微積分復(fù)習(xí)附解題技巧

1、微積分復(fù)習(xí)及解題技巧第一章函數(shù)一、據(jù)定義用代入法求函數(shù)值：典型例題：綜合練習(xí)第二大題之2二、求函數(shù)的定義域：（答案只要求寫成不等式的形式，可不用區(qū)間 表示）對于用數(shù)學(xué)式子來表示的函數(shù)，它的定義域就是使這個式子有意 義的自變量x的取值范圍（集合）主要根據(jù)： 分式函數(shù)：分母工0 偶次根式函數(shù)：被開方式0 對數(shù)函數(shù)式：真數(shù)式0 反正（余）弦函數(shù)式：自變量 < 1在上述的函數(shù)解析式中，上述情況有幾種就列出幾個不等式組成 不等式組解之。典型例題：綜合練習(xí)第二大題之1 1補充：求y= 2 x的定義域。（答案：2 xl 2x2三、判斷函數(shù)的奇偶性：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之3、4第二章極限與連續(xù)求極

2、限主要根據(jù): 1、常見的極限:sin xlim 11lim 廠 °（°）x X2、利用連續(xù)函數(shù)：lim f（x） f（x°）X x°初等函數(shù)在其定義域上都連續(xù)。例：1阮13、求極限limXf（x）g（x）歡迎下載11的思路:°lim f（x）C1 （C1 °常數(shù)）°lim g（x）C2（C2 °常數(shù)）可考慮以下9種可能:°型不定式（用羅彼塔法則）° =°C2-=° C1 = OOC1 C1=°°C2一二O=OO型不定°C2式（用羅彼塔法則）特別注

3、意：對于f (X)、g (x)都是多項式的分式求極限時，解法見 教材P70下總結(jié)的“規(guī)律”。以上解法都必須貫穿極限四則運算的法則！典型例題：綜合練習(xí)第二大題之 3、4;第三大題之1、3、5、7、82補充 1：若 lim s2n (X 1) 1，則 a= 2 , b= 1 .X 叩 x ax bx 1 一 2x補充2： lirxx 1m x 1lxm 1 x 12補充3：1lnm 1 31 113 55 7.(2n 1)(2 n 1)1 彳1 12lim 1n2n 12補充4:ln xMm x 10型1lim1& 11(此題用了“羅彼塔法則”)1 111 1 1lnm 2 1 3 3 5

4、 . in第三章導(dǎo)數(shù)和微分一、根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義驗證函數(shù)可導(dǎo)性的問題: 典型例題：綜合練習(xí)第一大題之12二、求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分： 求導(dǎo)主要方法復(fù)習(xí)：1、求導(dǎo)的基本公式：教材 P123 2、求導(dǎo)的四則運算法則：教材 P110-111 3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（最重要的求導(dǎo)依據(jù)） 4、隱函數(shù)求導(dǎo)法（包括對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法）6、求高階導(dǎo)數(shù)（最高為二階）7、求微分：dy=y/ dx即可典型例題：綜合練習(xí)第四大題之1、2、7、 補充：設(shè) y= ： x2 1 (arctgx)2，求 dy.xX22arctgx1 x212arctgx 21 x二 dy= ydx Si2arctgx、"Tcxgx)dx第四章

5、中值定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、關(guān)于羅爾定理及一些概念關(guān)系的識別問題：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之16、19二、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線的切、法線方程：典型例題：綜合練習(xí)第二大題之5二、函數(shù)的單調(diào)性（增減性）及極值問題：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之18,第二大題之6,第六大題之2第五章不定積分第六章 定積分I理論內(nèi)容復(fù)習(xí)：1、原函數(shù)：F (x) f (x)則稱F (X)為f (X)的一個原函數(shù)。2、不定積分：概念：f ( X )的所有的原函數(shù)稱f ( X )的不定積分。f(x)dx F(x) C注意以下幾個基本事實：f (x)dxf (x)f (x)dx f (x) Cd f (x)dx f (x)

6、dxdf (x) f (x) C性質(zhì)： a f (x)dx a f (x)dx(注意a 0)f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx基本的積分公式：教材P2063、定積分：定義幾何意義性質(zhì)：教材 P234 235性質(zhì)1 3求定積分方法：牛頓一萊布尼茲公式H習(xí)題復(fù)習(xí)：一、關(guān)于積分的概念題：典型例題：綜合練習(xí)第一大題之22、24、25、第二大題之11、14二、求不定積分或定積分:可供選用的方法有直接積分法：直接使用積分基本公式換兀積分法：包括第一類換元法（湊微分法）、第二類換元法分部積分法典型例題：綜合練習(xí)第五大題之2、3、5、6關(guān)于“換元積分法”的補充題一：dx2x 11 12

7、2x 1d(2x1)-ln2x 1 C2關(guān)于“換兀積分法”的補充題一：xdx、x 3解：設(shè) x 3=t2, 即卩.x 3 =t,則 dx=2tdt.2.xdx = (t 3)"醴=2 丄t21 6t C、x 3t2 1二一t3 6t C = (、x 3)36、x 3 C33關(guān)于“換元積分法”的補充題三：8 dx013 x解：設(shè) x=t3，即 3 x t，則 dx=3t2dt.當(dāng) x=0 時，t=0;當(dāng) x=8 時，t=2.所以O(shè)H'警o2 3(t 1)& 3 1(t D2ln1 t=3ln3,即變量（此題為定積分的第二類換元積分法，注意“換元必?fù)Q限”x換成變量t后，其

8、上、下限也從0、8變?yōu)?、2）關(guān)于“分部積分法”的補充題一:xexdxxdexxexexdx (x 1)ex關(guān)于“分部積分法”的補充題二:arctgxdx xarctgx關(guān)于“分部積分法”x 7 dx arctgx 1 x的補充題三：exln xdx1 -x2l(e221e21)2 21 "in xdx21 x2l nxee 2x d l n x-x2lnxe exdx1 2 -e1 2 -x2 121 121 122e11（此題為定積分的分部積分法）三、定積分的應(yīng)用（求曲線圍成的平面圖形面積）：典型例題：綜合練習(xí)第六大題之4注意：此題若加多一條直線 y=3x，即求三線所圍平面圖形的面積, 則解法為一一（草圖略）1S=o(3x x)dx=2-x212 03(3x13 2x2x2)dx =-x32xdx01=-3(3x x2)dx_-3=y（平方單位）使用指南 本 復(fù)習(xí)參考資料 應(yīng)當(dāng)與人手一冊的綜合練習(xí)題 配套使用并服從于 綜合練習(xí)題。另外， 請注意如下幾點： 本 復(fù)習(xí)參考資料 中的藍(lán)色字體的“補充”題是以往年級的部分應(yīng)試復(fù)習(xí)題，對今年9月份考試的同志來說，僅僅作為參考補充。 綜合練習(xí)題是我們復(fù)習(xí)重點中的重點，請對照答案將 所有題目完整地做一遍（使題目與 答案相結(jié)合而不要相分離，以便需要時加快查 找的速度和準(zhǔn)確度）。 請將上述做好的 綜合練習(xí)題