pb pa = 求 e 的方程。 5. 已知橢圓 ), ( : 0 92 2 2> = + m m y x c 直線 l 不過原點 o 且不平行于坐標(biāo)軸， l 與 c有兩個交點 b a, ，線段 ab 的中點為 m . （1）證明：直線 om 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值； （2）若 l 過點 ÷øöçèæmm,3，延長線段 om 與 c 交于點 p 四邊形

33、oapb 能否為平行四邊形？若能，求此時 l 的斜率；若不能，說明理由。 6. 設(shè) b a, 分別為橢圓 ( ) 0 12222> > = + b abyax的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且過點 . ,÷÷øöççèæ262 （1）求橢圓的方程； （2）設(shè) p 為直線 4 = x 上不同于點（4，0）的任意一點，若直線 bp ap, 分別與橢圓相交于異于 b a, 的點 n m, ,證明：點 b 在以 mn 為直徑的圓內(nèi)。 點差法解決中點弦問題 解析技巧 設(shè)直線與圓錐曲線交于 b a, 兩點，

34、ab 中點為 m ，這類與圓錐曲線的弦和弦中點有關(guān)的問題，一般叫做中點弦問題，點差法是解決中點弦問題的重要方法。其解題的一般步驟是： （1）設(shè) b a, 兩點的坐標(biāo)分別為 ( ( ) )1 1y x a , 、 ( ( ) )2 2y x b , ； （2）代入圓錐曲線的方程； （3）將所得方程作差，結(jié)合中點公式ï ïî îï ïí íì ì+ += =+ += =222 12 1y xxy yymm、斜率公式2 12 1x xy yk ab- - -= = 等化簡，得出結(jié)果。 【例一】已知雙曲

35、線 1422= = - - yxc : ，點 ( ( ) ) 1 4, p 是雙曲線一條弦的中點，則該弦所在直線的方程為_. 【例二】已知橢圓 1222= = + + yx上兩個不同的點 b a, 關(guān)于直線21+ + = = mx y 對稱，求實數(shù)m 的取值范圍。 專題練習(xí) 1. 過橢圓 14 162 2= = + +y x內(nèi)一點 ( ( ) ) 1 2, m 引一條弦 ab ，使弦 ab 被 m 點平分，則直線 ab 的方程為_. 2. 已知拋物線 x y c 62= = : ，過點 ( ( ) ) 1 4, p 引拋物線 c 的一條弦 ab ，使該弦被 p 點平分，則這條弦所在直線的方程為

36、_. 3. 已知拋物線 c 的頂點在原點，準線方程為 1 - - = = x ，直線 l 與拋物線 c 交于 n m, 兩點，線段 mn 的中點為 ( ( ) ) 1 1, ，則直線 l 的方程為_. 4. 橢圓 36 42 2= = + + y x 的弦 ab 被點 ( ( ) ) 2 4, 平分，則直線 ab 的方程為_. 5. 已知拋物線 ( ( ) ) 0 22> > = = p px y c: 的焦點為 f ，過點 ( ( ) ) 1 2, r 的直線 l 與拋物線 c 交于b a, 兩點，且 5 = = + + = = fb fa rb ra , ，則直線 l 的斜率為

37、 （ ） 23. a 1 . b 2 . c 21. d 6. 橢圓 12 42 2= = + +y xc : 的斜率為 3 的弦 ab 的中點 m 的軌跡方程為_. 7. 拋物線 x y c = =2: 上存在不同的兩點 b a, 關(guān)于直線 ( ( ) ) 3 - - = = x m y l : 對稱，則實數(shù) m 的 取值范圍為_. 8. 已知橢圓 ( ( ) ) 0 92 2 2> > = = + + m m y x c: ，直線 l 不過原點 o 且不平行于坐標(biāo)軸， l 與 c 有兩個交點 b a, ，線段 ab 的中點為 m 。證明：直線 om 的斜率與 l 的斜率的乘積為

38、定值。 9.已知雙曲線 1222= = - -yx ，是否存在過點 ( ( ) ) 1 1, p 的直線 l 與雙曲線交于 b a, 兩點，且 p恰為 ab 的中點？ 10.已知橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxe: 的半焦距為 c ，原點 o 到經(jīng)過兩點 ( ( ) ) ( ( ) ) b c , , , 0 0 的直線的距離為2c。 （1）求橢圓 e 的離心率； （2）如圖， ab 是圓 ( ( ) ) ( ( ) )251 22 2= = - - + + + + y x m : 的一條直徑，若橢圓 e 經(jīng)過 b a,

39、 兩點，求橢圓 e 的方程。 圓錐曲線中的非對稱韋達定理問題處理技巧 解析技巧 在圓錐曲線問題中，將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去 x 或y，得到關(guān)鍵方程（不妨設(shè)方程的兩根為1x和2x），結(jié)合韋達定理來進行其他的運算是常見的解題方法。能夠利用韋達定理計算的量一般有2 12 12221 2 1 2 11 1x xx x x x x x x x + + - - + + + + , , , ,等，但在某些問題中，可能會涉及需計算兩根系數(shù)不相同的代數(shù)式，例如，運算過程中出現(xiàn)了2 1 2 13 2 2 x x x x + + - - ,等結(jié)構(gòu)，且無法直線通過合并同類項化為系數(shù)相同的情況處理，像這種非

40、對稱的韋達定理結(jié)構(gòu)，通常是無法根據(jù)韋達定理直接求出的，那么一般的處理方法是局部計算、整體約分。需要通過適當(dāng)?shù)呐錅悾瑢⒎肿雍头帜高@種非對稱的結(jié)構(gòu)湊成一致的，剩下的一般可以轉(zhuǎn)化為對稱的韋達定理加以計算，最后通過計算，發(fā)現(xiàn)分子、分母可以整體約分，從而解決問題。下面通過幾個例題來詳細介紹這類的解題方法。 1. 平面內(nèi)有兩定點 ), 1 , 0 ( ), 1 , 0 ( b a - 曲線 c 上任意一點 ) , ( y x m 都滿足直線 am 與直線bm 的斜率之積為 ,21- 過點 ) 0 , 1 ( f 的直線 l 與橢圓交于 d c, 兩點，并與 y 軸交于點 p ,直線 ac 與 bd 交于點

41、 . q （1）求曲線 c 的軌跡方程； （2）當(dāng)點 p 異于 b a, 兩點時，求證： oq op· 為定值。 【例 1.】已知橢圓 ) 0 ( 1 :2222> > = + b abyaxc 過點 ）， ， （ 2 , 2 p 且離心率為 .22 （1）求橢圓 c 的方程； （2）設(shè)橢圓 c 的上、下頂點分別為 , ,b a 過點 ） （ 4 , 0 斜率為 k 的直線與橢圓 c 交于 n m,兩點。求證：直線 bm 與 an 的交點 g 在定直線上。 【例 2.】橢圓有兩個頂點 ), 0 , 1 ( ), 0 , 1 ( b a - 過其焦點 ) 1 , 0 ( f

42、 的直線 l 與橢圓交于 d c, 兩點，并與 x 軸交于點 p ,直線 ac 與 bd 交于點 q . （1）當(dāng)22 3= cd 時，求直線 l 的方程； （2）當(dāng) p 點異于 b a, 兩點時，證明： oq op· 為定值。 專題練習(xí) 1. 已知 b a, 分別是橢圓 1222= = + + yx的右頂點和上頂點， d c, 在橢圓上，且 ab cd/ ，設(shè)直線 bd ac, 的斜率分別為1k 和2k ，證明：2 1 kk 為定值。 2. 已知橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxc: 的左、右焦點分別為 ( (

43、 ) ) ( ( ) ) n m c f c f , , , , , 0 02 1- - 分別為左、右頂點，直線 1 + + = = ty x l : 與橢圓 c 交于 b a, 兩點，當(dāng)33- - = = t 時， a 是橢圓 c的上頂點，且2 1 faf d 的周長為 6. （1）求橢圓 c 的方程； （2）設(shè)直線 bn am, 交于點 t ，求證：點 t 的橫坐標(biāo)tx 為定值。 3.已知 f 為橢圓 13 42 2= = + +y x的右焦點， b a, 分別為其左、右頂點，過 f 作直線 l 交橢圓于不與 b a, 重合的 n m, 兩點，設(shè)直線 bn am, 的斜率分別為1k 和2k

44、 ，求證：21kk為 定值。 圓錐曲線中的三點共線問題 解題技巧 平面解析幾何中三點共線相關(guān)問題 三點共線問題是高考的熱點問題，大題小題都有涉及。這類題處理的方法一般來說有兩個：斜率相等；向量共線。 證明三點共線問題的解題步驟： （1）求出要證明共線的三點的坐標(biāo)；（如果已給出，則無需這一步） （2）運用斜率相等或向量共線來證明三點共線。 特別提醒：三點共線問題的兩個處理方法中，向量共線往往更方便，因為無需考慮斜率不存在的情形，所以大題一般用向量共線，小題用斜率相等。 【例 1.】拋物線 ) ( : 02121> = p xpy c 的焦點與雙曲線 13222= - yxc : 的右焦點的

45、連線交1c 于第一象限的點 m ，若1c 在點 m 處的切線平行于2c 的一條漸近線，則 = p （ ） 63. a 83. b 33 2. c 33 4. d 【例 2.】已知拋物線 x y 42= 的焦點為 f ，過 f 的直線交拋物線于 b a, 兩點，設(shè) ab 中點為 m b a m , , , 在拋物線的準線上的射影分別為 . , , n d c （1）求直線 fn 與直線 ab 所成的夾角 q 的大小； （2）證明： c o b , , 三點共線。 專題習(xí)題 1. 拋物線 y x c3821= : 的焦點 f 與雙曲線 ) ( : 0 1322 22> = - bby xc

46、的右焦點 t 的連線交1c 于第一象限的點 m ，若1c 在點 m 處的切線平行于2c 的一條漸近線，則 = b （ ） 2 . a 3 . b 2 . c 1 . d 2. 已知橢圓 14 52 2= +y x的右焦點為 f ，設(shè)直線 5 = x l: 與 x 軸的交點為 e ，過點 f 的直線1l 與橢圓交于 b a, 兩點， m 為線段 ef 的中點。 （1）若直線1l 的傾斜角為 ° 45 ，求 abm d 的面積 s ； （2）過點 b 作直線 l bn 與點 n ,證明： n m a , , 三點共線。 3. 已知橢圓 ) ( : 0 12222> > = +

47、 b abyaxe 的右焦點為 f ，橢圓的上頂點和兩焦點的連線構(gòu)成一個等邊三角形，且面積為 . 3 （1）求橢圓 e 的標(biāo)準方程； （2）若直線 ) ( : 0 ¹ + = m q my x l 與橢圓 e 交于不同的兩點 b a, ，設(shè)點 a 關(guān)于橢圓長軸的對稱點為1a ,試求 b f a , ,1三點共線的充要條件。 4. 已知橢圓 ) ( : 0 12222> > = + b abyaxm 的離心率為 ,36焦距為 . 2 2 斜率為 k 的直線 l 與橢圓 m 有兩個不同的交點 b a, 。 （1）求橢圓 m 的方程； （2）若 , 1 = k 求 ab 的最大

48、值； （3）設(shè) ), , ( 0 2 - p 直線 pa 與橢圓 m 的另一個交點為 , c 直線 pb 與橢圓 m 的另一個交點為 , d 若 d c, 和點 ) , (4147- q 共線，求 . k 5. 已知曲線 ) ( ) ( ) ( : r m y m x m c Î = - + - 8 2 52 2. （1）若曲線 c 是焦點在 x 軸上的橢圓，求 m 的取值范圍； （2）設(shè) , 4 = m 曲線 c 與 y 軸的交點分別為 b a, （點 a 位于點 b 的上方），直線 4 + = kx y與曲線 c 交于不同的兩點 , ,n m 直線 1 = y 與直線 bm 交于

49、點 , g 求證： n g a , , 三點共線。 6. 已知兩個定點 ( ( ) ) ( ( ) ) 0 1 0 1 , , , n m - - ，動點 p 滿足 pn pm 2 = = 。 （1）求動點 p 的軌跡 c 的方程； （2）過點 m 的直線 l 與曲線 c 交于不同的兩點 b a, ，設(shè)點 a 關(guān)于 x 軸的對稱點為 q（ q a, 兩點不重合），證明： q n b , , 三點在同一直線上。 巧用曲線系方程解決圓錐曲線中的四點共圓問題 解題技巧 圓錐曲線中的四點共圓問題在高考中是一大難點，應(yīng)用曲線系方程可以很好地解決這類問題。 1. 曲線系方程：設(shè) 0 = ) , ( y x

50、 f 和 0 = ) , ( y x g 分別表示平面上的兩條曲線，則經(jīng)過兩曲線交 點的曲線系方程可以為 . ) , ( ) , ( 0 = + y x g y x f l 2. 高考中常見的四點共圓問題是兩條直線與圓錐曲線交于不同的四點，判斷四點是否在同一圓上，如果是，需求出圓的方程。應(yīng)用曲線系方程求解這類四點共圓問題的解題步驟是：（1）設(shè)經(jīng)過圓錐曲線和兩直線交點的曲線系方程為 . ) , ( ) , ( 0 = + y x g y x f l ，其中0 = ) , ( y x f 表示圓錐曲線方程， 0 = ) , ( y x g 表示兩直線構(gòu)成的曲線的方程； （2）將 . ) , ( )

51、 , ( 0 = + y x g y x f l 展 開 ， 合 并 同 類 項 ， 與 圓 的 一 般 方 程02 2= + + + + f ey dx y x 比較系數(shù)，求出 l 的值； （3）將 l 反代回方程 . ) , ( ) , ( 0 = + y x g y x f l 的展開式，化為圓的標(biāo)準方程，從而得出四點共圓且求出了圓的方程。 3. 圓錐曲線中四點共圓問題的結(jié)論：設(shè)兩條直線和圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）交于四點，則四個交點在同一個圓上的充要條件是兩直線的傾斜角互補。 【例 1.】已知拋物線 x y c 42= : 的焦點為 f ,經(jīng)過點 f 且斜率為 1 的直線 l 與

52、拋物線 c 交于 b a, 兩點，線段 ab 的中垂線和拋物線 c 交于 n m, 兩點，證明 n m b a , , , 四點共圓，并求出該圓的方程。 【例 2.】設(shè)橢圓 1222= + yxe : 的右焦點為 f ，經(jīng)過點 f 且斜率為 k 的直線 l 與橢圓 c 交于 b a, 兩點，直線 x y 2 = 與橢圓 e 交于 d c, 兩點，若 d c b a , , , 四點共圓，求 k 的值以及該圓的方程。 【例 3.】已知 q t ), , ( 0 3 是圓 16 32 2= + + y x p ) ( : 上一動點，線段 qt 的中垂線與直線pq 交于點 s . （1）求動點 s

53、的軌跡的 e 方程； （2）過點 ( ) 0 1, 且斜率為2的直線1l 與軌跡 e 交于 b a, 兩點，過原點且斜率為-2的直線2l 與軌跡 e 交于 n m, 兩點，判斷 n m b a , , , 四點是否在同一圓上，若是，求出圓的方程。 專題練習(xí) 1. 已知拋物線 x y e 82= : 的焦點為 , f 過 f 作兩條互相垂直的直線分別與拋物線 e 交于c a, 和 . ,d b 問： d c b a , , , 四點是否共圓？若是，求出圓的方程；若不是，說明理由。 2. 已知雙曲線 ( ) 0 0 12222> > = - b abyaxc , : 的一條漸近線方程為

54、 , 0 2 3 = - y x 且過點( ) . ,3 4 （1）求雙曲線 c 的方程； （2）斜率為21- 的直線1l 過點 ( ) 0 1, - 且與雙曲線 c 交于 b a, 兩點，斜率為 k 的直線2l 過原點且與雙曲線 c 交于 n m, 兩點，若 n m b a , , , 四點是否在同一圓上，求 k 的值及該圓的方程。 3. 已知拋物線 ) ( : 0 22> = p px y c 的焦點為 f ,直線 4 = y 與 y 軸的交點為 , p 與 c 的交點為 , q 且 . pq qf45= （1）求 c 的方程； （2）過 f 的直線 l 與 c 相交于 b a, 兩

55、點，若 ab 的垂直平分線與 c 相交于 n m, 兩點，且n b m a , , , 四點在同一圓上，求 l 的方程。 拋物線中的阿基米德三角形 解題技巧 阿基米德三角形：如圖，拋物線的一條弦以及弦端點處的兩條切線所圍成的三角形，叫做拋 物線中的阿基米德三角形。下面給出阿基米德三角形的一些常見性質(zhì)。 如圖，不妨設(shè)拋物線為 ( ( ) ) 0 22> > = = p py x ，拋物線上 b a, 兩點處的切線交于點 p ，則 （1）設(shè) ab 中點為 m ，則 pm 平行（或重合）于拋物線的對稱軸； （2） pm 的中點 s 在拋物線上，且拋物線在 s 處的切線平行于弦 ab ；

56、（3）若弦 ab 過拋物線內(nèi)的定點 q ，則點 p 的軌跡是直線；特別地，若弦 ab 過定點( ( ) )( ( ) ) 0 0 > > m m , ，則點 p 的軌跡是直線 m y - - = = ； （4）若弦 ab 過拋物線內(nèi)的定點 q ，則以 q 為中點的弦與（3）中 p 點的軌跡平行； （5）若直線 l 與拋物線沒有交點，點 p 在直線 l 上運動，則以 p 為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點； （6）若 ab 過焦點 f ，則 p 點的軌跡為拋物線準線， , , ab pf pb pa 且 pab d 面積的最小值為2p ； （7） pfb pfa Ð = =

57、 Ð ； （8）2pf bf af = = × × 。 很多高考試題都以阿基米德三角形為背景命制，熟悉這些性質(zhì)對解題是有必要的，下面通過 實例來證明上面的部分結(jié)論。 【例一】已知拋物線 y x c 42= = : 的焦點為 f ，拋物線上 b a, 兩點處的切線交于點 p ， ab中點為 m 。 （1）證明： x pm 軸； （2）設(shè) pm 的中點為 s ，證明： s 在拋物線上，且拋物線在 s 處的切線平行于直線 ab ； （3）證明： pfb pfa Ð = = Ð ； （4）證明：2pf bf af = = × × （

58、5）若 ab 過點 ( ( ) ) 1 1, q ，求點 p 的軌跡 e 的方程；當(dāng) q 恰為 ab 中點時，判斷 ab 與軌跡e 的位置關(guān)系； （6）若 ab 過點 f ，求點 p 的軌跡方程，并證明 , , ab pf pb pa 求出 pab d 面積的最小值。 【例二】已知拋物線 y x c 42= = : 的焦點為 f ，點 p 是直線 2 - - = = x y l : 上的動點，過 p 作拋物線的兩條切線，切點分別為 a 和 b ，證明：直線 ab 過定點，并求出定點的坐標(biāo)。 專題練習(xí) 1. 已知點 ( ( ) ) 1 1, - - m 和拋物線 x y c 42= = : ，過 c 的焦點 f 且斜率為 k 的直線與 c 交于 b a,兩點，若 ° ° = = Ð Ð 90 amb ，則 = = k _. 2. 已知拋物線 y x 42= = 的焦點為 f ， b a, 是拋物線上兩動點，且 ( ( ) ) 0 > > = = l l fb af ，過b a, 兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為 m ，則 ab fm × × 的值（ ） . a 大于 0 . b 等于 0 . c 小于 0 . d 無法判斷