行列式的的解法技巧論文

1、I目錄1 行列式的基本理論.31.1 行列式定義 .31.2 行列式的性質 .31.3 基本理論.51.4 幾種特殊行列式的結果 .52 行列式的計算技.62.1 定義法 .62.2 化成三角形行列式法 .72.3 兩條線型行列式的計算 .82.4 箭型行列式的計算 .92.5 三對角行列式的計算 .102.6 利用范德蒙行列式 .112.7 HESSENBERG 型行列式的計算.122.8 降階法 .132.9 加邊法（升階法） .142.10 計算行（列）和相等的行列式 .152.11 相鄰行（列）元素差 1 的行列式計算.162.12 線性因子法 .162.13 輔助行列式法 .182.

2、14 n階循環(huán)行列式算法 .182.15 有關矩陣的行列式計算 .202.16 用構造法解行列式 .212.17 利用拉普拉斯展開 .223 用多種方法解題 .22參考文獻：參考文獻： .262【內容摘要】行列式是高等代數(shù)課程里基本而重要的內容之一，在數(shù)學中有著廣泛的應用，懂得如何計算行列式顯得尤為重要。本文先闡述行列式的基本理論，然后介紹各種具體的方法，最后由行列式與其它知識的聯(lián)系介紹其它幾種方法。通過這一系列的方法進一步提高我們對行列式的認識，對我們以后的學習帶來十分有益的幫助。【關鍵詞】行列式 ； 矩陣； 范德蒙行列式 ； 遞推法 Abstract: Determinant is an

3、basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in severa

4、l other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinant,on our learning will bring very useful help.Keywords: Determinant；matrix；Vandermonde Determinant； recurrence method3引 言行列式在高等代數(shù)課程中的重要性以及在考研中的重要地位使我們有必要對行列式進行較深入的認識，本文對行列式的解題技巧進行總結歸納。 作為行列式本身而言，我們除了利

5、用行列式的性質化三角行列式和按行或列展開公式使行列式降階這些常用的手法外，要根據(jù)行列式不同的特點采用特殊的方法，如遞推法，數(shù)學歸納法，加邊法（ 升階法），以及利用范德蒙行列式的結論等等。1 行列式的基本理論1.1 行列式定義定義定義 行列式與矩陣不同，行列式是一個值，它是所有不同行不同列的數(shù)的積的和，那些數(shù)的乘積符號由他們的逆序數(shù)之和有關，逆序數(shù)之和為偶數(shù)符號為正，逆序數(shù)之和為奇數(shù)符號為負。這一定義可以寫成,這里1 2121 2111212122212121nnnnj jjnjjnjj jjnnnnaaaaaaa aaaaa表示對所有級排列求和.1 2nj jjn41.2 行列式的性質 1、行

6、列式的行列互換，行列式不變；nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa2122212121112122221112112、互換行列式中的兩行或者兩列，行列式反號；nnnniniiknkknnnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21212111211212121112113、行列式中某行乘以一個數(shù)等于行列式乘以這個數(shù)；nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa2121112112121112114、行列式的某兩行或者某兩列成比例，行列式為零；02121211121121212111211nnnniniii

7、niinnnnniniiiniinaaaaaaaaaaaakaaakakakaaaaaaa5、行列式的某一列或者某一行可以看成兩列或兩行的和時，行列式可拆另兩個行列式的和。5nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa212111211212111221221111211 6、把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。7、行列式有兩行（列）相同，則行列式為零。1.3 基本理論1其中為元素代數(shù)余子式。jijiDAaAaAajninjiji, 0,2211ijAija2降階定理BCADADCBA13CACOBA4BAAB 5非零矩陣 k 左乘行列式

8、的某一行加到另一行上，則新的分塊行列式與原來相等。1.4 幾種特殊行列式的結果1 三角行列式(上三角行列式)nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000(下三角行列式)nnnnnnaaaaaaaaa2211212221110002 對角行列式6nnnnaaaaaa221122110000003對稱與反對稱行列式滿足，D 稱為對nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211)2 , 1,2 , 1(njniaajiij稱行列式滿足，D 稱為0000321332312232111312nnnnnnaaaaaaaaaaaaD )2 , 1,(njiaajiij反對稱行列式。

9、若階數(shù) n 為奇數(shù)時，則 D=04)(1111111312112232221321jnijinnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaD2 行列式的計算技巧2.1 定義法例 1：計算行列式00000000053524342353433323125242322211312aaaaaaaaaaaaaaaaD 解：由行列式定義知，且， nnnjjnjjjjjjaaaD1212121),() 1(0151411aaa所以 D 的非零項 j，只能取 2 或 3，同理由，05514454441aaaaa7因而只能取 2 或 3，又因要求各不相同，故項中54jj51jj 521jjjaaa至少有一個必須取

10、零，所以 D=0。2.2 化成三角形行列式法將行列式化為上三角形行列式計算步驟，如果第一行第一個元素為零，首先將第一行(或第一列)與其它任一行(或列)交換，使第一行第一個元素不為零，然后把第一行分別乘以適當數(shù)加到其它各行，使第一列除第一個元素外其余元素全為零，再用同樣的方法處理除去第一行加第一列余下的低階行列式依次做下去，直至是它成為上三角形行列式，這時主對角線上元素的乘積就是行列式的值。例 2 計算行列式abbbbabbbbabbbbaDn解：各行加到第一行中去abbbbabbbbabbnaabbbabbnabnabnaDn1111) 1() 1() 1() 1( 1)() 1(000000

11、0001) 1(nbabnababbabbabbna例 3 計算行列式812212154314321321nnnnnnD解：從倒數(shù)第二行(-1)倍加到第 n 行1111011110111101322) 1(1111111111111111321nnnnnnnnnnn將所有列加到第一列上nnnnnnnnnnn001112) 1(11111111112) 1(）倍加各行上第一行的（nnnnnnnnn1) 1(2) 1(001112) 1(12)1(2)1 () 1(nnnnn2.3 兩條線型行列式的計算除了較簡單的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定義直接計算，少數(shù)幾類行列式可利用行列式性質直接

12、計算外，一般行列式計算的主要方法是利用行列式的性質做恒等變形化簡，使行列式中出現(xiàn)較多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值來計算（如上（下）三角行列式等）或利用按行（列）展開定理降低行列式的階數(shù)。9例 4 .nnnnabbaabaDn00000000011211階行列式計算解：解： 按第 1 列展開得13322111132210000000000) 1(0000000000nnnnnnbbababbabaabaaD. nnnbbbaaa211211 2.4 箭型行列式的計算對于形如的所謂箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性質化為三角或次三角形行列式來計算，即利用對角元素或次對角元素將一條邊

13、消為零。例例 5 5 計算行列式 .100101012001111nnDn解：解：10 )1211 ( !10000010020012111111212)1(11nnnnncncccnnnnnnD 2.5 三對角行列式的計算對于形如的所謂三對角行列式，可直接展開得到兩項遞推關系，然后采用如下的一些方法求解。21nnnDDD方法 1 如果 n 比較小，則直接遞推計算方法 2 用第二數(shù)學歸納法證明：即驗證 n=1 時結論成立，設 時結論也成立，若證明 n=k+1 時結論也成立，則對任意自然數(shù)kn 相應的結論成立方法 3 將變形為，其21nnnDDD)(211nnnnpDDqpDD中, 由韋達定理知

14、 p 和 q 是一元二次方程 qp pq的兩個根。確定 p 和 q 后，令，則利用02xx 1nnpDDxf遞推求出，再由遞推求出。 1nqfnf nf nfpDDnn1nD方法 4 設，代入得（稱nnxD 021nnnDDD0 xxn之為特征方程），求出其根和（假設），則，1x2x21xx nnnxkxkD2211這里，可通過 n=1 和 n=2 來確定。1k2k11例例 6 6 計算行列式 .10000000010001000nD解解：將行列式按第展開，有n,)(21nnnDDD112(),nnnnDDDD112(),nnnnDDDD得 nnnnnnDDDDDD)()(1223221同理，

15、得 ,nnnDD1所以 .,;,) 1(11nnnnnD2.6 利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素遞增的特點。因此遇到具有逐行（或列）元素方冪遞增或遞減的所謂范德蒙型的行列式時，可以考慮將其轉化為范德蒙行列式并利用相應的結果求值例例 7 7 計算行列式 .21 -n221 -n2211 -n1222212121111111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD解：解：把第 1 行的1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的1 倍加到第 3 行，以此推直到把新的第行的-1 倍加到第 行，便得范德1nn12蒙行列式 . 1222212111112111()nnijn ijnnnnxx

16、xDxxxxxxxx 2.7 Hessenberg 型行列式的計算對于形如，的所謂 Hessenberg 型行列式，可直接展開得到遞推公式，也可利用行列式的性質化簡并降階。例例 8 8 計算行列式 ) 1(1)2(222111321nnnnnnDn解：解： 將第 1，2n-1 列加到第 n 列，得 01)2(222112) 1(1321nnnnnnDn131)2(211) 1(2) 1(1nnnnn2)!1() 1(1nn2.8 降階法將行列式的展開定理與行列式性質結合使用，即先利用性質將行列式的某一行(或某一列)化成僅含一個非零元素，然后按此行(列)展開，化成低一階的行列式，如此繼續(xù)下去，直

17、到化為三階或二階行列式直接計算出結果。)()()()()()(111144442222dcbadcdbcbdacabadcbadcbadcba左邊)()()(000122222222222222222244444442222222adadacacababadacabadacabadacabaadacabaadacaba)()()(111)()(222222addaacacbaabdaacabadacab)()()()(11)()()(2222dbabbdabcabbccbdadacab)()()()()()(dcbadcdbcbdacaba例例 9 計算行列式，其中，00021212121aa

18、aaaaaaaaaaDnnnnn2n01iia解：14nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD21222121211121222nnnaaaaaaaaa211212111110011112221122211100110012221121121nnnnnaaaaaaaaaaD 11,2121111)2()2(21212121)2(kjkjniinnjjnkkiinaananaana2.9 加邊法（升階法）行列式計算的一般方法是降階，但對于某些特殊的 n 階行列式，如除對角元（或次對角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有時加上一行一列變成 n+1 階的行列式，特別是第 1

19、列為并適當選擇第 1 行的元素，就可以使消零化簡單方便，且T0,.0 , 1化簡后常變成箭型行列式，這一方法稱為升階法或加邊法例例 1010 計算階行列式.nnnnnnaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxD32132132132115解解：00111nnnDaaDxxxaaanirrni0010010011) 1, 2(211.njjnnnjjxaxxxaaxa1111000012.10 計算行（列）和相等的行列式對于各行（或各列）之和相等的行列式，將其各列（或各行）加到第 1 列（或行）或第 n 列（或行），然后再化簡。例例 1111 計算 n 階行列式1110110110110111n

20、D解解： 1110110110111111) 12 , 1(nnnnniccinnD 0001001001001111)3 , 2(1nnirri) 1() 1() 1()1(2)1(nnnn) 1() 1(2)1)(2(nnn16以下不作要求2.11 相鄰行（列）元素差 1 的行列式計算 以數(shù)字 1，2，n 為（大部分）元素，且相鄰兩行（列）元素差 1 的 n 階行列式可以如下計算：自第 1 行（列）開始，前行（列）減去后行（列）；或自第 n 行（列）開始，后行（列）減去前行（列），即可出現(xiàn)大量元素為 1 或1 的行列式，再進一步化簡即出現(xiàn)大量的零元素。對于相鄰行（列）元素相差倍數(shù) k 的行

21、列式，采用前行（列）減去后行（列）的k 倍，或后行（列）減去前行（列）的k 倍的步驟，即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素。例例 1212 計算 n 階行列式111111324323412231122nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD解解11321)1 (101000001000001000001) 12 , 1(nnnnnnniinaaaaaaaaaniarrD2.12 線性因子法17例例 1313 計算行列式(1) (2)0000 xyzxzyyzxzyxzzxx1111111111111111解：(1)由各列加上第一列可見，行列式 D 可被整除。zyx由第二列加到

22、第一列，并減去第三、四列可見，可被整除，Dxzy由第三列加于第一列，并減去第二、四列可見，被整除。Dzyx最后由第四列加于第一列，并減去第二、三列可見，可被D整除。我們把視為獨立未知量，于是上述四個線性因子zyxzyx,式是兩兩互素的，因此，可被它們的乘積D整除。)()()(zyxzyxxzyzyx此乘積中含有一項：，而中含有一項：4zD4424) 1(zzc所以)()()(zyxzyxxzyzyxD222222444222zyzxyxzyx(2)將行列式的前兩行和兩列分別對換，得DzzxxD1111111111111111如果以代替 ，又得原來形式的行列式。因此，如果含有xxD因式 ，必含有

23、因式，由于當時，有兩列相同，故確有xx0 xDD因式 ，從而含有因式。同理又含有因式，而的展開式中xD2xD2zD有一項：，從而22zx22zxD 例例 1414 計算行列式：xnxDn) 1(1111111118解：由 階行列式定義知，的展開式是關于 的首項系數(shù)為nnDx的次多項式當時，因此1) 1(n) 1( n),(xDn)22 , 1 , 0(nkkx, 0)(kDn有個互異根 0，1、2由因式定理得 )(xDn1n2n20)(| )(nknxDkx故 )(02) 1(1kxknDnn2.13 輔助行列式法例例 1515 計算行列式 )()()()(1111nnnnnafafafafD

24、其中為次數(shù)的數(shù)域 F 上多項式為 F), 1)(nixfi2nnaa 1中任意 個數(shù)。n解：若中有兩個數(shù)相等，則naa 10nD若互異，則每個 階行列式naa 1n 是)()()()()()()(21211nnnnnafafxfaffxfxG的線性組合，據(jù)題的次數(shù)因而)()(),(21xfxfxfn)(xfi)1(2nin的次數(shù)但 )(xG, 2n, 0)()(2naGaG這說明至少有個不同的根，故所以即)(xG) 1( n, 0)(xG0)(1aG0)(xDn2.14 階循環(huán)行列式算法n19例例 1616 計算行列式其中acccbaccbbacbbbaDncbabc . 0解：設且令的 個根

25、為)()(12nxxxbaxf0bcxnn則),1(nixiniinxfD1)(由有11)1()(xxbcxbcxbaxxxbaxfnn 1)()(1)(iiiiixacxbaxxbcbaxf利用關系式01,21niiijiixxxxxx bcxxxnn121) 1(得niiniiiininxacxbaxacxbaD111) 1()()(1)()(bccabbacbcacbabcnnnnnnn)()() 1() 1()()() 1(11例例 1717 設都是 的可微函數(shù)), 2 , 1,(),(njixfijx證明：ninnnininnnnnnnxfxfxfdxdxfdxdxfxfxfxfxf

26、xfxfxfxfxfxfdxd111111212222111211)()()()()()()()()()()()()()()(證明：20)()()() 1()()()()()()()()()(2211)(212222111211121xfxfxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxdnjnjjjjjjjnnnnnnnn)()()() 1(2211)(2121xfxfxfdxdnjnjjjjjjjjnn)()()()()()()() 1(1122112211)(2121xfdxdxfxfxfxfxfxfdxdnjnjnnjjnjnjjjjjjjjnn ) )()()() 1()()()

27、() 1(212121211111)(2211)(nnnnjjjnjnjnnjjjjjjjnjnjjjjjxfdxdxfxfxfxfxfdxd)()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211xfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdnnnnnnnnnnnnn)()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(21211121121, 12, 11 , 12222111211xfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdxfxfx

28、finxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfnnnniniinnnnnnnnnnn2.15 有關矩陣的行列式計算例例 1818 設 A 與 B 為同階方陣：證明：BABAABBA21證明：BABABABBAABABBAABBA0例例 1919 設 A 為 階可逆方陣， 、為兩個 維列向量，則nnAaAA)1 (1證明：)1 (10111)1)(1(AAAAAnn例例 2020 若 階方陣 A 與 B 且第 列不同。nj證明：BABAn12證明： *2*22211nnbababaBA*2*2*2*22121bnbbanaa *2*21111bnbanann)(21BA

29、nBABAn122.16 用構造法解行列式例例 2121 設baxaxaxaxf),)()()(321證明：baabfbfaabbaabaaaD)()(321證明：構造出多項式：baxbbabaxbaaaaxaxaxbxbxaxaxbxaxaxaxD321113210)(bababaaaaaxbabbababaaaaa3211321110111022bababaaaaaxabbaabaaa323132101111)(xDDxD)()()(000)(,)()()(0)(00)()(,13213211321321bfbDDbabababababababababDbxafaDDaaaaaaaaaba

30、baaabaaaDax當當 baabfbafD)()(2.17 利用拉普拉斯展開例例 2222 證明： 級行列式nxaaaaaxxxDnnn1221100000100001證明：利用拉普拉斯展開定理，按第 行展開有：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxaxaxaxaaxxaxaxaaxxxxxaxxxaxxaxxaD112222111)1(22)2(212111)1(2)2(121)() 1() 1() 1() 1() 1() 1() 1(0000100000100001)() 1(10000000000100001) 1(100001000000100000) 1(1

31、00001000000100001) 1( 以上等式右端的級行列式均為“三角形行列式”。1n計算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計算行列式23的幾種方法，計算行列式時，我們應當針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法。3 用多種方法解題下面我們運用上面的介紹的各種方法，選用多種方法解題。例例 23 計算：xaaaaxaaaaxaaaaxDn法 1：將第 2,3,，n 行都加到第 1 行上去，得xaaaaaaxaanxxaaaaaaxaanxanxanxDn111) 1() 1() 1() 1(再將第一行通乘，然后分別加到第 2,3,n 行上，得a) 1()(0000000111) 1(1anxaxaxaxanxDnn法 2：將 2,3,n 行分別減去第 1 行得axxaaxxaaxxaaaaxDn000000再將第 2,3,n 列都加到第 1 列上去，24便有1)() 1(000000000) 1(nnaxanxaxaxaxaaaanxD法 3：將添加一行及一列，構成階行列式nD