2020-2021上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)——直角三角形的邊角關(guān)系的綜合

1、2020-2021上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)一一直角三角形的邊角關(guān)系的綜合一、直角三角形的邊角關(guān)系1.如圖，海上觀察哨所 B位于觀察哨所 A正北方向，距離為25海里.在某時(shí)刻，哨所 A 與哨所B同時(shí)發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置 C位于哨所A北偏東53。的方向上，位于哨所 B南偏 東37°的方向上.(1)求觀察哨所 A與走私船所在的位置 C的距離；(2)若觀察哨所 A發(fā)現(xiàn)走私船從 C處以16海里/小時(shí)的速度向正東方向逃竄，并立即派緝私艇沿北偏東76。的方向前去攔截.求緝私艇的速度為多少時(shí)，恰好在D處成功攔截.(結(jié)果保留根號)(參考數(shù)據(jù)：sin37 = cos53° 產(chǎn)cos37 =s

2、in53 ° 去，tan37 ° 空2tan76 ° 戶【答案】(1)觀察哨所 A與走私船所在的位置 C的距離為15海里；(2)當(dāng)緝私艇以每 小時(shí)647海里的速度行駛時(shí)，恰好在 D處成功攔截.【解析】【分析】(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ACB= 90°,再解RtABC,利用正弦函數(shù)定義得出AC即可;(2)過點(diǎn)C作CMLAB于點(diǎn)M,易知，D、C、M在一條直線上.解 RtAAMC,求出 CM、AM.解RtAAMD中，求出DM、AD,得出CD.設(shè)緝私艇的速度為 x海里/小時(shí)，根 據(jù)走私船行駛CD所用的時(shí)間等于緝私艇行駛 AD所用的時(shí)間列出方程，解方程即可

3、.【詳解】(1)在 4ABC 中，ACB 180 B BAC 180 37 53 90 .AC3在 RtVABC 中，sinB '，所以 AC AB sin37 25 15 (海里). AB5答：觀察哨所 A與走私船所在的位置 C的距離為15海里.(2)過點(diǎn)C作CM AB,垂足為 M ,由題意易知， D、C、M在一條直線上.在 RtVACM 中，CMAM AC cos CAM在 RtA ADM 中，tan所以 MD AM tan76AC sin CAM15 12,5DAM36.9.MDAM '所以 AD AM2 MD 2 . 92 3 62 9.17, CD MD MC 24

4、.設(shè)緝私艇的速度為V海里/小時(shí)，則有24 9所,解得V 6/17 .16 v經(jīng)檢驗(yàn)，v 6"是原方程的解.答：當(dāng)緝私艇以每小時(shí) 6歷海里的速度行駛時(shí)，恰好在 D處成功攔截此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形 的相關(guān)知識有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想.2 . （6分）某海域有 A, B兩個(gè)港口， B港口在A港口北偏西30。方向上，距A港口 60海里，有一艘船從 A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75。方向的C處，求該船與B港口之間的距離即CB的長（結(jié)果保留根號）【解析】試題分析：作 AD，BC于D,于是有/AB

5、D=45,得至U AD=BD=°V，2 ,求出/ C=60 ,根據(jù)正切的定義求出 CD的長，得到答案.試題解析：作 ADXBCT D, /EAB=30, AE/ BF, . . / FBA=30 ,又 / FBC=75,口07/ ABD=45 ；又 AB=60,AD=BD= V , / BAC=/ BAE+/ CAE=75 ,° /ABC=45 ,AD/ C=60 ；在 RtMCD中,/ C=60 ; AD=0V2 ,則 tanC=" ,. CD八 ”1°*巧,2,故該船與B港口之間的距離CB的長為I。F海里.東D3考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用 -方向角問題

6、.延長CB交。3 .已知RtABC中，AB是。的弦，斜邊AC交。于點(diǎn)D,且AD=DC, 于點(diǎn)E.CE的長？請說明理由；(2)如圖2,過點(diǎn)若CF=CD時(shí)，求E作。的切線，交sin / CAB 的值;AC的延長線于點(diǎn)F.若CF=aCD(a>0)時(shí)，試猜想sin/CAB的值.(用含 a的代數(shù)式表示, 果)直接寫出結(jié)【答案】(1) AE=CE (2)【解析】試題分析：(1)連接AE、DE,如圖AD=DC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得1,根據(jù)圓周角定理可得 /ADE=/ ABE=90,由于AE=CE(2)連接AE、ED,如圖2,由/ABE=90可得AE是。的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)可得/AEF=90 從而

7、可證到AD&4AEF,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得"=AD?AF.當(dāng)CF=CD時(shí)，可得,從而有EC=AE=CD,在Rt DEC中運(yùn)用三角函數(shù)可得DC /sin/CED="'",根據(jù)圓周角定理可得 /CAB=/ DEQ即可求出sin/CAB的值；當(dāng)CF=aCD(a>0)時(shí)，同 即可解決問題.試題解析：(1) AE=CE理由：連接 AE、DE,如圖 1, . /ABC=90, . . / ABE=90, . . / ADE=/ ABE=90 , AD=DQ .AE=CE(2)連接 AE、ED,如圖2, /ABE=90,AE是。的直徑，: EF是。

8、OO的切線，AE AD . / AEF=90,° / ADE=/ AEF=90 , °又/ DAE=/ EAFAADEAAEF,AE.=AD?AF.當(dāng) CF=CD 時(shí)，AD=DC=CF AF=3DC,-=DC?3DC=1"' ，AE=區(qū) DC, EC=AEDC DC1LHEC=2DC,sin Z CAB=sinZ CED=;= '"=：* ； 當(dāng) CF=aCD(a>0)時(shí)，sin/CAB=& + 2. CF=aCq AD=DC, . . AF=AD+DC+CF=(a+2) CD, . /E'=DC? (a+2) DC

9、= (a+2)心, . AE=g 2DC,EC=AE EC- + 3DC,考點(diǎn)：1.圓的綜合題；2.探究型；3.存在型.4.如圖，AB是。的直徑，弦 CD±AB于H,過CD延長線上一點(diǎn) E作。的切線交AB 的延長線于切點(diǎn)為 G,連接AG交CD于K.(1)求證：KE=G(2)若KH=KD?GE試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由；3(3)在(2)的條件下，若sinE=, AKpV5,求FG的長.【答案】（1）證明見解析；（2） AC/ EF,證明見解析；（3） FG= H .【解析】試題分析：（1）如圖1,連接OG.根據(jù)切線性質(zhì)及 CD，AB,可以推出/KGE=Z AKH=Z GKE

10、,根據(jù)等角對等邊得至U KE=GE（2） AC與EF平行，理由為：如圖 2所示，連接 GD,由Z KGE=Z GKE及K=KD?GE利 用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出 GKD與 EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到 /C=/ AGD,可推知/E=/ C,從而得到 AC/ EF;（3）如圖3所示，連接OG, OC,先求出KE=GE再求出圓的半徑，根據(jù)勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在 RtOGF中，解直角三角形即可求得FG的長度. / KGE吆 OGA=90 ,° .CDXAB, / AKH+Z OAG=90 ； 又. OA=OG,/ OGA=Z OAG,/ KG

11、E=/ AKH=/ GKE,KE=GE(2) AC/ EF,理由為連接 GD,如圖2所示.KG KD. GE = KG ，又 Z KGE4 GKE AGKDAEGK, Z E=Z AGD,又 Z C=Z AGD, Z E=Z C,-.AC/ EF；EG為切線,Z KGE吆 OGA=90 ,.CDXAB,Z AKH+Z OAG=90 ,又 OA=OG,Z OGA=Z OAG,Z KGE4 AKH=Z GKE,KE=GE3sinE=sinZ ACH-1,設(shè) AH=3t,則 AC=5t, CH=4t,KE=G AC/ EF,，CK=AC=5tHK=CK-CH=t在RtAHK中，根據(jù)勾股定理得 AH2

12、+H/=AK2,即（3t） 2+t2=設(shè)。半徑為 由勾股定理得:（水戶）2,解得t=?.OH2+CH2=Od即（r-3t） 2+ （4t） 2=r2,解得.EF為切線,.OGF為直角三角形，25在 RtOGF 中，OG=r=6' ,25 25r= t=CII 4tan / OFG=tanZ CAH="三于r,在 RtOCH 中，OC=r, OH=r-3t, CH=4t,UllZOJt；，F(xiàn)G=【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角 三角函數(shù)定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握定理及性 質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.5.已知

13、：4ABC內(nèi)接于。O, D是弧BC上一點(diǎn)，ODL BC,垂足為H.（1）如圖1,當(dāng)圓心 O在AB邊上時(shí)，求證： AC=2OH;（2）如圖2,當(dāng)圓心O在4ABC外部時(shí)，連接 AD、CD, AD與BC交于點(diǎn)P,求證：/ ACD=Z APB;（3）在（2）的條件下，如圖 3,連接BD, E為。O上一點(diǎn)，連接 DE交BC于點(diǎn)Q、交AB 于點(diǎn)N,連接OE, BF為。的弦，BF± OE于點(diǎn)R交DE于點(diǎn)G,若/ACD-ZABD=2ZBDN, AC=5在，BN=3q« , tan/ABCq ,求 BF 的長.（圖1）（就）（酈）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） 24. 【

14、解析】試題分析：（1）易證OH為4ABC的中位線，可得 AC=2OH; （2） / APB=/ PAC+Z ACP, / ACD=/ ACB+Z BCD,又/ PAC =/ BCD,可證 / ACD=Z APB； （3）連接 AO延長交于 。于點(diǎn)I,連接IC, AB與OD相交于點(diǎn) M,連接OB,易證/GBN=/ ABC,所以BG=BQ.1在RtBNQ中，根據(jù)tan/ABC3,可求得NQ、BQ的長.利用圓周角定理可求得 IC和AI的長度，設(shè)QH=x,利用勾股定理可求出 QH和HD的長度，利用垂徑定理可求得ED的長度，最后利用tan/Omf即可求得RG的長度，最后由垂徑定理可求得BF的長度.試題解

15、析：(1)在。O 中，- OD± BC,，BH=HC, .點(diǎn) O 是 AB 的中點(diǎn)，AC=2OH； (2)在。O 中，- OD± BC, .弧 BD=M CD,/ PAC4 BCD, / APB=/ PAC-+Z ACP,/ACD=/ ACB+Z BCD, . / ACD=/ APB； (3)連接 AO 延長交于。O 于點(diǎn) I,連接 IC, AB 與OD相交于點(diǎn) M,連接OB, / ACD- / ABD=2/ BDN, 二 / ACD- / BDN=Z ABD+/ BDN, / ABD+Z BDN=Z AND, / ACD- / BDN=Z AND, / ACD+Z ABD

16、=1802/ AND=180/ AND=90 ；/ ABC=Z QDH, -. OE=OD,Z OED=Z QDH,/ ERG=90,° / OED=/GBN, / GBN=/ABC, / AB± ED,15小BG=BQ= , GN=NQ=-i,221 AC 1 Z ACI=90 , tan Z AIC=tanZ ABC= , . . = - ,，IC=0/5 ,由勾股定理可求得：AI=25,、幾/ /1QH 125、設(shè) QH=x, tan / ABC=tanZODE=-, .= = -,. HD=2x,.OH=OD-HD lx,1HD 1115BH=BQ+QH=-:1 .

17、 OB2=BH2+OH2,一 二 一十工 十 一-lx ,解得：工二三或=,當(dāng) QH=-JJ上一時(shí)，.QDuWI,2廠廠15952 .ND=6V5 , .MN=3j5, MD=15, A/D > , .QH1不符合題意，舍去，當(dāng) QH時(shí)，.1.QD=3 . ND=NQ+QD=4代，ED=10后，. . GD=GN+ND=,，EG=ED- GD=-1RGtan Z OED= ,-；rz-=1EREG=VS RG,，RGf，BR=RG+BG=121 BF=2BR=24AI S（鄴）考點(diǎn)：1圓；2相似三角形；3三角函數(shù)；4直角三角形6.（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分5

18、分，第（3）小題滿分5 分） 已知：如圖，AB是半圓。的直徑，弦CD/AB,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC、CD 上，且DQ OP , AP的延長線與射線 OQ相交于點(diǎn)E、與弦CD相交于點(diǎn)F （點(diǎn)F與（1）求證：AP OQ ;（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng) OPE是直角三角形時(shí)，求線段 OP的長.2【答案】（1）證明見解析；（2） y 3x-60x 300（50 x 10）; （3） OP 8 x 13【解析】【分析】（1）證明線段相等的方法之一是證明三角形全等，通過分析已知條件，OP DQ ,聯(lián)結(jié)OD后還有OA DO,再結(jié)合要證明的結(jié)論 AP OQ ,則可肯定需證明三角形

19、全等，尋 找已知對應(yīng)邊的夾角，即POA QDO即可；（2）根據(jù) PFCs PAO ,將面積轉(zhuǎn)化為相似三角形對應(yīng)邊之比的平方來求；（3）分4成二種情況討論，充分利用已知條件cos AOC 、以及（1）（2）中已證的結(jié)論，注5意要對不符合（2）中定義域的答案舍去.【詳解】（1）聯(lián)結(jié) OD，: OC OD , OCD ODC , CD/AB , OCD COA, POA QDO .在AOP和ODQ中，OP DQ POA QDO ,OA DOAOP ODQ ,. AP OQ ;(2)作 PH OA,交 OA于 H ,4cos AOC 一, 5443OH-OP-x,PH-x,555C1 .S aop A

20、O PH 3x .2 CD/AB ，PFCs PAO小(S AOPCPOP)2(S)2,x2 23x 60x 300 r 一 不八 y ，當(dāng)F與點(diǎn)D重合時(shí),“4. CD 2OC cos OCD 2 1016,5x 10 50 一，解得 x 一，10 x 161323x2 60x 300 / 50 y ( x 10);x 13(3) 當(dāng) OPE 90o時(shí)，OPA 900, 4cOP OA cos AOC 10 - 8；5OCCQ 當(dāng) POE 90o 時(shí)，cos QCO10cos AOC10 2542 ,5OP DQ CD CQCD空16255013OP10, OP 7 (舍去)；2當(dāng) PEO 9

21、0o 時(shí)，CD/AB，AOQ DQO ,. AOP 且 ODQ ,DQO APO ,AOQ APO,AEO AOP 900,此時(shí)弦CD不存在，故這種情況不符合題意，舍去;綜上，線段OP的長為8.7 .如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中/ BAC=45°, /ACD=30°,點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接 AE,將4ADE沿AE所在直線翻折得到 AD耳D'咬AC于F 點(diǎn).若 AB=6Z2cm(1) AE的長為 cm；(2)試在線段AC上確定一點(diǎn) 巳 使得DP+EP的值最小，并求出這個(gè)最小值；(3)求點(diǎn)D'到BC的距離.AB【答案】(1) S3

22、; (2) 12cm； (3) 3V，7-VRcm.試題分析：(1)首先利用勾股定理得出 AC的長，進(jìn)而求出 CD的長，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)而得出答案： / BAC=45 ； / B=90 ； . AB=BC=6?cm,，AC=12cm. Z ACD=30 ,° Z DAC=90 ,° AC=12cm, "(cm). 點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，AE=DC='cm.(2)首先得出AADE為等邊三角形，進(jìn)而求出點(diǎn)E, D關(guān)于直線AC對稱，連接DD交AC于點(diǎn)P,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，此時(shí)DP+EP值為最小，進(jìn)而得出答案.(3)連接CD, BD,過點(diǎn)

23、D'作D'吐BC于點(diǎn)G,進(jìn)而得出 ABD/CBD ( SSS ,則/D' BG=45D' G=GBS而利用勾股定理求出點(diǎn) D到BC邊的距離.試題解析：解：(1) 4VH(2) .RtADC 中，/ACD=30,/ ADC=60 ,.E為CD邊上的中點(diǎn)，DE=AE4ADE為等邊三角形.WAADE沿AE所在直線翻折得 AD' ,E.AD'的等邊三角形，/AED=60 :/ EAC=Z DAC- / EAD=30 ，/ EFA=90, °即 AC所在的直線垂直平分線段 ED：.點(diǎn)E, D'關(guān)于直線AC對稱.如答圖1,連接DD交AC于點(diǎn)

24、P, 此日DP+EP值為最小，且 DP+EP=DD.,即DP+EP最小值為12cm. ADE是等邊三角形，AD=AE=V3 , W近手=24、值¥=12(3)如答圖2,連接CD, BD,過點(diǎn)D'作D' dBC于點(diǎn)G,. AC 垂直平分線 ED； AE=AD； CE=CD,',.AE=EC.AD' =CD V'=.AB = BCRFT = BN在ABD和 CBD 中，,AABDACBD(SSS , ./D' BG =D' BC=45 . . D' G=GB設(shè)D' G長為xcm,則CG長為口xcm,7. t,一工在R

25、tAGtD C中，由勾股定理得工+(62-幻=4g 解得：恒=3q2-、g工工=卬2 + 4 (不合題意舍去).點(diǎn)D到BC邊的距離為 2«%m.答圖2考點(diǎn)：1 .翻折和單動(dòng)點(diǎn)問題；2.勾股定理；3.直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；4.等邊三角形三角形的判定和性質(zhì)；5.軸對稱的應(yīng)用(最短線路問題)；6.全等三角形的判定和性質(zhì)；7.方程思想的應(yīng)用.8 .如圖，在 RtABC中，/BAC=90°, Z B=60°, BC=16cm, AD是斜邊 BC上的高，垂足為D, BE=1cm.點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) N從點(diǎn)E出發(fā)，與點(diǎn) M同時(shí)同方向以相同的

26、速度運(yùn)動(dòng)，以MN為邊在BC的上方作正方形 MNGH.點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (s).(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn) G剛好落在線段 AD上？(2)設(shè)正方形MNGH與Rt ABC重疊部分的圖形的面積為 S,當(dāng)重疊部分的圖形是正方形 時(shí)，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量 t的取值范圍.(3)設(shè)正方形 MNGH的邊NG所在直線與線段 AC交于點(diǎn)P,連接DP,當(dāng)t為何值時(shí)，試題分析：(1)求出ED的距離即可求出相對應(yīng)的時(shí)間 (2)先求出t的取值范圍，分為 H在AB上時(shí)，此時(shí) 間.同樣當(dāng)G在AC上時(shí)，求出MN的長度，繼而算出 方形的面積公式求出正方形的面積 .;(

27、3) t=9s 或 t= (15-gV1) s.t.BM的距離，進(jìn)而求出相應(yīng)的時(shí)EN的長度即可求出時(shí)間，再通過正(3)分DP=PC DC=PC兩種情況，分別由 EN的長度便可求出t的值.試題解析：= / BAC=90 , / B=60°, BC=16cm . AB=8cm, BD=4cm, AC=8 Icm3 DC=12cm, AD=4< L cm.t=31 s=3s.(1)二.當(dāng)G剛好落在線段 AD上時(shí)，ED=BD- BE=3cm(2)二當(dāng)MH沒有到達(dá)AD時(shí)，此時(shí)正方形 MNGH是邊長為1的正方形，令 H點(diǎn)在AB 上，/ B=60°, MH=1 .BM=cm. -1

28、=s.當(dāng)MH到達(dá)AD時(shí)，那么此時(shí)的正方形 MNGH的邊長隨著N點(diǎn)的繼續(xù)運(yùn)動(dòng)而增大，令 G點(diǎn) 在AC上，悍設(shè) MN=xcm ,貝U GH=DH=x, AH= " x, ,. AD=AH+DH= ' x+x= ' x=4'" .x=3.i3當(dāng) “ <t , SMNGN=1cm2-<t-3)2(4< £ < 6)當(dāng) 4V tw 陽寸,Smngh= (t-3) 2cm2.S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為:(3)分兩種情況：二當(dāng)DP=PC時(shí)，易知此時(shí) N點(diǎn)為DC的中點(diǎn)，MN=6cmEN=3cm+6cm=9cm. . . t=9s故當(dāng)t=

29、9s的時(shí)候，CPD為等腰三角形； 當(dāng) DC=PC時(shí)，DC=PC=12cmNC=6 cm1. EN=16cm - 1cm - 6'cm= (15-63)cm.t= (15- 63) s故當(dāng)t= (15-血口)s時(shí)，CPD為等腰三角形.綜上所述，當(dāng)1=9$或1= (15-6平)s時(shí)，4CPD為等腰三角形.考點(diǎn)：1.雙動(dòng)點(diǎn)問題；2.銳角三角函數(shù)定義；3.特殊角的三角函數(shù)值；4.正方形的性質(zhì)；5.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；6.等腰三角形的性質(zhì)；7.分類思想的應(yīng)用.(1)求 tan/DBC 的值；(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且【解析】9.如圖，拋物線y= - x2+3x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y

30、軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線上 且橫坐標(biāo)為3./DBP=45,求點(diǎn)P的坐標(biāo).試題分析：(1)連接CD,過點(diǎn)D作DEL BC于點(diǎn)E.利用拋物線解析式可以求得點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，則可得 CD/AB, OB=OC,所以/ BCO=Z BCD=Z ABC=45°,由直角三角形 的性質(zhì)、勾股定理和圖中相關(guān)線段間的關(guān)系可得BC=4/2 , BE=BC- DE上12 .由此可知DE 3tan / DBC=；RE 5(2)過點(diǎn)P作PF，x軸于點(diǎn)F.由/DBP=45及/ABC=45可得/ PBF=/DBC,利用(1)中3的結(jié)果得到：tan Z PBF=-.設(shè)P (x, - x2+3x+4),則利用銳角

31、三角函數(shù)定義推知66. 1aj 3;=丁，通過解方程求得點(diǎn) P的坐標(biāo)為(- 4-x5試題解析：(1)令 y=0,貝U- x2+3x+4=- (x+1) (x-4) =0, 解得 xi= - 1 , x2=4 . A ( - 1, 0) , B (4, 0).當(dāng) x=3 時(shí)，y=- 32+3 x 3+4=4 D (3, 4).如圖，連接 CD,過點(diǎn)D作DEL BC于點(diǎn)E. .CD/ZAB,/ BCD=Z ABC=45 :在直角 OBC中，-. OC=OB=4, BC=46.在直角CDE中，CD=3.3梃 .-.CE=ED=-1,5"BE=BC- DE=DE 3 tan / DBC=-(

32、2)過點(diǎn)P作PF±x軸于點(diǎn)F. / CBF=/ DBP=45 ,°/ PBF=Z DBC,3tan / PBF=y .2'改 P (x, - x+3x+4),貝U =一4 -Jr解得 x1= - , X2=4 (舍去)，2 66 .P ,).與注考點(diǎn)：1、二次函數(shù)；2、勾股定理；3、三角函數(shù)1 210.如圖，已知二次函數(shù) y -x bx c的圖象經(jīng)過點(diǎn) A (-3, 6),并與x軸交于點(diǎn)B 2(-1, 0)和點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn) P.(1)求這個(gè)二次函數(shù)解析式；(2)設(shè)D為x軸上一點(diǎn)，滿足 /DPO/BAQ求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)作直線AP,在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M,

33、在直線AP上是否存在點(diǎn) N,使M、N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.AM+MN的值最??？若存在，求出【答案】(1)點(diǎn) C坐標(biāo)為(3, 0),點(diǎn) P (1, -2) ; ( 2)點(diǎn) P (7, 0) ; ( 3)點(diǎn) N (-(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解;(2)利用Saabc= _ X ACX BH= X BC>Ay 求出 sin a =22AB2 22.10人MD PMD 中，tan a =一PM12 ,即可求解;(3)作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn) A' (5, 6),過點(diǎn)A作A吐AP分別交對稱軸與點(diǎn) M、 交AP于點(diǎn)N,此時(shí)AM+MN最小，即可求解.【詳解】96 3

34、b 32(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：故：拋物線的表達(dá)式為：y=lx2-x-S, 22令 y=0,則 x=-1 或 3,令 x=0,則 y=-3 ,2故點(diǎn)C坐標(biāo)為(3, 0),點(diǎn)P (1, -2)；G,(2)過點(diǎn)B作BH, AC交于點(diǎn)H,過點(diǎn)P作PGJ±x軸交于點(diǎn)設(shè)：/DPO/BAO”,由題意得：AB=2 710 , AC=672, BC=4, PC=2 后,Sa abc= >AC >BH= XBC >Va,22解得：BH=2 72,sinBH 2 2 _ 1AB 2J05由題意得：GC=2=PG,故 / PCE=45。，延長PC,過點(diǎn)D作DM，PC交于

35、點(diǎn)M, 貝U MD=MC=x,人rqMD x 1在 PMD 中，tan a =尸=一PM x 22 2解得：x=2j2,則 CD=J2x=4,故點(diǎn) P (7, 0)；(3)作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn) A' (5, 6),過點(diǎn)A作ANXAP分別交對稱軸與點(diǎn)M、交AP于點(diǎn)N,此時(shí) AM+MN最小,直線AP表達(dá)式中的k值為： 2=-2,則直線AN表達(dá)式中的k值為1,42設(shè)直線AN的表達(dá)式為：y= x+b,2將點(diǎn)A'坐標(biāo)代入上式并求解得：b=-,2故直線A N的表達(dá)式為：y=x+22當(dāng) x=1 時(shí)，y=4,故點(diǎn) M (1 , 4),同理直線AP的表達(dá)式為：y=-2x，聯(lián)立 兩個(gè)方程并求解

36、得：x=-, 5故點(diǎn) N (-7, 14). 55【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等知識，其中(3),利用對稱點(diǎn)求解最小值，是此類題目的一般方法.11.關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式: sin ( a +0 =sin a cos 3 +cos a sin 3cos ( a +)3 =cos a cos-時(shí)n a sin 3 tana + tan/tan ( a +)3 =I - tancr tan/?利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如:lan45D + tan600 1 + q3 (1 + )(1 + 0tan105 =tan

37、(45 +60 )= 一5 a"疥 1-1(1 _、0 +。=(2+C).根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問題:如圖，直升飛機(jī)在一建筑物CD上方A點(diǎn)處測得建筑物頂端 D點(diǎn)的俯角a =60；底端C點(diǎn)的俯角3 =75；此時(shí)直升飛機(jī)與建筑物CD的水平距離BC為42m,求建筑物CD的高.【答案】建筑物 CD的高為84米.【解析】分析：如圖，過點(diǎn) D作DE，AB于點(diǎn)E,由題意易得 /ACB=75, / ABC=90 , DE=BC=42n/ ADE=60 ；這木¥在RtA ABC和在RtA ADE中，結(jié)合題中所給關(guān)系式分別求出AB和AE的長，即可由CD=BE=AB-A邸得結(jié)果了 .詳解：如圖，過點(diǎn) D作DE，AB于點(diǎn)E,由題意可得/ACB=75, / ABC=90 , DE=BC=42« CD=BE Z ADE=60