方法技巧專題16,函數(shù)中恒成立與存性問題（原卷版）

1、方法技巧專題16,函數(shù)中恒成立與存性問題（原卷版） 方法技巧專題 16 函數(shù)中恒成立與存在性問題 學(xué)生篇 一、 函數(shù)中恒成立與存在性問題知識(shí)框架 二、函數(shù)中恒成立問題 【一】分離參數(shù)法 1.例題 【例 1】不等式3ln 1xx e a x x- ³ +對(duì)任意(1, ) xÎ +¥恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍（ ） a ( ,1 e -¥ - b2( ,2 e -¥ - c (, 2 -¥ - d ( , 3 -¥ - 【例 2】已知函數(shù) ( ) ln f x ax x x = + 的圖象在點(diǎn) e x= （ e 為自然對(duì)數(shù)的

2、底數(shù)）處的切線的斜率為 3 (1)求實(shí)數(shù) a 的值； (2)若2( ) f x kx £ 對(duì)任意 0 x > 成立,求實(shí)數(shù) k 的取值范圍. 2.鞏固提升綜合練習(xí) 利用分離參數(shù)法來確定不等式 , （ , 為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù) 的取值范圍的基本步驟: 將參數(shù)與變量分離,即化為 （或 ）恒成立的形式； 求 在 上的最大（或最小）值； 解不等式 (或 ) ,得 的取值范圍. 【練習(xí) 1】已知函數(shù) ( ) log a f x x = , ( ) 2log (2 2)ag x x t = + - ,其中 0 a > 且 1 a ¹ , t r Î (1)若 4

3、 t = ,且1 ,24xÎ 時(shí), ( ) ( ) ( ) f x g x f x = - 的最小值是2,求實(shí)數(shù) a 的值； (2)若 0 1 a < < ,且1 ,24xÎ 時(shí),有 ( ) ( ) f x g x ³ 恒成立,求實(shí)數(shù) t 的取值范圍. 【練習(xí) 2】若 (0, ) xÎ +¥ ，1lnxex x ax-³ - + 恒成立，則 a 的最大值為（ ） a 1 b1e c 0 d e - 【練習(xí) 3】已知 ar Î，設(shè)函數(shù)îíì> -£ + -=1 , ln

4、1 , 2 2) (2x x a xx a ax xx f 若關(guān)于 x 的不等式 0 ) ( ³ x f 在 r 上恒成立，則 a 的取值范圍為（ ） a 0,1 b 0,2 c 0,e d 1,e 【二】函數(shù)性質(zhì)法 1.例題 利用函數(shù)性質(zhì)求解恒成立問題，常見的是利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值。因含有參數(shù)，大多要分類討論. xd,均有 f(x)a 恒成立,則 f(x) min a； xd,均有 f(x)a 恒成立,則 f(x) max a ； xd,均有 f(x) g(x)恒成立,則 f(x)= f(x)- g(x) 0, f(x) min 0； xd,均有 f(x)g(x)恒

5、成立,則 f(x)= f(x)- g(x) 0, f(x) max 0； x 1 d, x 2 e,均有 f(x 1 ) g(x 2 )恒成立,則 f(x) min g(x) max ； x 1 d, x 2 e,均有 f(x 1 ) g(x 2 )恒成立,則 f(x) max g(x) min . 【例 1】定義域?yàn)?r 的函數(shù) ( ) f x 滿足 ( ) ( ) 2 2 f x f x + = ，當(dāng) 0,2 x 時(shí)， ( ) ) )232, 0,11, 1,22xx x xf xx-ì - Îï= íæ ö- Î &#

6、239;ç ÷ï èø î，若當(dāng) ) 4, 2 xÎ - - 時(shí)，不等式( )214 2mf x m ³ - + 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的 取值范圍是（ ） a 2,3 b 1,3 c 1,4 d 2,4 【例 2】若對(duì)ix " ， ( )2, x m Î +¥ ，且1 2x x < ，都有1 2 2 12 1ln ln1x x x xx x-<-，則 m 的取值范圍是（ ）注:（ e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，即2.71828 e = ） a1,eé ö+

7、65; ÷êë ø b ) , e +¥ c ) 1,+¥ d ) 1, - +¥ 【例 3】已知函數(shù)21ln21) (2- + - = x x a x x f ，對(duì)任意 x1，)，當(dāng) mx x f ³ ) ( 恒成立時(shí)實(shí)數(shù) m 的最 大值為 1，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知函數(shù) ， ，當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為（ ） a ( e ， ¥ - b ） ， （ e ¥ - c ） ， （2-e¥ dúûù

8、çèæ¥2-e， 【練習(xí) 2】已知定義在 r 上的偶函數(shù) ( ) f x 在 0, ) +¥ 上遞減，若不等式2 ( ln 1) ( ln 1) f ax x f ax x - + + + - - ( ) 3 1 f ³ 對(duì) 1,3 xÎ 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） a 2,e b1 , )e+¥ c1 , ee d1 2 ln3 , 3 e+ 【練習(xí) 3】若 ，滿足 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為_ 【三】數(shù)形結(jié)合法 1.例題 【例 1】已知函數(shù) ( )22 2 f x x kx = - +,在 1 x

9、³- 恒有( ) f x k ³ ,求實(shí)數(shù) k 的取值范圍. 【例 2】已知函數(shù) f(x) î íì |x 3 2x 2 x|， x1，lnx， x1，若對(duì)于tr，f(t)kt 恒成立，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是_ 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知定義在 r 上的奇函數(shù) ( ) f x 滿足:當(dāng) 0 x ³ 時(shí), ( )3f x x = ,若不等式 ( ) ( )24 2 f t f m mt - > +對(duì)任意實(shí)數(shù) t 恒成立,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） a (), 2 -¥ - b ()2,0 - c. (

10、)( ),0 2, -¥ È +¥ d () ( ), 2 2, -¥ - È +¥ 【練習(xí) 2】若不等式 ( )22 1 1 x m x - > - 對(duì)任意 1,1 mÎ -恒成立,實(shí)數(shù) x的取值范圍是 . 【練習(xí) 3】已知函數(shù)23 ln , 1( ) ,4 6, 1x xf xx x x- £ ì= í- + >î 若不等式 ( ) |2| f x x a ³ - 對(duì)任意 (0, ) xÎ +¥ 上恒成立，則對(duì)于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的, 即

11、不能用分離參數(shù)法解決問題時(shí)，可以利用函數(shù)圖象來解： 利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題,應(yīng)先構(gòu)造函數(shù),作出符合已知條件的圖形,再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系,得出答案或列出條件,求出參數(shù)的范圍. （1）對(duì)于一次函數(shù) 有： （2）對(duì)于二次函數(shù) , 上恒成立 ； 上恒成立 . 實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（ ） 三、函數(shù)中存在性問題 1.例題 【例 1】 已知函數(shù) f(x)x | | x 2 a ，若存在 x 1，2 ，使得 f(x)2，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 【例 2】已知 = ) (x f x x +221, = ) (x g a x - + ) 1 ln( ,若存在 2 , 0 ,2 1&

12、#206; x x ,使得 ) ( ) (2 1x g x f > ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； 【例 3】已知 = ) (x f x x +221, = ) (x g a x - + ) 1 ln( ,若存在 2 , 0 ,2 1Î x x ,使得 ) ( ) (2 1x g x f = ,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍. . ,使得 成立,則 ； . ,使得 成立,則 ； . ,使得 成立,設(shè) , ； . ,使得 成立,設(shè) , ； . , , 使得 成立,則 ； . , ,均使得 成立,則 . . , ,均使得 成立,則 .（其中 、 ） 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知函數(shù)2

13、 2( ) ( ) ( )xaf x x a ee= + + + ，若存在0x ，使得024( )1f xe£+，則實(shí)數(shù) a 的值為_ 【練習(xí) 2】已知函數(shù)2, 1( )1, 1x ax xf xax xì-+ £= í- >î，若1x $ 、2r x Î ，1 2x x ¹ ，使得1 2( ) ( ) f x f x = 成立，則 a的取值范圍是（ ） a 2 a > b 2 a < c 22 a - < < d 2 a < - 或 2 a > 【練習(xí) 3】已知函數(shù)2 4, 0(

14、), 0xx xf xee xxì + - £ï= í- >ïî，2( ) 3 14 g x x x = - - ，若存在實(shí)數(shù) x ，使得( ) ( ) 18 g m f x - =成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為（ ） a) 7 , 4 (- b 4,7 - c ( , 4)(7, ) -¥ - +¥ d ( , 4 7, ) -¥ - +¥ 【練習(xí) 4】已知函數(shù) ( ) ln f x x = , ( ) ( ) h x ax a r = Î . （1）函數(shù) ( ) f x 的圖

15、象與 ( ) h x 的圖象無公共點(diǎn),求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （2）是否存在實(shí)數(shù) m ,使得對(duì)任意的1( , )2xÎ +¥ ,都有函數(shù) ( )my f xx= + 的圖象在 ( )xeg xx= 的圖象的下方？若存在,請(qǐng)求出整數(shù) m 的最大值；若不存在,請(qǐng)說理由. （參考數(shù)據(jù)： ln2 0.6931 = , ln3 1.0986 = ,31.6487, 1.3956 e e = = ）. 四、函數(shù)中恒成立與存在性的綜合問題 1.例題 【例 1】已知函數(shù) ( )2( ) , 2,2 f x x x = Î -，2( ) sin(2 ) 3 , 0,6 2g x

16、a x a xp p é ù= + + Î êúë û， 12,2 x " Î - ，總00,2xp é ù$ Î êúë û，使得 ( ) ( )0 1g x f x = 成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_. 【例 2】已知函數(shù) f (x)x 2 2ax1，g(x) ax ，其中 a0，x0. (1) 對(duì)任意 2 , 1 Î x ，都有 ) ( ) ( x g x f > 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； (2) 對(duì)任意 2 , 11 Îx ，任意 4 , 22 Îx ，都有 ) ( ) (2 1x g x f > 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值