有限元法基本原理與應(yīng)用(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上有限元法基本原理與應(yīng)用班級(jí) 機(jī)械2081 姓名 方志平指導(dǎo)老師 鐘相強(qiáng)摘要：有限元法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。關(guān)鍵詞：有限元法；變分原理；加權(quán)余量法；函數(shù)。Abstract：Finite element method is based on the variational p

2、rinciple and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative b

3、y the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different

4、 finite element method.Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。引言有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來(lái)隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來(lái)逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中，常見(jiàn)的有限元計(jì)算方法是由變分法和

5、加權(quán)余量法發(fā)展而來(lái)的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計(jì)算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來(lái)說(shuō)，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來(lái)劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來(lái)劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。對(duì)于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對(duì)代求系數(shù)的平方誤差最?。辉谂渲梅ㄖ?，先在計(jì)算域內(nèi)選取N個(gè)配置點(diǎn)。令近似解在選定的N個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置點(diǎn)上令方程

6、余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無(wú)因次自然坐標(biāo)，有對(duì)稱和不對(duì)稱等。常采用的無(wú)因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長(zhǎng)度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來(lái)四邊形等參元的應(yīng)用也越來(lái)越廣。對(duì)于二維三角形和四邊

7、形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。1.1 有限元單元法的基本思路彈性力學(xué)解法的問(wèn)題彈性力學(xué)解法的問(wèn)題在于：不論是應(yīng)力函數(shù)解法數(shù)解法、扭轉(zhuǎn)函數(shù)解法、撓曲函數(shù)解法、還是基于最小勢(shì)能原還是基于最小勢(shì)能原理的瑞利李茲等方法，其困難在于如何給出一個(gè)在全求解區(qū)給出一個(gè)在全求解區(qū)域上均成立的試探函數(shù)。在有限單元法里在有限單元法里，這個(gè)問(wèn)題通過(guò)定義分片插值的位移或應(yīng)力函數(shù)得到了巧妙的解決。對(duì)于任意單元對(duì)于任意單元(i,j,m)，以結(jié)點(diǎn)位移以結(jié)點(diǎn)位移(u,u ,u )為待定系數(shù)，可以給出該單元

8、的插值函數(shù)： 線性代數(shù)方程組的求解在數(shù)學(xué)上是極其容易的。 也就是說(shuō)有限元法通過(guò)單元離散和最小勢(shì)能原理小勢(shì)能原理，避開(kāi)了微分方程直接求避微分方程直接求解在數(shù)學(xué)上的困難，把定解條件下的微分方程組的求解巧妙地轉(zhuǎn)化為線性方程組的運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了任何復(fù)雜彈性力學(xué)問(wèn)題輕易分析計(jì)算。1.2有限元單元法求解問(wèn)題的的基本步驟1. (1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問(wèn)題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。 (2) 區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較

9、大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。3) 確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條 件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。 (4) 單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。 (5) 總體合成：在得出單元有限元方程之后

10、，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。 (6) 邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件， 一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。 (7) 解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。1.3求解計(jì)算結(jié)果的整理和有限元法后處理有限元方程是一個(gè)線性代數(shù)方程組，一般有兩大類解法，一是直接解法，二是迭代

11、法。直接法有高斯消元法和三角分解法，如果方程規(guī)模比較大時(shí)，可用分塊解法和波前解法。迭代法有雅可比迭代法、高斯-賽德?tīng)柕ê统沙诘ǖ取Ｍㄟ^(guò)選用合適的的求解法求解經(jīng)過(guò)位移邊界條件小處理的公式后，得到整體節(jié)點(diǎn)位移列陣，然后根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)位移由幾何矩陣和應(yīng)力矩陣得到單元節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力，對(duì)于非節(jié)點(diǎn)處的位移通過(guò)形函數(shù)插值得到，再由幾何矩陣和應(yīng)力矩陣求得相應(yīng)的應(yīng)變和應(yīng)力。應(yīng)變要通過(guò)位移求導(dǎo)得到，精度一般要比位移差一些，尤其對(duì)于一次單元，應(yīng)變和應(yīng)力在整個(gè)單元內(nèi)是常數(shù)，應(yīng)變和應(yīng)力的誤差會(huì)比較大，尤其單元數(shù)比較少時(shí)，誤差更大，因此對(duì)于應(yīng)力和應(yīng)變要進(jìn)行平均化處理：（1） 繞節(jié)點(diǎn)平均法，即依次把圍繞節(jié)點(diǎn)所有單

12、元的應(yīng)力加起來(lái)平均，以此平均應(yīng)力作為該節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。（2） 二單元平均法，即吧相鄰的兩單元的應(yīng)力加以平均并以此作為公共邊的節(jié)點(diǎn)出的應(yīng)力。 整理并對(duì)有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行后處理，一是要得到結(jié)構(gòu)中關(guān)鍵位置力學(xué)量得數(shù)值（如最大位移、最大主應(yīng)力和主應(yīng)變，等效應(yīng)力等）；二是得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的力學(xué)量得分布（根據(jù)計(jì)算結(jié)果直接繪制位移分布圖，應(yīng)力分布圖等）。三是后處理要得到輸入量和輸出量之間的響應(yīng)關(guān)系。梁的有限元建模與變形分析計(jì)算分析模型如圖1所示。NOTE：要求選擇不同形狀的截面分別進(jìn)行計(jì)算。圖1 梁的計(jì)算分析模型梁截面分別采用以下三種截面（單位：m）： 矩形截面： 圓截面： 工字形截面：B=0.1，H=0.2 R=0.1 w1=0.2，w2=0.2，w3=0.2，t1=0.05，t2=0.05，t3=0.05梁的彈性模量為：200GPa，泊松比為：0.3。試用ANSYS求該梁的撓度及應(yīng)力分布（包含軸向應(yīng)力），畫出梁的彎矩圖和剪力圖。（1）單元類型定義后，設(shè)置梁類型與實(shí)常數(shù)。（2）設(shè)置材料屬性。（3）建立幾何模型。（4）創(chuàng)建線并劃分網(wǎng)格與單元。 (5)施加載