線面垂直與面面垂直(學(xué)生版)

1、第3講線面垂直與面面垂直考試要求 1.空間中線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，B級要求；2.運(yùn)用線面垂直、面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的 簡單命題，B級要求.知識梳理1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與一個平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線l與平面a互 相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理X文字語百圖形表小符號表小判定定理一條直線二個平 面內(nèi)的兩條相交直 線都垂直，則該直 線與此平向垂直?l± a性質(zhì)定理兩直線垂直于同一 個平間，那么這兩 條直線平行?a / b2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所

2、成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語百圖形表小符號表小判定定理一個平聞經(jīng)過另一個半聞的一 條垂線,則這兩個平面互相垂 直? aX 0性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，則在 一個平間內(nèi)垂直于它們交線的 直線垂直于另一個平間?11 a診斷自測1 .判斷正誤(在括號內(nèi)打“或“X”)(1)直線l與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l，a()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.()(4)若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面 B內(nèi)的無數(shù)條直線，則a，0()2 .給出下列命題：如果平面a，平面就那么平面a內(nèi)一定

3、存在直線平行于平面 B；如果平面a不垂直于平面就那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面國如果平面 心平面丫平面 吐平面 卜aC片1,那么 U平面 國如果平面a，平面就那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面 0其中錯誤的命題是 (M序號).3 . (2016浙江卷改編)已知互相垂直的平面a, B交于直線1,若直線m, n滿足 m/ a, n± 3給出下列結(jié)論：m/1；mil n；nL；m".其中正確的是（填序號）.4 . （2017鹽城,g擬）設(shè)% 制 丫為互不重合的三個平面，l為直線，給出下列命題:若all & aX 丫則吐丫若aX 丫 吐子且aA片l ,貝U U 丫若直線

4、l與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面a垂直；若a內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到B的距離相等，則平面a平行于平面0其中真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號）.5 .（必修2P42習(xí)題16）在三棱錐P ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O,(1)若 PA=PB=PC,貝U點(diǎn)。是4ABC 的(2)若 PAPB, PBXPC, PCXPA, WJ點(diǎn)。是4ABC 的、.考點(diǎn)一 線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】如圖，在四棱錐P ABCD中，PAL底面ABCD,ABXAD, ACXCD,/ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中點(diǎn).證明:（1）CD±AE;(2)PD,平面 A

5、BE.規(guī)律方法 （1）證明直線和平面垂直的常用方法有:判定定理；垂直于平面的傳遞性（a/ b, a± o?b± o）;面面平行的性質(zhì)（aX a, all ?aX 肌 面面垂直的性質(zhì)(aX 0, aA 0= a, l X a, l? ?l X o).（2）證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性 質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.【訓(xùn)練1】(2017泰州期末)如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB 上一點(diǎn)，且 AD = DB,點(diǎn)C為圓。上一點(diǎn)，且BC = AC, PD，平面ABC, PD = DB.求證：PAX

6、CD.p考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)/【例2】(2015山東卷)如圖，三棱臺DEF ABC中，AB =2DE, G, H分別為AC, BC的中點(diǎn).為吃廠(1)求證：BD/平面 FGH;/.c I c I c。工工而 c -而 c(2)若 CFBC, ABLBC,求證：平面 BCD，平面 EGH. h規(guī)律方法 (1)證明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的 判定定理.(2)已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂 線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.【訓(xùn)練2】如圖，在三棱錐 P ABC中，平面PAB，平面ABC, PAX PB, M, N分別為AB,

7、 PA的中點(diǎn).(1)求證：PB/平面 MNC;(2)若 AC=BC,求證：PA，平面 MNC.考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問題(多維探究) 命題角度一平行與垂直關(guān)系的證明【例31(2016江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D, E分別為AB,4DBC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱BiB上，且BiDXAiF, A1C1LAiBi.求證：(1)直線 DE /平面 AiCiF;(2)平面 BiDEL平面 AiCiF.規(guī)律方法(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面 垂直間的轉(zhuǎn)化.垂直與平行結(jié)合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.命題角度二平行垂直中探索性問題【例3

8、2】如圖所示，平面ABCD，平面BCE,四邊形ABCD為矩形，BC=CE,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn).(1)證明：AE/平面BDF;點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段 AE上是否存在點(diǎn)P, 使得PMXBE?若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明； 若不存在，請說明理由.規(guī)律方法(1)求條件探索性問題的主要途徑：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.涉及點(diǎn)的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明，探索 點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點(diǎn).【訓(xùn)練3】(2017南通調(diào)研)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面

9、ABCD為等腰梯形，AB/CD, AC=, AB=2BC = 2, ACXFB.(1)求證：AC，平面FBC;求四面體FBCD的體積；線段AC上是否存在點(diǎn) M,使EA/平面FDM ?若存在, 請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.思想方法1.證明線面垂直的方法:(1)線面垂直的定義：a與a內(nèi)任何直線都垂直?a± a；(2)判定定理1: ?l± a；(3)判定定理 2： al/ b, a± o?b± a;(4)面面垂直的性質(zhì)：aX & aA B= l, a?a, aXl?aX p；2證明面面垂直的方法(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二

10、面角是直二面角；(2)判定定理：a? a, a±a1 33轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 易錯防范 1證明線面垂直時，易忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件2面面垂直的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視3 面面垂直的性質(zhì)定理在使用時易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤4在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40 分鐘 )一、填空題1 . (2017南京調(diào)研)對于直線l, m,平面內(nèi)m?a,則“Um”是“U a成立的條件(從“充分不必要”“必要不充分” “充要” “既

11、不充分也不必要”中選填一個)2 . (2017深圳四校聯(lián)考)若平面a, B滿足a± B, M 0= l, PC a, P?l,給出下 列命題：過點(diǎn)P垂直于平面a的直線平行于平面國 過點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面a內(nèi)；過點(diǎn)P垂直于平面B的直線在平面a內(nèi)；過點(diǎn)P且在平面a內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面 0其中假命題為（填序號）.3 .如圖，已知PA，平面ABC, BCXAC,則圖中直角三/角形的個數(shù)為. 丁4 .在正二棱錐（底面為正二角形且側(cè)棱相等）P ABC中， 、/D, E分別是AB, BC的中點(diǎn)，有下列三個論斷：AC1CPB;AC/平面PDE;ABL平面PDE.其中正確論斷的序號為

12、.5. （2017蘇北四市聯(lián)考）已知內(nèi)B是兩個不同的平面，l, m是兩條不同的直線, l± a, m? 0給出下列命題： all l1m； a± 叼 / m； m / a?U B； ®l± 供m / a其中正確的命題是（M序號）.6. 如圖所示，在四棱錐P ABCD中，PAL底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M滿足時，平面 MBDL平面PCD（只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可）.7. （2017徐州檢測）如圖，以等腰直角三角形 ABC 的斜邊BC上的高AD為折痕，把 ABD和4ACD 折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個

13、結(jié)論： BDLAC;ABAC是等邊三角形;三棱錐D ABC是正三棱錐;平面ADC，平面ABC.其中正確的是（填序號）.8. （2016全國II卷改編）a, B是兩個平面，m, n是兩條直線，有下列四個命題:如果mi± n, m± % n / &那么a±母如果ml. % n/ a,那么m±n；如果all 3 m? a,那么m / B；如果mi/ n, all ft那么m與a所成的角和n與B所成的角相等.其中正確的命題有（M序號）.二、解答題9. （2017蘇州調(diào)研）如圖， ABC和 BCD所在- =2, / ABC=/DBC = 120°

14、, E, F, G 分別為 AC, DC, AD的中點(diǎn).（1）求證：EFL平面BCG;（2）求三棱錐D BCG的體積.10. （2017鹽城模擬）如圖,四棱錐P-ABCD中， 底面ABCD是矩形，AB = 2AD,PDL底面ABCD,E, F分別為棱AB, PC的中點(diǎn).（1）求證：EF/平面PAD;（2）求證：平面 PDEL平面PEC.能力提升題組（建議用時：20分鐘）11. （2017蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研）設(shè)m, n是兩條不同的直線，內(nèi)B是兩個不 同的平面：若m±n,n /%則m± a;若m /B,%則m± a；若m±B,n±p,n± a,則m±a；若m±n,n±p,a,則m±a上述命題中為真命題的是 （Wff號）.12. （2017南京師大模擬）如圖，在正方形 ABCD中，E, F分別是BC, CD的中 點(diǎn)，沿AE, AF, EF把正方形折成一個四面體，使 B, C, D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P, P點(diǎn)在4AEF內(nèi)的射影為O,給出下列結(jié)論：。是4AEF的垂心；。是4AEF的內(nèi)心；。是4AEF的外心；。是4AEF的重心.其中結(jié)論正確的是（M序號）.13. 如圖，已知