高等數(shù)學(xué)第六章定積分應(yīng)用綜合測(cè)試題

1、 第六章 定積分應(yīng)用測(cè)試題A卷一、填空題（20分）1、定積分表示一平面圖形的面積，這一圖形的邊界曲線方程是 .2、設(shè)一放射性物質(zhì)的質(zhì)量為，其衰變速度，則從時(shí)刻到此物質(zhì)分解的質(zhì)量用定積分表示為 .3、拋物線與軸所圍成圖形的面積 .4、由極坐標(biāo)方程所確定的曲線及所圍扇形的面積為 .二、選擇題（20分）1、曲線及軸所圍圖形的面積，則 （A）; （B）;（C）; （D）.2、曲線下方與該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線左方及軸右方所圍成的圖形面積 .（A）; （B）;（C）; （D）.3、曲線上一段弧長(zhǎng) .（A）; （B）;（C）; （D）.4、矩形閘門寬米，高米，垂直放在水中，上沿與水面齊，則閘門壓力 .（A）;

2、（B）;（C）; （D）.三、解答題1、（10分）求曲線與縱軸所圍成圖形的面積.2、（10分）求由圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體的體積.3、（10分）試證曲線的弧長(zhǎng)等于橢圓的周長(zhǎng).XA1Y圖6.254、（10分）設(shè)半徑為1的球正好有一半浸入水中，球的密度為1，求將球從水中取出需作多少功？5、（20分）設(shè)直線與拋物線所圍成圖形的面積為，它們與直線所圍成的圖形面積為.并且.如圖6.25.（1） 試確定的值，使達(dá)到最小，并求出最小值；（2） 求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 第六章 定積分應(yīng)用測(cè)試題B卷一、填空題（20分）1、求曲線所圍圖形面積（上半平面部分），則 .2、曲線所圍圖形面

3、積 .3、求曲線從到一段弧長(zhǎng) .4、曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 .二、選擇題（20分）1、曲線所圍圖形的面積為，則 （A）; （B）;（C）; （D）.2、擺線一拱與軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積 （A）; （B）;（C）; （D）.3、星形線的全長(zhǎng) （A）; （B）;（C）; （D）.4、半徑為的半球形容器，每秒灌水，水深，則水面上升速度是 （A）; （B）;（C）; （D）.三、解答題1、（13分）由兩條拋物線所圍成的圖形.（1）計(jì)算所圍成圖形的面積；（2）將此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積.2、（15分）由曲線，直線及軸所圍圖形記作，（1）求繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積

4、；（2）求繞直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積；（3）求以為底且每個(gè)與軸垂直的截面均為等邊三角形的立體的體積.3、（12分）曲線與軸在第一象限內(nèi)所圍圖形記作，試在曲線上求一點(diǎn)，使直線把分成面積相等的兩部分.4、（10分）設(shè)某潛水艇的觀察窗的形狀為長(zhǎng)、短半軸依次為的半橢圓，短軸為其上沿，上沿與水面平行，且位于水下處，試求觀察窗所受的水壓力. 5.(10分)求曲線，所圍成的平面圖形的面積S，并求 該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。綜合測(cè)試題A卷答案一、填空題1、上半圓，直線和直線； 2、； 3、；4、.二、選擇題1、C; 2、A; 3、B； 4、A.三、解答題1、先求交點(diǎn)，令得，故，及曲線與縱軸交

5、點(diǎn)為.又，所以.2、因?yàn)槎?，所求環(huán)體體積是由半圓與半圓繞軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積之差，即.3、因?yàn)闄E圓方程為，即，則其參數(shù)方程為，由橢圓關(guān)于軸的對(duì)稱性，所以周長(zhǎng).而曲線的弧長(zhǎng) .故.4、將球提出水面的力等于露出水面部分的重量，其數(shù)值等于球露出水面部分的體積：其中為球心向上移動(dòng)距離（），故將球從水中取出所作的功為.5、解（1）當(dāng)時(shí)（如圖一） .令 ，得，又則是極小值及最小值.其值為 當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少，故時(shí)，取得最小值，此時(shí).綜合上述，當(dāng)時(shí)，為所求最小值，最小值為. (2) .綜合測(cè)試題B卷答案一、填空題1、； 2、；3、；4、.二、選擇題1、C; 2、B; 3、B； 4、D三、解答題1、（1）.（2）2、（1）繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積（2）繞直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積（3）以為底且與軸垂直呈等邊三角形的的立體的平行截面的面積為因此平行截面的面積為的立體體積.3、設(shè)為曲線上一點(diǎn)，則截下部分的曲邊扇形面積的面積 . B y A X圖6.26由條件，即得，所以.對(duì)應(yīng)的，故點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 4、 建立如圖6.26所示的坐標(biāo)系橢圓方程為，則令，則.其中為水的密度，g為重力加速