電路教案第14章線性動態(tài)電路的復頻域分析

1、本章重點：(1) 拉普拉斯變換的基本原理和性質(zhì)(2) 掌握用拉普拉斯變換分析線性電路的方法和步驟 (3) 網(wǎng)絡函數(shù)的概念(4) 網(wǎng)絡函數(shù)的極點和零點14.1 拉普拉斯變換的定義1. 拉氏變換法 拉氏變換法是一種數(shù)學積分變換，其核心是把時間函數(shù)f(t)與復變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時域問題通過數(shù)學變換為復頻域問題，把時域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應用拉氏變換進行電路分析稱為電路的復頻域分析法，又稱運算法。2. 拉氏變換的定義定義 0 , )區(qū)間函數(shù) f(t)的拉普拉斯變換式：S: 復頻率，注意：l 積分域：0-：積分下限從0- 開始，稱為0- 拉氏變換 。 0+：積分下限從0+

2、 開始，稱為0+ 拉氏變換 。今后討論的均為0 - 拉氏變換。 （0- ,0區(qū)間f (t) = d (t) 時，此項¹0）l 象函數(shù)F(s) 存在的條件：如果存在有限常數(shù)M和 c 使函數(shù) f(t) 滿足：，即：則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因為總可以找到一個合適的s 值使上式積分為有限值。l 象函數(shù)F(s) 用大寫字母表示,如I(s)，U(s)；原函數(shù)f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(t)。3.典型函數(shù)的拉氏變換 變換公式：(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)14.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1.線性性質(zhì) ，證明：結(jié)論：根據(jù)拉氏

3、變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個函數(shù)相加減的象函數(shù)時，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進行相乘及加減計算。例：解：例：解：2. 微分性質(zhì),證明：例：利用導數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)解：， 解：， 推廣： 3.積分性質(zhì)，證明：，則： （由于f(t)有界，則第二項為零）例：解：，4.延遲性質(zhì)，證明： （）例：求矩形脈沖的象函數(shù)TTf(t)o解：矩形脈沖的原函數(shù)為根據(jù)延遲性質(zhì)：例：求三角波的象函數(shù)解：三角波的原函數(shù)為：對原函數(shù)進行變換：則：例：求周期函數(shù)的拉氏變換 解：設(shè)f1(t)為一個周期的函數(shù)(單周期函數(shù))，且即：5.拉普拉斯的卷積定理證明： ，得：14.3 拉普拉斯反變換的部分分式展開用拉氏變換求

4、解線性電路的時域響應時，需要把求得的響應的拉氏變換式反變換為時間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對簡單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)(3)把F(s)分解為簡單項的組合（部分分式展開法） 設(shè)象函數(shù)的一般形式為：，利用部分分式可將F(s)分解為： 待定常數(shù)Ki的確定：方法1：原因： （注意：s-pi=0）方法2：求極限的方法例：解法1： ，解法2：， （K1、K2也是一對共軛復數(shù)）則：例：解： ，即例：解： ， 可見，由F(s)求f(t) 的步驟可歸納為：1. n =m 時將F(s)化成真分式和多項式之和2. 求真分式分母的根，將真分式展開成部分分式：3. 求各部分分式的

5、系數(shù)4. 對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換例：解： 14.4 運算電路1.基爾霍夫定律的運算形式基爾霍夫定律的時域表示：，根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得KCL、KVL的運算形式：，2.電路元件的運算形式l 電阻R的運算形式。時域形式：u=Ri ；取拉氏變換：或。元件特性：l 電感L的運算形式。時域形式：；取拉氏變換： 或；元件特性：（如上圖）l 電容C的運算形式。時域形式：；取拉氏變換：或；元件特性： C的運算電路l 耦合電感的運算形式. 時域形式：；取拉氏變換：；元件特性：耦合電感的運算電路 l 受控源的運算形式。時域形式：；取拉氏變換：； 受控源的運算電路 l RLC串聯(lián)電路的運算形式。時

6、域形式：拉氏變換電路： ；元件等效：。有：整理：小結(jié)電路的運算形式：1. 電壓、電流用象函數(shù)形式；2. 元件用運算阻抗或運算導納表示；3. 電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。例：給出圖示電路的運算電路模型。解：t=0 時開關(guān)打開，uc(0-)=25V；iL(0-)=5A。（注意附加50V電源支路） 14.5 應用拉普拉斯變換法分析線性電路1. 運算法的計算步驟l 由換路前的電路計算uc(0-) , iL(0-) ；l 畫運算電路模型，注意運算阻抗的表示和附加電源的作用；l 應用前面各章介紹的各種計算方法求象函數(shù)；l 反變換求原函數(shù)。例：電路原處于穩(wěn)態(tài)，t =0 時開關(guān)閉合，試用運算法求電

7、流 i(t)。解：(1) 計算初值：，。 (2) 畫運算電路：， (3) 應用回路電流法： (4)反變換求原函數(shù)，； 例2：圖示電路，求uC(t)、iC(t)。解：畫運算電路例3. t = 0時打開開關(guān) ,求電感電流和電壓。解：計算初值： 畫運算電路： 則：注意：， ，即： ，即：注意：l 由于拉氏變換中用0- 初始條件，躍變情況自動包含在響應中，故不需先求 t =0+時的躍變值。l 兩個電感電壓中的沖擊部分大小相同而方向相反，故整個回路中無沖擊電壓。l 滿足磁鏈守恒。 ，如上例，；，14.6 網(wǎng)絡函數(shù)的定義1. 網(wǎng)絡函數(shù)H（s）的定義線性線性時不變網(wǎng)絡在單一電源激勵下，其零狀態(tài)響應的像函數(shù)與

8、激勵的像函數(shù)之比定義為該電路的網(wǎng)絡函數(shù)H(s)。注意：由于激勵E(s)可以是電壓源或電流源，響應R(s)可以是電壓或電流，故 s 域網(wǎng)絡函數(shù)可以是驅(qū)動點阻抗（導納），轉(zhuǎn)移阻抗（導納），電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)或電流轉(zhuǎn)移函數(shù)。若E(s)=1，響應R(s)=H(s)，即網(wǎng)絡函數(shù)是該響應的像函數(shù)。網(wǎng)絡函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖激響應 h(t)。2.網(wǎng)絡函數(shù)的應用由網(wǎng)絡函數(shù)求取任意激勵的零狀態(tài)響應 例：解：畫運算電路3. 應用卷積定理求電路響應可以通過求網(wǎng)絡函數(shù)H(s)與任意激勵的象函數(shù)E(s)之積的拉氏反變換求得該網(wǎng)絡在任何激勵下的零狀態(tài)響應 。 14.7 網(wǎng)絡函數(shù)的極點和零點1. 極點和零點 當 s =zi 時，

9、H(s)=0，稱 zi為零點，zi為重根，稱為重零點；當 s =pj 時，H(s)，稱 pj為極點，pj為重根，稱為重極點；2. 復平面（或s 平面）由于，則zi ，Pj為復數(shù)，在復平面上把 H(s) 的極點用 ´ 表示 ，零點用 o 表示。例：，繪出其極零點圖。解： 14.8 極點、零點與沖激響應1. 網(wǎng)絡函數(shù)與沖擊響應，h(t)稱為沖擊響應。可見：H(s) 和沖激響應構(gòu)成一對拉氏變換對。2. 極點、零點與沖激響應若網(wǎng)絡函數(shù)為真分式且分母具有單根，則網(wǎng)絡的沖激響應為： 注意：極點位置不同，響應性質(zhì)不同，極點反映網(wǎng)絡響應動態(tài)過程中自由分量的變化規(guī)律。l 當pi為負實根時，h(t)為衰減的指數(shù)函數(shù)，當pi為正實根時，h(t)為增長的指數(shù)函數(shù)； l 當pi為共軛復數(shù)時，h(t)為衰減或增長的正弦函數(shù)； l 當pi為虛根時，h(t)為純正弦函數(shù)，當Pi為零時，h(t)為實數(shù)； 注意：一個實際的線性電路是穩(wěn)定電路，其網(wǎng)絡函數(shù)的極點一定位于左半平面。根據(jù)極點分布情況和激勵變化規(guī)律可以預見時域響應的全