脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計巴特沃斯低通濾波器

1、脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計巴特沃斯低通濾波器姓 名學(xué) 號專 業(yè)文檔第一章摘要濾波器是自動控制、信號處理和通信領(lǐng)域的重要組成部分，廣泛地應(yīng)用于各種系統(tǒng)中。MATLAB語言是一種簡單、高效的高級語言,是一種容豐 富、功能強大的分析工具，其應(yīng)用圍幾乎覆蓋了所有的科學(xué)和工程計算領(lǐng)域。MATLAB中提供了豐富的用于模擬濾波器設(shè)計的函數(shù),通過編程可以很容易實現(xiàn)低通、高通、帶通、帶阻濾波器，并能畫出濾波器的幅頻特性曲線，大大簡化了模擬濾波器設(shè)計。本文將通過利用MATLAB濾波器設(shè)計函數(shù)直接實現(xiàn)巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計，找到應(yīng)用MATLAB來設(shè)計低通濾波器的方法。介紹了用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計巴特沃斯低通濾波器的基本理

2、論和設(shè)計思想，給出了基于MATLAB計巴特沃斯低通濾波器的具體步驟， 文中還給出了利用 MATLAB產(chǎn)生的濾波器的幅頻及相頻特性曲線。詳細介 紹了在基于MATLAB計低通濾波器過程中常用到的工具和命令。關(guān)鍵字：巴特沃斯低通濾波器脈沖響應(yīng)不變法第二章引言濾波器設(shè)計在電子工程、應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)領(lǐng)域都是非常重要 的，。而低通濾波器在信號處理中的作用等同于其它領(lǐng)域如金融領(lǐng)域中移 動平均數(shù)(moving average)所起的作用，低通濾波器有很多種，其中， 最通用的就是巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器。巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。在振幅

3、的對數(shù)對角頻率的波得圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減少，趨向負 無窮大。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調(diào)下降，并且也是唯一的無論 階數(shù)，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數(shù) 越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和 地結(jié)束的振幅對角頻率有不同的形狀。第三章基本原理3.1 濾波器的基本理論3.1.1 濾波器的分類濾波器分兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器是假定輸入信號x（n）中的有用成分和希望取出的成分各自占有不同的頻帶。這樣，當x（n）通過一個線性系統(tǒng) （即濾波器）后可將欲去除的成分有效的去除?，F(xiàn)代濾波器理論研究的主

4、要容是從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄（又稱時間序列）中估計出信號的某些特征或信號本身。經(jīng)典濾波器分為低通、高通、帶通、帶阻濾波器。每一種又有模擬濾波器（AF）和數(shù)字濾波器（DF）。對數(shù)字濾波器，又有IIR濾波器和FIR濾波器。IIR DF的轉(zhuǎn)移函數(shù)是:H(z)丫X(z)Mbrz rr 0N1 akZk 1FIR DF的轉(zhuǎn)移函數(shù)是:H(z)N 1h(n)z nn 0FIR濾波器可以對給定的頻率特性直接進行設(shè)計，而IIR濾波器目前最通用的方法是利用已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設(shè)計方法進行設(shè)計。濾波器的技術(shù)要求低通濾波器： p :通帶截止頻率S :阻帶下限截止頻率(p, s的單位dB)p :通帶上限角頻率s ：阻

5、帶下限角頻率ps3.2模擬濾波器的設(shè)計巴特沃思(Butterworth) 濾波器的介紹：因為我們設(shè)計的濾波器的沖擊響應(yīng)一般都為實數(shù)，所以有* 2G(s)G (s) G(s)G(s)sj G(j s)2這樣，如果我們能由 p， p， s， s求出G(j )，那么就容2易得到所需要的G(s)。不同類型的 G(j )的表達式，代表了幾種不同類型的濾波器。巴特沃思 (Butterworth) 濾波器為：G(j )2c2(2)C為待定常數(shù)，N為待定的濾波器階次。3.2.2 巴特沃思模擬低通濾波器的設(shè)計由于每一個濾波器的頻率圍將直接取決于設(shè)計者的應(yīng)用目的，因此必然是千差萬別。為了使設(shè)計規(guī)化，我們需要將濾波

6、器的頻率參數(shù)作歸一化處理。設(shè)所給的實際頻率為(或f )，歸一化后的頻率為，對低通模 擬濾波器，令1 /顯然，p ', s s/ p。又令歸一化復(fù)數(shù)變量為 p, p j ,顯然P j j / p s/ p所以巴特沃思模擬低通濾波器的設(shè)計可按以下三個步驟來進行。(1)將實際頻率 歸一化C,N可按下式求解:C210 P/101lg10 s/10 1/1010 p1lg s若令p = 3dB,則C= 1,這樣巴特沃思濾波器的設(shè)計就只剩一個參數(shù)N,這時2 1G(j )1(/ p)2N(3)確定 G(s)因為p j，根據(jù)上面公式有G(p)G(P)2N1(P/J)1N 2N1(1) pN 2N由 1

7、( 1) P0解得k N 1pk exp(j 2N 2 ),k = 1 , 2,，2N這樣可得Gk(P)(P Pk)( P Pn 1 k )2 p cos(2k N2N求得G(P)后，用s/P代替變量P，即得實際需要得G(s)。3.3數(shù)字濾波器的設(shè)計按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標。根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器G(s)；再按一定的規(guī)則將G(s)轉(zhuǎn)換成H (z)。若是高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器則將它們的技術(shù)指標先轉(zhuǎn)化為低通模擬濾波器的技術(shù)指標， 然后按上述步驟2)設(shè)計出低通G(s)，再將G(s)轉(zhuǎn)換為所需的H (z)。第四章設(shè)計過程4.1 設(shè)計低通數(shù)

8、字濾波器4.1.1 數(shù)字低通濾波器設(shè)計結(jié)構(gòu)圖用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換原理如下圖：Ha (s)拉氏逆變換 ha (t)等間隔采樣ha(nT)-h(n) Z變換H(z) 圖4.1結(jié)構(gòu)框圖4.1.2設(shè)計步驟設(shè)計要求：脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器，給定技術(shù)指標為：fp 100Hz， fs 300Hz， p 3dB， s 20dB，采樣頻率 Fs 1000 Hzo首先應(yīng)該得到角頻率，然后再按如下步驟求解：(1 )將數(shù)字濾波器的技術(shù)要求轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)要求。(2 )設(shè)計低通濾波器 G(S)由 =/ p依次求出 p,s，再求出N,可得G(p)G(s) G(p) p 亠然后由p轉(zhuǎn)換成G(s)(3)由 G

9、(s)求 H(z)4.2 濾波器的MATLAB實現(xiàn)4.1.1 在MATLABF，設(shè)計巴特沃斯IIR濾波器可使用butter函數(shù)。IIR濾波Butter函數(shù)可設(shè)計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬 器，其特性為使通帶的幅度響應(yīng)最大限度地平坦，但同時損失截止頻率處的下降斜度。在期望通帶平滑的情況下，可使用butter函數(shù)。butter函數(shù)的用法為：b,a=butter(n,Wn,/ftype/)其中n代表濾波器階數(shù)，Wn代表濾波器的截止頻率，這兩個參數(shù)可使用buttord函數(shù)來確定。buttord函數(shù)可在給定濾波器性能的情況下，求出巴特沃斯濾波器的最小階數(shù)n,同時給出對應(yīng)的截止頻率 Wn butt

10、ord 函數(shù)的用法為：n,Wn= buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中Wp和 Ws分別是通帶和阻帶的拐角頻率(截止 頻率)，其取值圍為0至1之間。當其值為1時代表采樣頻率的一半。Rp和Rs分別是通帶和阻帶區(qū)的波紋系數(shù)。不同類型(高通、低通、帶通和帶阻)濾波器對應(yīng)的Wp和Ws值遵循以下規(guī)則：a .高通濾波器：Wp和 Ws為一元矢量且Wp>Wsb .低通濾波器：Wp和 Ws為一元矢量且Wp<Wsc .帶通濾波器：Wp和Ws為二元矢量且Wp<Ws 如Wp=0.2,0.7,Ws=0.1,0.8;d .帶阻濾波器：Wp和 Ws為二元矢量且 Wp>Ws 如Wp=0.1,0.

11、8,Ws=0.2,0.7。4.1.2 Matlab的信號處理工具箱提供了頻譜分析函數(shù)：freqz 函數(shù)。freqz函數(shù)功能：離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。格式：h,w=freqz(b,a, n)h,f=freqz(b,a ,n, Fs)h=freqz(b,a,w) h=freqz(b,a,f,Fs) freqz(b,a ,n)說明：freqz用于計算數(shù)字濾波器H(Z)的頻率響應(yīng)函數(shù) H(ej w )。h,w=freqz(b,a,n)可得到數(shù)字濾波器的n點復(fù)頻響應(yīng)值，這 n個點均勻地分布在0, n 上，并將這n個頻點的頻率記錄在w中，相應(yīng)的頻響值記錄在h中。要求n為大于零的整數(shù)，最好為2的整數(shù)次幕，以

12、便采用 FFT計算，提高速度。缺省時 n =512。h,f=freqz(b,a,n,Fs)用于對 H(ej w)在0,Fs/2上等間隔采樣n點，采樣點頻率及相應(yīng)頻響值分別記錄在f和h中。由用戶指定 FS(以 HZ為單位)值。h=freqz(b,a,w) 用于對H(ej w )在0,2 n 上進行采樣，采樣頻率點 由矢量w指定。h=freqz(b,a,f,Fs) 用于對H(ej w )在0,FS上采樣，采樣頻率點由 矢量f指定。freqz(b,a, n)用于在當前圖形窗口中繪制幅頻和相頻特性曲線。4.1.3 采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器可使用impinvar 函數(shù)。B Z,AZ

13、 = IMPINVAR(B,A,Fs)生成一個數(shù)字濾波器。BZ和AZ分別為脈沖值，結(jié)果與模擬濾波器的值相當。B和A為采樣區(qū)間，采樣周期為1/Fs。當Fs缺省時，默認采樣頻率為1Hz。第五章程序和仿真圖5.1 設(shè)計程序fp=100;fs=300;Rp=3；Rs=20;Fs=1000;Wp=2*pi*fp;Ws=2*pi*fs;Nn=256;n=(0:100-1);% 采樣點數(shù)N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');b,a=butter(N,Wn,'s');w=li nspace(1,400,100)*2*pi;H=freqs(b,a,w); %

14、在0,2 n 上進行采樣，采樣頻率點由矢量W旨定figure(1);plot(w/(2*pi),20*log10(abs(H);title('巴特沃斯模擬濾波器幅頻特性');xlabel('頻率 /Hz');ylabel('幅度 /db');bz,az=imp in var(b,a,Fs);figure(2);zpla ne(bz,az);title('脈沖響應(yīng)不變法零極點分布圖');figure(3);Subplot(2,1,1);freqz(bz,az,Nn,Fs);對 H(ej w )在0,Fs/2上等間隔采樣 Nn點gri

15、d on;title('巴特沃斯數(shù)字濾波器幅頻特性');xlabel(' 幅度 /Hz');ylabel('頻率 /db');Subplot(2,1,2);title('巴特沃斯數(shù)字濾波器相頻特性');xlabel(' 幅度 /Hz');ylabel('頻率 /db');grid on;figure(4);x=cos(2*pi*50* n/Fs)+cos(2*pi*500* n/Fs); plot( n,x);title('濾波前輸入信號圖像');xlabel('時間(s)&

16、#39;);ylabel('幅值');grid on;figure(5);y=filter(bz,az,x);%對原信號進行濾波plot (n /fs,y);title('濾波前輸入信號圖像');xlabel('時間(s)');ylabel('幅值');5.2 特性曲線仿真圖File EditView lrsert Foos Deplete p Windew kelpbTh|o®cz*iainH|召特注斷模擬淤浪龍帳頻特性-5*10S0 1001502002503003£0祖 0頻率Nr-2U1o3sfEd F

17、.EERUJ-View In&ert T&cls Desktop Wind&w Helpi憶|j飛料跟朋 a t=i _ a脈;巾響應(yīng)K亞法的霉樋點因Rfil Part圖5.2脈沖響應(yīng)不變法的零極點圖-10q碰-70-3040100200-300File Edit View Insert Took De-sklup Wirduw Help為巴日 | 4 |鼻削輜歸晟 |凰| 口討 口巴掙沃斯喲卞澆泯器悟頻特性和 1001£0200250300350 4DD 4£0500巴昏沃斯數(shù)M連滾器相頻特性50100150200250300350SCO圖5.4濾波前輸入信號圖5.4濾波后輸出信號圖像第六章結(jié)語低通濾波器的應(yīng)用十分廣泛，利用Matlab語言，可以很容易地設(shè)計出巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，與其他高級語言的程序設(shè)計相比,MA TLAB環(huán)境下更方便、快捷，節(jié)省大量的編程時間，提高編程效率，且參數(shù)的修改也十 分方便還可以進一步進行優(yōu)化設(shè)計。巴特沃斯低通濾波器的振幅對角頻率單調(diào)下降，無論階數(shù)，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器可以用較少的階數(shù)獲得很高的選擇特性，在衰減特性要求不敏感的場合，適合用巴特沃斯型濾波器。心得體會通過一周的設(shè)計過程，讓我感觸最深的就是 M