方法技巧專題18,三角函數(shù)圖像和性質(zhì)（原卷版）

1、方法技巧專題18,三角函數(shù)圖像和性質(zhì)（原卷版） 方法技巧專題 18 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) 學(xué)生版 一、 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識(shí)框架 二、根據(jù)解析式研究三角函數(shù)性質(zhì) 【一】化為同角同函型 1.例題 【例 1】函數(shù) ( ) cos cos sin2y x x xp æ ö= - +ç ÷è ø的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ） a 32 ,28 8k kp pp pé ù- +ê úë û ( ) k z Î b 3,8 8k kp pp pé ù- +

2、34; úë û ( ) k z Î c ,4 4k kp pp pé ù- +ê úë û ( ) k z Î d 2 ,22 2k kp pp pé ù- +ê úë û ( ) k z Î 2.鞏固提升綜合練習(xí) 研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化成同一個(gè)角同一種類型的三角函數(shù)形式（簡(jiǎn)稱：同角同函） 或 ，常見(jiàn)方法有： （1）用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式或誘導(dǎo)公式

3、將已給函數(shù)化成同函； （2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數(shù)化成同角； （3）用兩角和、差公式或輔助角公式 將已給函數(shù)化成同函. 【練習(xí) 1】已知函數(shù)( ) sin 2cos f x x x = -. ( ) f x的最大值為_(kāi) ； 設(shè)當(dāng) xq =時(shí)，( ) f x取得最大值，則 cos q= _. 【練習(xí) 2】已知函數(shù) 1 ) cos (sin cos 2 ) ( + - = x x x x f， 求函數(shù)) (x f 的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； 【練習(xí) 3】已知2 2sin cos 2 3sin cos ( ) ( ) x x x f x x x = - - Îr， 求( ) f

4、 x 的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間 【二】化為二次函數(shù)型 1.例題 【例 1】函數(shù) )2cos( 6 2 cos ) ( x x x f - + =p的最大值為 _ 【例 2】函數(shù) ysin xcos xsin xcos x 的值域?yàn)開(kāi) 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知函數(shù) ( ) 2sin sin2 f x x x = + ，則 ( ) f x 的最小值是_ 【練習(xí) 2】求函數(shù)2 47 4sin cos 4cos 4cos y x x x x = - + - 的最大值與最小值. 研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等）時(shí)，一般是把已給函數(shù)化成同同角同函型，但未必所有

5、三角函數(shù)都能化成上述 或 的形式，有時(shí)會(huì)化簡(jiǎn)為二次函數(shù)型： 或 ，這時(shí)需要借助二次函數(shù)知識(shí)求解，但要注意 的取值范圍. 若將已給函數(shù)化簡(jiǎn)為更高次的函數(shù)，如 ，則換元后可通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解.如：解析式中同時(shí)含有 和 ，令 ，由關(guān)系式得到 關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式. 【練習(xí) 3】函數(shù) ysin xcos xsin xcos x，x0， 的值域?yàn)開(kāi) 三、根據(jù)圖像和性質(zhì)確定解析式 【一】圖像型 1.例題 【 例 1 】 已 知 函 數(shù) ( ) ( ) ( ) sin 0, 0, f x a x a w j w j p = + > > < 的 部 分 圖 象 如 圖 所 示 ， 其 中( ) (

6、) 2, 1 , 8,1 m n -分別是函數(shù) ( ) f x 的圖象的一個(gè)最低點(diǎn)和一個(gè)最高點(diǎn)，則aw j += （ ） a. 23p- b. 6p- c. 6p d. 23p 【例 2】函數(shù) ( ) ( )( ) sin 0, 0,0 f x a x a w j w j p = + > > < < 的圖象如圖所示，則（ ） a ( ) f x 在 ,3 13p p æ ö-ç ÷è ø上是增函數(shù) b ( ) f x 在 ,2 13p p æ ö-ç ÷è &#

7、248;上是增函數(shù) c ( ) f x 在2 7,3 6p p æ öç ÷è ø上是増函數(shù) d ( ) f x 在 ,2 12p p æ ö-ç ÷è ø上是增函數(shù) 【例 3】已知函數(shù) ( ) ( ) 2sin ( 0 f x x w j w = + > ， ) x j < 的部分圖像如圖所示，已知點(diǎn)( )0, 3 a ， ,06bp æ öç ÷è ø，若將它的圖像向右平移6p個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) (

8、 ) g x 的圖像，則函數(shù) ( ) g x 圖像的一條對(duì)稱軸方程為（ ）a 24xp= - b 4xp= c 3xp= d 23xp= 對(duì)形如 中參數(shù)的確定，應(yīng)準(zhǔn)確識(shí)別和利用題干中函數(shù)圖像的信息（如周期、振幅、最值、特征點(diǎn)等），列出方程（組）或不等式（組），常規(guī)方法有： （1）由振幅或最值，可確定 ; （2）由周期的值或取值范圍，可確定 的值或取值范圍； （3）由特征點(diǎn)，可列出三角方程（組），可確定 .（有時(shí) 也需特征點(diǎn)來(lái)確定） 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】函數(shù) ( ) ( ) sin f x a x w j = + (其中 0 a> ， 2pj < )的部分圖象如圖所示,

9、將函數(shù) ( ) f x 的圖象（ ）可得 ( ) sin 24g x xp æ ö= +ç ÷è ø的圖象. a 向右平移12p個(gè)長(zhǎng)度單位 b 向左平移24p個(gè)長(zhǎng)度單位 c 向左平移12p個(gè)長(zhǎng)度單位 d 向右平移24p個(gè)長(zhǎng)度單位 【練習(xí) 2】如圖，某港口一天6 時(shí)到 18 時(shí)的誰(shuí)深變化曲線近似滿足函數(shù) y3sin(6px)k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為_(kāi). 【二】性質(zhì)型 1.例題 【例 1】已知函數(shù) ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ xp pw j w j = > £ = - ，

10、 為 ( ) f x 的零點(diǎn),4xp= 為 ( ) y f x = 圖像的對(duì)稱軸,且 ( ) f x 在518 36p p æ öç ÷è ø， 單調(diào),則 w 的最大值為( ) （a）11 （b）9 （c）7 （d）5 【 例 2 】 設(shè) 函 數(shù) ) s i n ( ) ( j w + = x x f ， 0 , 0 > > w a ， 若 ) (x f 在 區(qū) 間 2,6p p上 單 調(diào) ， 且÷øöçèæ- = ÷øöç

11、èæ= ÷øöçèæ6 322p p pf f f ，則 ) (x f 的最小正周期為（ ） a2p b2 c4 d 【例 3】設(shè)函數(shù) ， ，其中 ， .若 ， ，且 的最小正周期大于 ，則（ ） （a） ， （b） ， （c） ， （d） ， 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí)1】設(shè)函數(shù)f （x）= ，若 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為_(kāi) 【練習(xí) 2】若函數(shù) ( ) ( ) ( ) 3sin cos f x x x q q = + + + 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則 q 的一個(gè)值為（ ） a 6p b 3p c 2

12、3p d 56p 對(duì)形如 中參數(shù)的確定，應(yīng)充分挖掘題干中所給的函數(shù)性質(zhì)（如周期、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等），列出方程（組）或不等式（組）. 特別地，正弦型函數(shù) 與最小正周期 相關(guān)的幾種表述： （1）兩個(gè)相鄰最低（高）點(diǎn)的距離，即為 ; （2）兩個(gè)相鄰對(duì)稱軸的距離，即為 ; （3）兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離，即為 ; （4）相鄰對(duì)稱中心與對(duì)稱軸的距離，即為 ; 四、圖像變換問(wèn)題 1.例題 【例 1】已知曲線1 :cos c y x = ，22: sin 23c y xæ ö= +ç ÷è ø，則下面結(jié)論正確的是（） a把1c 上各點(diǎn)的

13、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線2c b把1c 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線2c c把1c 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線2c d把1c 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線2c 【例 2】設(shè)函數(shù) ，其中 .已知 . （）求 ； （）將函數(shù) 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 2 倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù) 的圖象，求 在 上的最小

14、值. 由 變換成 的兩種變換方式： （1） ； （2） 注：兩種變換方法，相位或周期變換都只針對(duì)自變量 . 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】函數(shù) ( ) ( ) sin f x x w j = + （ 0 w > ， 2pj < ）的最小正周期是 p ，若其圖象向左平移3p個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù) ( ) f x 的圖象（ ） a 關(guān)于點(diǎn) 012p æ öç ÷è ø， 對(duì)稱 b 關(guān)于直線12xp= 對(duì)稱 c 關(guān)于點(diǎn) 06p æ öç ÷è ø， 對(duì)稱

15、 d 關(guān)于直線6xp= 對(duì)稱 【練習(xí) 2】已知函數(shù)1( ) 2sin( )3f x x p = + ，將 ( ) y f x = 的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向左平移 1 個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 ( ) g x ，若函數(shù)的圖象在 p ， q 兩處的切線都與 x 軸平行，則 | | pq 的最小值為（ ） a 17 b 4 c 4 p d 2 5 五、三角函數(shù)值域（最值） 1.例題 求三角函數(shù)的值域（最值），通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過(guò)三角變換化為下列基本類型： （1） ，令 ，則 ； （2） ，引入輔助角 ，化為 ； （3） ，令 ，則 ； （

16、4） ，令 ， 則 ，所以 ； （5），根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值. 【例 1】 已知函數(shù) ( ) 3sin2 2sin cos4 4f x x x xp p æ ö æ ö= + + +ç ÷ ç ÷è ø è ø，則 ( ) f x 在 02xp é ùÎ êúë û， 上的最大值與最小值之差為 【例 2】函數(shù) 的最小值為 【例 3】函數(shù) (

17、) sin cos 2sin cos ,4 4f x x x x x xp p æ ö é ù= + + Î -ç ÷ê úë û è ø的最小值是_ 【例 4】求函數(shù)xxycos 2sin 2-= 的值域 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知 的定義域?yàn)?.求 的最小值. 【練習(xí) 2】函數(shù) ( )23sin 3cos4f x x x = + - （ 0,2xp é ùÎ êúë û）的最大值是

18、 。 【練習(xí) 3】求函數(shù) x x x x y cos sin cos sin + + = 的值域 六、平面向量為載體的三角函數(shù)綜合問(wèn)題 1.例題 x x x f sin 2 2 cos ) ( + =1 )4( cos 2 ) sin (cos 3 ) (2 2 2+ + - - =px x x x f2, 0p) (x f三角函數(shù)與向量的綜合問(wèn)題中，向量只是工具，問(wèn)題的本質(zhì)還是三角函數(shù)問(wèn)題.解決本類問(wèn)題的常規(guī)方法是： 將向量的平行、垂直、數(shù)量積等通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，然后進(jìn)行恒等變換，進(jìn)而解決本問(wèn)題. 【例 1】 設(shè)向量 cos , cos2 , sin2 ,sin4 4a x b

19、 xp p æ ö æ ö= - =ç ÷ ç ÷è ø è ø， ( ) f x a b = × . （1）求 ( ) f x 的最小正周期； （2）求 ( ) f x 在區(qū)間 0, p 上的單調(diào)遞減區(qū)間. 【例 2】 已知向量 (cos ,sin ), (3, 3), 0,. x x x = = - Î a b （1）若 ab，求 x 的值； （2）記 ( ) f x = × a b ，求( ) f x 的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的 x 的值

20、2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知 3cos ,cos4 4x xmæ ö= ç÷è ø， sin ,cos4 4x xnæ ö= ç÷è ø，設(shè)函數(shù) ( ) f x m n = × （1）求函數(shù) ( ) f x 的單調(diào)增區(qū)間； （2）設(shè) abc d 的內(nèi)角 a ， b ， c 所對(duì)的邊分別為 a ， b ， c ，且 a ， b ， c 成等比數(shù)列，求 ( ) f b的取值范圍 【練習(xí) 2】已知3sin 2cos2a x xæ ö= 

21、31;÷ç ÷è ø， ， 12cos cos2b x xæ ö= ç÷è ø， ，記函數(shù) ( ) f x a b m = × + （1）求函數(shù) ( ) f x 的最小正周期； （2）如果函數(shù) ( ) f x 的最小值為 1 ，求 m 的值,并求此時(shí) ( ) f x 的最大值及圖像的對(duì)稱軸方程. 七、課后自我檢測(cè) 1.函數(shù) ( ) ( ) sin f x a x w j = + ( 0, 0, )2a w j > > < 的部分圖象如圖所示,則 w = _；

22、函數(shù) ( ) f x在區(qū)間,3é ùê úë û上的零點(diǎn)為_(kāi) 2.已知函數(shù) ( )23 13cos sin cos2 2 2 2f x x x xp p p æ ö æ ö æ ö= - - + + -ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø. （1）求函數(shù) ( ) f x 的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）已知在 abc d 中， , , a b c 的對(duì)邊分別

23、為 , , a b c ，若 ( ) 1 f a = ， 2 a = ，求 abc d 面積的最大值. 3.已知函數(shù) ( ) ( ) 2sin 2 ( )2f x xpj j = + < 部分圖象如圖所示. （1）求 j 值及圖中0x 的值； （2）在 abc d 中，角 , , a b c 的對(duì)邊分別為 , , a b c ，已知 ( ) 7, 2, c f c = = - sinb = 2sina ，求 a 的值 4. ( ) ( ) ( ) sin ,cos , 2cos ,2cos a x x b x x p = - = ，函數(shù) ( ) 1 f x a b = × +

24、. （1）求 ( ) f x 的對(duì)稱中心； （2）求函數(shù) ( ) f x 在區(qū)間 0,2p é ùê úë û上的最大值和最小值，并求出 x 相應(yīng)的值. 5.函數(shù) ( )2cos 3sin 2 f x x x = + - 0,2xp æ ö é ùÎç ÷ê úë û è ø的最大值是_ 6.已知函數(shù) ， ，且 在區(qū)間上有最小值，無(wú)最大值，則 的值為 （ ） a b c d 7. 已 知 函 數(shù) ( ) ( ) sin cos f x x a x a r = + Î 對(duì) 任 意 x r Î 都 滿 足4 4f x f xp p æ ö æ ö+ = -ç ÷ ç ÷è ø è ø， 則 函