高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 8.3拋物線（2）

1、1第 八 章第 八 章圓 錐 曲 線 方 程圓 錐 曲 線 方 程28.3 拋物線拋物線 第二課時(shí)第二課時(shí)題型題型4 以拋物線為背景求變量的取值范圍以拋物線為背景求變量的取值范圍 1. 已知拋物線已知拋物線y=x2上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N關(guān)于直線關(guān)于直線 對(duì)稱，求對(duì)稱，求k的取值范圍的取值范圍.9-2ykx3解：解：設(shè)設(shè)M(x1,x12)、N(x2,x22)關(guān)于已知直線關(guān)于已知直線l對(duì)稱，對(duì)稱，所以所以MNl，所以，所以 即即又又MN的中點(diǎn)在的中點(diǎn)在l上，上，所以所以因?yàn)橹悬c(diǎn)必在拋物線開(kāi)口內(nèi)，因?yàn)橹悬c(diǎn)必在拋物線開(kāi)口內(nèi)，所以所以 即即221212-1,-xxxxk121.xxk

2、221212919-4.22222xxxxkkk2221212() ,22xxxx214() ,2k4 所以所以k2 ，則，則k . 故所求實(shí)數(shù)故所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是(-,- )( ,+). 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是得求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是得出參數(shù)的不等式出參數(shù)的不等式(組組).本題是根據(jù)中點(diǎn)在拋物線本題是根據(jù)中點(diǎn)在拋物線內(nèi)這一性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)不等式內(nèi)這一性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)不等式.本題還可以根本題還可以根據(jù)直線與拋物線相交問(wèn)題中，一是有兩個(gè)解，據(jù)直線與拋物線相交問(wèn)題中，一是有兩個(gè)解，二是二是MN的中點(diǎn)在的中點(diǎn)在l上得出上得出.116141414145 拋物線拋

3、物線x2=2y上距離點(diǎn)上距離點(diǎn)A(0,a)(a0)最近的點(diǎn)恰好是拋物線的頂點(diǎn)最近的點(diǎn)恰好是拋物線的頂點(diǎn),求求a的取值范圍的取值范圍. 解：解：設(shè)設(shè)P(x，y)為拋物線上任意一點(diǎn)，則為拋物線上任意一點(diǎn)，則 因?yàn)橐驗(yàn)閍0，所以，所以a-1-1. 由于由于y0，且，且|PA|最小時(shí)，最小時(shí)，y=0. 所以所以-1a-10，即，即0a1. 故故a的取值范圍是的取值范圍是(0，1.2222222|( - )2-2-2( -1) -( -1)2 -1.PAxy ayyayayayayaa6 題型題型5 探究或證明拋物線的有關(guān)性質(zhì)探究或證明拋物線的有關(guān)性質(zhì)7891011121314 1. 過(guò)拋物線過(guò)拋物線y

4、2=4x的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F作直線作直線l交拋物交拋物線于線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)，設(shè) 若若4，9，求直線求直線l在在y軸上的截距的取值范圍軸上的截距的取值范圍. 解：解：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2).由已知得由已知得拋物線的焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0). 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以(x2-1,y2)=(1-x1,-y1). 所以所以 . 由得由得y22=2y12.,FBAF ,FBAF 2121-1(1- ) - xxyy15又因?yàn)橛忠驗(yàn)閥12=4x1，y22=4x2，所以所以x2=2x1.聯(lián)立解得聯(lián)立解得x2=，依題意有，依題意有0，所以所以B(，2 )或或B(，-2 ).所以直線所以直

5、線l的方程為的方程為(-1)y=2 (x-1)或或(-1)y-2 (x-1).從而直線從而直線l在在y軸上的截距為軸上的截距為 或或因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)4,9時(shí)時(shí), 是減函數(shù)，是減函數(shù)，2-1b2-1b 221-1-b16 故當(dāng)故當(dāng)=4時(shí)時(shí),b= ；當(dāng)；當(dāng)=9時(shí)時(shí),b= . 所以所以b ， . 同理可得同理可得,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),有有b- ,- . 故直線故直線l在在y軸上的截距的取值范圍是軸上的截距的取值范圍是- ，- ， .4334433443344343342-1b3417 2.設(shè)直線設(shè)直線x-ay-2=0與拋物線與拋物線y2=2x相交于相相交于相異兩點(diǎn)異兩點(diǎn)A、B，以線段，以線段AB為直徑作圓為直徑

6、作圓M. (1)證明：拋物線的頂點(diǎn)在圓證明：拋物線的頂點(diǎn)在圓M的圓周上；的圓周上； (2)求當(dāng)求當(dāng)a為何值時(shí)，圓為何值時(shí)，圓M的面積最小的面積最小. 解：解：(1)證明：由證明：由 可得可得y2-2ay-4=0. 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2), 則則y1+y2=2a,y1y2=-4, 從而從而 2-20,2x ayyx22212121 2()4,224yyy yx x 18所以所以x1x2+y1y2=0，即即 所以所以故點(diǎn)故點(diǎn)O在圓在圓M上上.(2)因?yàn)橐驗(yàn)閤1+x2=a(y1+y2)+4=2a2+4.又又M是線段是線段AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M(a2+2，a).所以所以

7、當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào),故當(dāng)故當(dāng)a=0時(shí)時(shí),圓圓M的面積最的面積最小小.0,OA OB ,OAOB 22242|(2)542.OMaaaa 19 1. 拋物線的定義反映了拋物線的本質(zhì)，拋物線的定義反映了拋物線的本質(zhì)，靈活利用定義往往可以化繁為簡(jiǎn)，化難為靈活利用定義往往可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易，且思路清晰，解法簡(jiǎn)捷易，且思路清晰，解法簡(jiǎn)捷.巧妙的解法常巧妙的解法常常來(lái)源于對(duì)定義的恰當(dāng)運(yùn)用，要很好地體常來(lái)源于對(duì)定義的恰當(dāng)運(yùn)用，要很好地體會(huì)會(huì).20 2. 拋物線的幾何性質(zhì)，要與橢圓、雙拋物線的幾何性質(zhì)，要與橢圓、雙曲線加以對(duì)照，但由于拋物線的離心率為曲線加以對(duì)照，但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點(diǎn)弦具有很多重要性質(zhì)，所以拋物線的焦點(diǎn)弦具有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛而且應(yīng)用廣泛.例如：已知拋物線例如：已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦所在的直線交拋物線